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放缩法证明数列不等式“有法可依”


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中学 数 学 研 究 

2 0 1 1 年第 1   1 期 

放缩 法 证 明数 列不 等 式 “ 有 法 可依 "  
广州 I 市广 东广 雅 中学  ( 5 1 0 1 6 0 )   徐 广华 
放缩 法证 明数 列 不 等 式 历 来是 高 中数 学 的难  点, 在 高考 数列 试 题 中 经 常扮 演 压 轴 角 色.由 于放 

放缩法证明与数列求和有关的不等式, 若∑n  
可直接 求和 , 就先 求 和再 放 缩 ; 若 不 能直 接 求 和 的 ,  


缩 法灵 活 多变 , 技 巧性 要求 较 高 , 所谓 “ 放 大 一 点点 
则太 大 , 缩 小一 点 点则 太 小”, 这就 让 许 多学 生很 茫 

般要 先将通 项放 缩后再 求 和 , 有些情 况下 , 通项 放 

然, 找不到 头绪 , 摸不着 规律 , 觉得 高不 可攀 ! 如 何把 
握放 、 缩 的“ 度” , 使得 放 、 缩“ 恰 到好 处 ” , 帮 助学 生 

缩后求和以 后还要再对和放缩, 即 先将∑ 。   放缩转  

突破 这个 难点 , 一直 是 广 大数 学 教 师 孜孜 以求 的研  究课 题.其 实 , 放缩 法证 明数 列不等 式还是 “ 有 法 可  依 ”的 , 任何 事物 都有其 内在规 律 , 只 要我 们在 平 时  的复 习教 学 中不断 渗 透 、 总 结一 些 常 用 的放 缩 类 型 
及 方法 , 在解题 的思 维策 略上加 以点拨 , 放缩 法必 将 

化 为可以 求和的∑ b   , 再证明∑ b   <( 或> ,  ,  
)  n ) , 根据不 等式 的传递性 得证 !问题 是将 通项  a  放缩 为可 以求和 且 “ 不大不 小”的什 么样 的 6   才 
行 呢? 这就 是 问题 的关 键 所 在 , 也 是 学 生 最 困惑 、 最 

不 再神秘 , 不再 是 “ 只可 意会 不 可言 传 ”的 “ 超 高 难 
动作” !  

迷茫 的地 方 ! 其实, 中学生要 求掌握 的能求和 的常 见  数列模 型 并不 多 , 主要有 等 差 模 型 、 等 比模 型 、 错位  相减 模型 、 裂项相 消模 型 、 倒 序相 加 模 型 等 , 我 们 可  明确 地告诉 学生 , 放缩 后 的 b  就是 这些 可 求 和的模  型.实 际 问题 中 , b  大 多是 等 比模 型和 裂 项 相 消模 
型.  

常 见 的数 列 不 等 式 大 多 与 数 列 求 和 或 求 积 有 

关, 其基 本结 构 为  n  < ( 或 >, ≤,   ) . 厂 ( n ) , 或 

者为1 - I ( z   <( 或> ,  ,  ) _ 厂 ( n ) . 一 般 情况 下, 若  


1  

特别 值 得 一 提 的是 , 放 缩 法 证 明 与 数 列 求 和  ( 或求积 ) 有 关 的不等 式 的过 程 中 , 很 多 时 候要 “ 留  




厂 ( n )是 与 n有 关 的式子 , 我们 可 以尝试 用 数 学 归纳  法证 明 , 但未 必行得 通 , 若行 不 通 , 往 往 只 能用 放 缩 

手” ,即采 用 “ 有所 保 留”的方 法 , 保 留数 列 的第  项 或前 两项 , 从 数 列 的第二 项 或 第 三项 才 开 始 放 
1 . 1   等 差模 型 



法 证明; 若 证明 形如∑ n   <  或1 - 1   0   <  ( 0   > 0 ,  
k为常 数 )的不等 式 , 这 个时候 直接 用数学 归纳 法证 

缩, 这样 才不致 使结 果放得 过大 或缩 得过小 .  

