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2.5平面向量应用举例


2.5平面向量应用举例

复习
? ? ? ? a ? b ? | a || b | cos ?

? ? a ? b ? x 1 x 2 ? y1 y 2
? ?

(1) | a |? 5, | b |? 6, ? ? 30 ?,
? ? (2) a ? (1, 5), b ? (3,

? 2),

? ? a ? b ? 15 3

? ? a ? b ? ?7

复习
? ? a?b? ? ? a ? b ?| ? ? a?b ? ? ? a || b ? ? ? | a || b ? ? ? | a || b ? 0 0

?

| cos ? | cos 9 0 ? | ?0

?2 ? 2 a ?| a |

复习
? | i |? 1 ? | j |? 1

y
? j
1

?2 ? i ? | i |2 ?2 ? j ? | j |2 ? ? i? j ? 0 ? ? j?i ? 0

?1 ?1

? i

1

x

复习:坐标表示模
? 已 知 a ? ( x , y ), ? 求 |a |

? | a |?

x ? y
2

2

复习:.坐标表示向量垂直和平行
? ? a ? ( x 1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ), 则 :
?

1.向量垂直 2.向量共线

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ? ? ? ? a // b ? b ? ? a ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

?

坐标表示向量的夹角
? ? a ? ( x 1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 )
? ? a?b cos ? ? ? ? ? | a || b |

x 1 x 2 ? y1 y 2 x 1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

P120 例6

用向量证明三角形中位线定理
求 证 : E F // B C 且 E F ? 1 2 BC

??? ? ? ???? ? 证 明 : 设 EA ? a , AF ? b , ???? ??? ? ???? ? ? EF ? EA ? AF ? a ? b
B

A F
C

E

??? ? ??? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? BC ? BA ? AC ? 2 EA ? 2 AF ? 2 a ? 2 b ? 2( a ? b )
???? ? 1 ??? ? EF ? BC 2
? E F // B C 且 E F ? 1 2 BC

例题
如 图 , 在 四 边 形 A B C D中 , 点 E 、 F 、 G、 H 分 别 为 四 条 边 的 中 点 , 求 证 : E F // H G 且 E F ? H G

???? ??? ???? ? 证 明 : EF ? EB ? BF
? ? 1 ??? 1 ??? ? AB ? BC 2 2 ? ? 1 ???? 1 ??? ??? ? ( AB ? BC ) ? AC 2 2

G

C

D F H

???? 同 理 : HG ? ???? ? EF ? ? EF

A 1 ???? AC 2 ???? HG // H G 且 E F ? H G

E

B

P123 例1
求证:平行四边形两条对角线的平方和 等于相邻两边的平方和的两倍。 ??? ? ???? ? ? D

? ?2 2 |a | ? a ? ?2 2 |b| ? b A ???? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 2 2 2 | AC | ? | a ? b | ? ( a ? b ) ? a ? 2 a ? b ? b ??? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 2 2 2 | DB | ? | a ? b | ? ( a ? b ) ? a ? 2 a ? b ? b ?2 ?2 ???? ??? ? ??? 2 ???? 2 ? 2 2 | AC | ? | DB | ? 2( a ? b ) ? 2( AB ? AD )
??? ? 2 | AB | ? ???? 2 | AD | ?
? 原命题成立

证 明 : 设 AB ? a , AD ? b ,

C

B

作业
P127 A4
?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 2 2 提示:| F3 | ? | F1 ? F2 | ? ( F1 ? F2 ) 2


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