明肯定不行, 除非先将不等式加强为 ∑ , 。   <. 厂 ( n )  

例1 ( 1 9 8 5全 国卷)求证 :  

<  

+  

或 珥 n   < _ 厂 ( n ) ( 其 中 - 厂 ( n ) <   ) , 才 可 能 用 数 学 归 , / 2 — . — 3 + … +   丽 <  旦   —  
纳法 证 明.  

尽管 一些 数 列 不 等式 可 以用 数 学归 纳 法证 明 ,  
但 其证 明过 程一般 比较 冗长 , 计算量 较 大 , 学生 大都 

分析: 显然左 、 右 两边 的式子都是 等差数列的  和, 因此 考虑将 通项 放缩 为等差 模型.  

缺乏耐心做下去.相对而言, 放缩法思维量大 , 计算  量小 , 证 明过 程 一 般 比较 简 洁 , 因 而备 受推 崇 和青 
睐.  

 ̄ , i E N: ‘ . ’ n<  、  _ n 可
<  :  +  

 
,  

?

本文 主要 结 合 笔者 多 年来 的教 学 体 会 , 对 放缩  法 的各种类 型 、 方法进 行较 系统 的归类 总结 , 不 当之  处, 敬请方 家批 评指 正.  



. 



主   <  

+   .  

+ . 一 . +  



< 主 (   + 了 1 ) :  

1   放 缩 目标 模 型 — — 可 求 和 

1 . 2   等 比模型 

对于正项 等 比数列 { a   } , 若{ a  。 }≥ q a   ( 或 
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中学数学研 究 

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a  

q a   )恒成 立 , 其 中 常数 g>0, 则称 { a   }为  a I q   ( 或 a   a 1 g   ) .  

例 4( 2 0 0 2全 国 卷 , 理 2 2题 第 ( 2 )J 口 J )设 数 夕 U  

“ 类 等 比数 列 ” , 且有 o  
方法.  

{ a   } 满足 。   + 1 =a : 一 n a   + 1 , n=1 , 2 , 3 , …, 当a 1  
3时 , 证 明对 所 有 的 凡≥ 1 , 有 (i) 口  ≥ n+2 ;  

利用类 等 比数列 的这 个性 质进 行放 缩是 一种 重要 的 

等比模型主要有两种 , 一是将不能直接求和的  通项 口   放缩为等比数列 { b   } , 如下面的例 2 ; 二是转  化为类等 比数列 , 如下面的例 4和例 5 .  

5  

( i i )   1+  
( i i )由(i)知 , a  
?
. .

, + 击 < 吉 .  
n+2 , 由题设 , 得a   =  

简解 : (i)用数学 归 纳法证 明 ( 略) .  
a   ( a  一n )+1   2 a  +1 ,  

:  

+  

+  

+. . ‘ +  

1+a   n + l   2 ( 1+ a   ) , 即{ 1+a   } 是 类等 比数 
( 1+a 1 ) 2   一 。   ( 1+3 ) 2   一  =2  ,  

<了’  
证明: ’ . ’当 n   2时 , ( 2  一1 )一3? 2   一  =2   一  


歹 0 , 有 1+0   则 
1  

1   0, . ? . ( 2  一1 )   3? 2   n   2 ) ,   一2  


一  



从 而 击 + 击 一‘ +  
? +  <  .  

.  

.  



1— 3  

( n    2 ) ,   2   一  、 ~ ’  
+   “ ?+ +   … ¨   s

1  

+ 

? ’ ’  
? . . 

+  

1 . 3

错位相 减模 型 
+   + … +  

例5   求证 : 2+ L1 + 1  
(  +   +   +… +   )= -+   ( 2一   )<  
<2 .   2“ + 凡  

1 + 亏< 手 ?  
例3 ( 2 0 0 8安 徽卷 , 理2 l题 )设 数列 { a   }满 足  口 1=0, 口 。 + l= c n  +1一c , c 为 实数.  

证明: ‘ ?  
‘   + 

<  n( 用错 位 相减法 求和 ) ,  
+  “ +  <  +  

( 1 ) 证明: a  ∈ [ 0 , 1 ]的充要条件是 C∈ [ 0 ,  
1 ] ;  
( 2 )设 0 <c<  1 证 明 : 0  2   1一( 3 c )   ;  


?



+ 



+ … +  = 2 一 字 < 2 .  

1 . 4   裂项相 消模 型 
( 3 )设 0<c<  1   证明: 0   + 。 ; + …0  >n +  

一  

在 可求 和 的放 缩 目标 模 型 中 , 以裂 项 相 消模 型 

最为普遍 , 其一般形式是将 a   放缩为能裂项相消的  
.  

b   , 使6   = c  一 c   , 累 加后 化简 为∑ b   = c  一 c 。 .  
简解 : ( 1 )略.  
( 2 ) n   1一( 3 c )   一   车   1一a   ( 3 c )   一  =( 1一  

我们 要 在 熟 练 掌 握 一 些 常 见 裂 项 方 法 ( 例 如 

=  
一  

a . ) ( 3 c )   , 故 只需 证 1一a  

3 c ( 1一a   ) , 即{ 1一  

1   )的基 础上


积累一 些转 化为 

口   } 是 类等比 数 列, 而0 < c < ÷, 由 ( 1 ) 知0   ∈[ 0 ,  
1 ] , 故 由题设 , 得  1一a   + l=c ( 1一口 3   )=c ( 1一a n ) ( 1+a  +a  )  
3 c ( 1一a   ) .  

裂 项相 消 的放 缩 模 型 , 例 如  - 1 2 。,



,   1 ,   1 ,  

等, 这 对解题 大有 裨益?  

例6 ( 2 0 0 8 辽宁卷 , 理2 1 题第( 2 ) 问) 已知 a  =  
+1 ) ' 6 n=( n+1 )  征 明 :  
1  
+  < 

( 3 )由 ( 2 ) , 得a   。≥ [ 1一( 3 c )   ]   = 1—  
2 ( 3 c )   一  +( 9 c   )   一  >1—2 ( 3 e )   一   ,   十   +. 一  

. 。 .j a   + a   ; + …+   a  =a := a   ; + a   ; +…a +… :  
?
. . 

5  
。  

>n一1— 2 1 3 c +( 3 c )  +… +( 3 c )   一 ]  
=   +-一   >… 一   .  

证 叭 .  



:  

<  

万方数据

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2 0 1 1 年第 l 1 期 

— ( — n — 十 — L 一— ) ?   — = ≥ 2 一 ( I 、  一 ~ n  n   — —¨ +   1  z ,   = > 一   2 ) , ,  


1  



‘ 了 1 一丽 1 )<1+ 2-   =   .  
评注 : 本例 说 明 对  的放 缩 有 三种 “ 境界” , 得 

2n =

. ‘


?

.  ’

“ . +  l  

 

+  一 。 r z


1  

十 。 ’ ’t +   b +厶   。   Ⅱ  +  


<  、 6 一 +   ’  

≥ ( (  一   ) +   1 一 一   1 ) + … + ‘   1 一   n + 1 ) ] =  

+ _ 7 1   l 一   1 ) <  + 丢=  .  
例7  ( 1 )求证 : 1+   1+  1 +… +   1 <2 ;   ( 2 )求证 : l+   1+  1 +… +   1<   7;  

( 2 )求证 : 1+   1+   1+  


l  
+ 一

5  

( 2 n- — 1 — ) 2<  

( 3 ) 求证 : 1+   +   1 +… +   1 <了 5
. 

分析 : 对 

放缩 方 法 不 同 , 得 到 的结 果 

∑ 到    侈  3— ; 2     前 显 然 寻<   7< 2 , 昕 以 后 一 个 结 论比 一 个 结 论 更   显 然 成 立 .  
强。 也 就是说 证 明 了结 论 ( 3 ) , 那 么结 论 ( 1 ) 、 ( 2 )就  ( 1 )证 明 : ‘ . ‘   1 一   <   1   _ 二 _  

…㈣ ‘ 1   忙  



。  

 

< 



1  


 

号 (   2 n -   一  1 > 2 ) ,  

求 
上 
-  

汪 
+ 

誓一   一 2 一 _ J   一 1     ’


,  



1+ … + ( _  一 一   ) : 1+1一  
一  

警 k   l   i " .  ̄ + )   +   1   2  二   一 1 2   n   1   0   I 1   1,  


— 3   一  
. 

优  一l  
+  

< .  

2 n一3  

一   J  

2  

2  一  

3   ≥ 


一一  

“  
,  

…  
卜  


.  
, ’  

:  

一  

  一

?



?

l   一

  +  

+   1  


_ + l  
)=   ‘  

( 2 n- I ) <

+ 



 

+ 

l  

≥  

一   … +   一   :  
一 ~  
+  



寺  一  

’毫  

一} 一 确  

2 [ ( ÷ 一   ) + (  一 ÷ ) + … + (   一   ) ] :  例 9求 证 : - +  +  + … + 专 <   ‘  
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中学 数 学研 究 

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证明 : 。 . 。  
l  
, '

< 
‘ . .

( 1 一   1   2 ) ,   了  n一  ) n   n ( n+  )  、 ~   ’  
L 

1+  

+  +  

+ … … +  + +  



<   1十 +   l [ (  

窑 
一  

4   n ' 矾骞   f
<J   m  一  


一  
J(   :1 , 2 , …) .  

证 明 : 熹 j  ̄ / — ( m + 巫 1 ) x n 一 瓤

 

)+ (  

一而 1 ) 一 ?+ (  

骞 J   巫}  
 

+   一 [ 【   一   了   —   —   ] J <   1 +   丢  
例1 0 ( 2 0 0 9广东珠 海 二模 )正项数 列 { 口   } 满 
足5  =  1( n  +   )




!   =墨 !  
2   (   +   T)  

其中 s   为 数列 { 。   }的前 n项 

熹   = -  一   - 薹   1 ,   而 毫   1< 毫  —  


和.  

_ 『 )=   , 故 结论 得证.   ( 1 )求数 列 { 。   }的通项 。   ;   ( 2 )求 5 =   +   +… +  1 的整数部 分
. 

N  1 3   求证 :  
l  
<  ‘  

+  

+  

+… +  

分析 : 要确 定 和式 S的整 数部 分 , 关 键是 将 S的  值 放缩 在 相邻 的两个 整数 之 问 !  
简解 : ( 1 ) 口  =   一   _ 『 ( 过程 略 ).  

证 



= 

< 

( 2 )由( 1 )知 , S  =   , 则当n   2时 ,  
2 (  
’ 

(  
?  。 

2  





 

1   2   。— 1   ) (   —   )  
1  

I2 ( 2   1—2   1 ) ,   _ 、   — —   ? ?   ’  
1   1  

一  

=  

<  1 =  2  

1  

+  

+ 芝   _ 二  +… + 三   _ =  
一  1 )  

<   √   — 
+  
?


一1  

=2 (   一  

) ,  

<1 + 2  ̄ ( 2 2   1   一   1  ) +(  
=  

1 8<2 (  


一1 )<  1 +   1  

‘ +  1 <  

∑ 

. +(  

一  

) ]  

1+2 (  
?

一1 ) =1 9,  

一  

…2   c  一  

+  = ÷ .  





S的整 数部分 为 1 8 .  

例1 1 ( 2 0 1 0广 东佛 山一 模 , 理 2 1 题第 ( 3 )问 )   已知 6 n<   , 求证 : 6  十b 2+. ¨ 6 n<   +1  

2   放缩 目标模型 —— 可求积 
放缩法证 明与数列求积有关 的不等式 , 方法与  上 面求 和相类 似 , 只不过 放缩后 的 6  是 可求 积 的模 
型, 能求 积 的常见 的数列 模型是 6  =   ( 分式 型 ) ,  

证 

?  

<  

=  

2 ——  — = 2n == 二 + 二 1     <  

2  

累 乘 后约 简为1 - I   6   =   .  
我们熟知分式的性质 : _ 垒 _ <   ( 。>6>0
,  

二= —= =  _  


<   、  : 2 凡+  _   『 一、 一     2 n一  ’ ,  





6 】 +b 2 +…6  <( √ 3—1 )+( √ 5一 √ 3 )+…  

m >0 ) , 即正的真分数 , 分子分母加上 同一个正数  后, 分数值变大 ; 正的假分数 , 分子分母 加上 同一个  正数后 , 分数值变小.很多时候 , 我们就是根据这个  性质将不可求积 的分式型 a   放缩 为可求积的分式 
型b   .  

+( , / 2 n+1一, / 2 n一1 )= , / 2 n+1—1 .   例1 2 ( 2 0 1 0广东卷 , 文2 l 题第 ( 3 ) 问) 设 m与 
1  

为两个给定的不 同的正整数 , 已知  =  1, y  =  

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3 0  

中学数 学研 究 

2 0 l 1 年第 1   l 期 

例1 4( 2 0 0 9广东卷 , 理2 1题第 ( 2 )问 )证 明 :  

×   ;× ×  × …× 一 ×  :     <  
×

n 3  

一 

  2’

+   卿 1  

1  
> 

?
. .

( 1+1 ) ( 1+   1) ( 1+   1) …( 1+   3 n- 一 2)>  

证 明:‘ . ‘  

<  
1  
. 

4  

. 

7  



2n 一 1   2 n   2 n 一1   2 n 一1   2 n   2n + 1 — 2n + 1 —   2n  

% /  

/ 巫 3n  

2 =  

评注 : 本题 一样也可 以利用 “ 立方法 ”放 缩 : ( 从  不 等式右边 开立 方得 到启示 )  

号 ×  × ≥ ×   詈 × … 一 ×   百 
√了 / 5    一 ×  / 2 n 一 1    /  1  ‘ 2 n +1一 2n 十 1  
评注: 本题结 论等价于 : T 2 ×了 4 ×6 5
>、  
/ / ,一 I  

( 1+3 _ nL -2  
+ 

1 +  

+   1

+  


= 

+ 

> 

× …

×  

, 也等 价 于 

3   放 缩 目标 模 型 — — 利 用 二 项 式 定 理 
有 些时候 , 我们 可 以利用 二项式 定理 , 舍去 展开 
式 中的部分 项或放 缩 展 开 式 的通 项 , 达到放缩的 目  
的.  

l g ( 1+1 )+l g ( 1 +   )+1 g ( 1+   1)+.  +1 . g ( 1  
1   )> 1 g ( 2 n+1 )
.  

+ 

例1 7   已知 0  =2   +/ 1 , ~1 , 数列 { o   }的前  例l 5 ( 2 o 0 9山东卷 , 理2 0题 第 ( 2 )问 ) 证明:   3   / / , 项 和为 A   , 试 比较 A  与 n  +n的大小 , 并 说 明理 
由.  
×  ×   一 ….× ×   >  ’  

解: ‘ .   A   =( 1+2+ 2  +… +2   )+[ 0+l+  

证 

2   n+l>  

j( 2 n   +1 )  

2+… +(   一1 ) ] :2  一l+旦  
A  一(  2+  ) :2  一1+  
, ,  一  


> 

l _ 1 .   一 旦 :  
2n   2n + 1   / " t  

j 
2 n  

>  

+3 n 十2  
1 

寻 × ÷ l _ ×  × … ×   ■   一 >  
/   7   x ×   √  × x   √ 了  一 x . . . x ×   ~ .   n + 1 一   ,
  ’

当 n:l , 2 , 3 时, 2  <  
n :  

, 则A  <n  +  

,  

评注: 本 题除利 用分 数性 质放缩 外 , 也 可 以利用  “ 平 方 法”放缩 : ( 从不 等式 右边 开平方 得到启 示 )  
(  
> 1+  
凡  

当凡  4 时, 2 “ =( 1 + 1 ) “ >c : + C   + c   + C  
=  + n +  +  —二—  

(  +  
:  
n 

+  
= = >  
Z  

+  
/ / ,× 3 × 2  
+n +   +  

n  +3 n +2   2   ’  

6  

>  

贝 0   A  >  

+n .  

例1 8 求证 :   3  

( 1+   )   <2
. 

+1 ) ( 1 +   1( 1 + 了 1) . . . ( 1 +  
证日 月= . . . 1+  
3n  
>  > 

)>  
证 明: 由二项 式定 理 , 得 

=  
3 n +1  
,  
?

( 1 +  ) ” =1 + c   ?   + c : ? (  )   + …+ c  
£n  r L   二| L  

(   )  +. . ? +c  ? (   ) 『 t .  


? .



n-2   ( 1+3  

?  

?  

=  

( 1+   ) “≥ 1+c  ?   1=   3




又c   (   )  <  

万方数据

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中 学数 学研 究 

3 1  

(   1)   ( r



0, l , 2, …, n ) ,  

例2 0 ( 2 0 1 1 华 约 自主招 生试题 )   )=   1 ) =1 , l  f
1  

a 

十 D 

,  

?




( 1 +   )   < 1 + 寺 + (   )   + … + (   )   =  
<2, 不等式 得证 .  

:   2


数列 {  } 满足 

= iX f , n ) ,  

2一  1

且  =÷.( 1 )求 {   }的通项;( 2 )求证:  
1 x, 2   3…  


4   放 缩 目标模 型 —— 利用重要 的函数不等 
式:  
<l n ( 1+  ) <  (   >0 )  

1   > 2 — — e。  

简解 : (  )   n  

l  

l   l/ , l  

‘  

( 过程 略 ) -  

此不等式的证明及应用 , 在文 [ 1 ]已作了详 细 
研究 .一般 地 , 大凡 证 明一 些 与 “ e ”或 “ I n ”有 关 的 

( 2 )  …  >  甘 ( 1 +  ) 寺 ) ( (+ 1 +  ) … ( 1 +  


数列不等式 , 都可通过灵活应用此不等式放缩解决 ,   证明的关键在于如何将  赋予有关 的值 , 从而将不  可求 和 或不 可求 积 的问题进 行 转化 .记忆 积 累这个 
公式 可 以大大 缩短 解 题 时思 维 的 长度 , 这 种类 型 的 
试题 也非 常值 得我 们去研 究.  

<e , 甘l n [ ( 1+   1) ( 1+   ) - . ? ( 1+  

) ]<  
)<  

l 甘l n ( 1+   1)+I n ( 1+   )+… +I n ( 1+  
I .  
? 。

例1 9 ( 2 0 1 0广州市二模 , 理2 1 题 )已知数列  { a   } 和{ b   } 满足 a  =b   , 且对任意 n∈N  都有 a  
?  



当  >0 时, l n ( 1+  )<  , 令  =   , 得 

I n ( 1+   )<   ,  
?

I n ( 1+   1)+I n ( 1+   )  


? +I n ( 1+  1 )  



( 1 )求数 列 { a   } 和6  的通 项公 式 ;  
( 2 )证 明 :   a 2+   a 3+   a 4+… +   a n +<l n ( 1+  )  

<   寻+ +   击+ + …+   : 1 一   <   1 , 得 证 让 ! 1  




昔 +  + 等 + . 一 + 嚣 .  
, 6  =  

=   ,  

5   放缩 目标模型 —— 利用贝努利不等式及 
其 一般 形 式 
( 过程略) .  
贝 努利 不 等 式是 一个 重 要 的不等 式 , 在 高 中新  课 程标 准 和高考 考试说 明都 对这 一 内容 提 出了 明确  要求 : 会 用数 学 归 纳 法 证 明 贝努 利 不 等式 ( 1+  ) “   1+n x (   >一1 , n为正 整数 ) .   贝 努利 不 等 式 的 一 般 形 式 是 : ( 1+   ) ( 1+  


简解 : ( 1 ) 。  :  
( 2 ) 。 . ’   a n=  1
an+l

,  

? . .

所 证 不 等 式 即 为 丢 +   1 +   1 + … +   <  
+… +   .  

) …( 1+   )   1+(  1+  2+… +   ) , 其 中 l ,  

n (   十n )<   +   +  
? . ‘

2 , …,   ∈( 一1 , 0 ]或 1 ,   2 , …,   ∈[ 0 ,+ o 。 ) .   利用 数 学 归 纳 法 容 易 证 明此 结 论 .特 别地 , 当 。 ,  


当  >0时 ,  

<l n ( 1+  ) <  , 令  =   <  
n   n  




,  

∈( 0, 1 )时 , 有( 1一 X 。 ) ( 1 一  ) …( 1一  )  

上 得-l _
n  


<l   ( 1+   ) :1  
n 

1 + n  

累加 得 

>1一(  1 +  2+… +  ) ; 当 1=  2=… =   =   >一1时 , 就是 贝努 利不 等式.  

l n  

可 将不 可 求积  ? ’ ‘  + ÷ 了 +  + ÷ + … ‘ 一 +   <   J n 旱 丁 +   J n ”  + 吾 +   利用 贝 努利 不 等 式 的一 般 形式 , 的数列 { 1±   } 放缩为可求和的数列 {  } 解决.   例2 1 ( 2 0 0 6江西卷 , 理2 2题第 ( 2 )问 )已知 a   < - + 吉 L   +  + … +   n ,   ≥, 证 明 :  z … 口   < 2 n ! ?   即  + ÷ + } + … +   < ? n ( - + 凡 )   证明。   丢 + ÷ + … +  , 得 证 !  
?
. . 



+… +l n  

n 

< 



万方数据

3 2  

中学数学研究 

2 0 1   1 年第 1 1 期 

尺 规 作 椭 圆切 线 的 四 种 视 角 十 二 种 方 法 
浙江省杭州市余杭 高级 中学   ( 3 1   1 1 0 0 )   曹凤 山( 特级教 师)  
尺规 作椭 圆 ( 双曲线 、 抛物线 ) 切线 的 问题 一直  为大 家所关 注 , 不 断有新 的方 法 出现 , 只是有些 作法  思 路不 清 , 或 者方 法太 繁 琐 , 不 好 操 作. 本 文 对 这类 
作图 问题 ( 过椭 圆 L一点作切 线 )从 四种视 角 分析 ,  

=1 与  轴 ,   =n, 准线  =   的交点分 别 为 (   ,  
c   X0  

0 ) , (  ,  
x0  

) , (   ,  
t l   C   一 )0  

) .  

并给 出一些 相对 简单 的作法. 供参 考.  
2   2  

引理 3   过点 P( x 。 圳 Y) , R( a, 一 0 )  
O  

约定 , 本 文中 的椭 圆方程 均 指- 7十     =l ( n>  
a  D  

( 或者 ( 。 ,   线 为椭 圆的切线.  

) , (   ,  
c   — Yo  

) )两 点 的直 

b>0 ) , 点 P(   Y   )为椭 圆上异 于顶点 的任 意一 点  ( 过椭 圆顶 点 的 切 线很 容 易 作 出 , 这里不再讨论 ) ,   椭 圆 的左 、 右焦 点分 别为 F   ( 一c , 0 ) , F   ( C , 0 ) .  
先 给出 以下引理 及证 明.  
2  
, ,

n十 “  

引理 l 、 2 、 3的 证 明都 比 

、  

较 简单 , 这 里从 略.  
、  

O 
~  

2  

视角 1   基 于 椭 圆 的 光 
=1 ( 。> b>0 ) 上 一  :1 .   学 性质 
一  

引理 1   过椭 圆  +  
a  D 

‘ 

作法 1   如图 1 , 连 接 

点 P(   ,   )的切 线方 程为  +  

F 。 P , F   P , 延长 F   P 至Q , 作角  
F , P ( ) 的平 分 线 P R ( 或 作 
图 1  

引理 2   过点 P(  ,   )的椭 圆 的切线X - o 『 X+  

F 。 J p F :的平 分线 过点 P的垂线 ) , 则P 尺即为 过点 
1+   +  1
+ … + 

?






<   ( 证 明见例 7 ( 3 ) ) ,  

) …( 1一   )>  1 <2 n ! 铮( 1一了 1) ( 1—- 1


则  +   +… +  
?

<   ,  

. 





不等式 得证.  

根据 贝努 利不等 式 的一 般形 式 , 得 

结 束 语 
基础知 识 、 方法 和技能 是数学 大树 的根 , 根深 才 
能 叶茂.在平 时 的教 学 中 , 引导 学 生 有 意 识 地 去 积  累 一些放缩 目标 模 型及 其 放 缩方 法 非 常 必要 , 熟 能 

( 1一 了 1 ) ( 1 一   ) . . . ( 1 一   )>l 一(   +   +  

… +  =   一  c   一  :  +   > 丢 ,  
? .


不 等式得证 .  

生巧 后就不 会盲 目乱 “ 放 ”乱 “ 缩 ”了 ! 当然 , 要 达 到  炉火 纯青 的深厚 功力 , 还必 须在 实践 中不断 去感 悟 ,   仔 细揣摩 其方 法 , 逐 步 内 化 为 自己个 人 的 “ 修 为”,  

评注: 如果 脑 海 中有 贝 努利 不 等式 及其 一 般 形 
式 作 为知识储 备 , 解 决本 题 自然水 到渠成 .  

例2 2 求证 : ( 1一   1) ( 1


 

) …( 1一   )  
j  凡 

南宋杰出的诗人陆游说得好 : “ 纸上得来终觉浅 , 绝  知此事要躬行” , 讲的就是这个道理 !  
参 考 文 献 

>了 1 ( n   2   2 )
. 

[ 1 ]徐广华  一个函数 不等 式 “ 繁 殖 ”出 来 的数 列不 等 式 “ 蘑 菇  群” [ J ] . 数学通讯 ( 教师 ) , 2 0 0 8 ( 1 9 ) .   [ 2 ]钱从新 .放缩法证明数列不等式的基本策略 [ J ] .数学 通讯( 教 
师) , 2 0 0 8 ( 2 1 )  

证 明: 根 据 贝努利 不等式 的一 般形式 , 得 
( ?一   ) (  一   ) . _ ‘ (  一   )>   一(   +   +  


[ 3 ] 张惠民 不等式证明 中不得 不关 注的几 个问题 [ J ] .数学通 讯 

+   ) .  

( 教 师) . 2 0 0 9 ( 6) .  

万方数据

放缩法证明数列不等式“有法可依”
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 徐广华 广州市广东广雅中学,510160 中学数学研究 2011(11)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj201111009.aspx


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