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黄冈市2014届高三5月适应性考试理科数学试题(Word解析版)


黄冈市 2014 年高三年级 5 月份适应性考试 数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)

1 3 ) ? i ,则复数 z3=( 2 2 A. 1 B. - 1 C. 2 D. -2 2. 设全集 U=R,A={x|x(x-2)<0},

B={x|y=ln(1-x)<0},则图
1. 若复数 z ? ? 中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|1≤x<2} C.{x|x≥1} D.{x|x≤1} 2 2 3. 已知命题 p: “ ? x∈[1,2],x -a≥0” ,命题 q:“ ? x∈R 使 x +2ax+2-a=0” ,若命题 “p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( )

A. C.

?a a ≥ 1? ?a ?2 ≤ a ≤ 1?
)

B. D.

?a a ≤ ?2或1 ≤ a ≤ 2? ?a a ≤ ?2或a ? 1?

4. 函数 y=sin2x+acos2x 的图象左移 π 个单位后所得函数的图象关于直线 x ? ? 则 a=(

?
8

对称,

A. 1

B.

3

C. -1

D. - 3
)

?x ? y ? 2 ≤0 ? ? 2 2 5. 在区域 ? x ? y ? 2 ≥ 0 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x +y =1 内的概率为( ? y≥0 ? ?

6 4 2 ? ? AB AC ? ? BC ? 0 且 A B ? A C? 1 , 6. 非零向量 AB 与 AC 满足 ? 则⊿ABC 为( ? ? AB AB AC 2 AC ? ? ?

A.

?

8

B.

?

C.

?

D.

?

)

A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 7. 甲乙两人从 4 门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有
( )种

A. 30
25? 3 34? B. 3 16? C. 3 ? 3 16? D. 12 ? 3

B. 36

C. 60

D.72

8. 一个几何体的三视图如图所示, 这个几何体的体积是( )

A.

1

9. 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)作圆 x +y =a 的切线,切点为 E,延 长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,O 为原点,若|FE|=|EP|,则双曲线离心率为(
2

x2 y2 a b

2

2

2

)

A.

1? 5 2
2

B.

1? 3 2

C.

4 2?2 7

D.

4 2?2 7

10. 函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测对任意的非 0 实 2a
)

数 a、b、c、m、n、g 关于 x 的方程 m[f(x)] +n f(x)+g=0 的解集不可能是( A. {1,3} B. {2,4} C. {1,2,3,4} D. {1,2,4,8}

第 II 卷

(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡的相应位置。 11. 从某校高三年级随机抽取一个班, 对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进行 统计,其频率分布直方图如图所示。若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班 学生中能报 A 专业的人数为 .

12. 已知集合 A={x|x=2k,k∈N*},如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x=
2

.

13. 设 a、b、c 为正数,a+b+9c =1,则 a ? b ? 3c 的最大值是 , 此时 a+b+c= . 14. 1955 年,印度数学家卡普耶卡(D.R. Kaprekar)研究了对四位自然数的一种交换:任给 出四位数 a0 ,用 a0 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数 m,再减去它的反序数

n(即将 a0 的四个数字由小到大排列,规定反序后若左边数字有 0,则将 0 去掉运算,比
如 0001, 计算时按 1 计算), 得出数 a1 ? m ? n , 然后继续对 a1 重复上述变换, 得数 a2 , ?, 如此进行下去,卡普耶卡发现,无论 a0 是多大的四位数,只要四个数字不全相同,最多 进行 k 次上述变换, 就会出现变换前后相同的四位数 t(这个数称为 Kaprekar 变换的核). 通过研究 10 进制四位数 2014 可得 Kaprekar 变换的核为 . 15. (几何选讲选做题)以 Rt⊿ABC 的直角边 AB 为直径作 圆 O,圆 O 与斜边 AC 交于 D,过 D 作圆 O 的切线与 BC 交于 E,若 BC=6,AB=8,则 OE= . 16. (坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为

? sin ? ? ?
离为

? ?

??

2 7? ? ,则点 A(2, )到这条直线的距 ? 4 4? 2 .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。答题时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本大题满分 12 分) ?? ? 设函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? sin2 x . 3? ? (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期。 (2)设 A、B、C 为⊿ABC 的三个内角,若 cos B ? 求 sinA.

1 , 3

1 ?C? f ? ? ? ? ,且 C 为锐角, 4 ?2?

18.(本大题满分 12 分) 函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ?

1 . 2

?1? ?1? ? n ?1? (1)求 f ? ? 和 f ? ? ? f ? ? (n∈N*)的值; ? n? ? n ? ? 2? ?1? ? 2? ? n ?1? (2)数列{an}满足: an ? f ? 0 ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? 1? ,求 an; ? n? ? n? ? n ? 4 16 2 2 2 2 (3) 令 bn ? ,Tn ? b1 ,Sn ? 32 ? , 试比较 Tn 和 Sn 的大小。 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn 4an ? 1 n

19.(本大题满分 12 分) 在斜三棱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥面 ABC,AA1= 2a,A1C=CA=AB=a, AB⊥AC,D 为 AA1 中点。 (1)求证:CD⊥面 ABB1A1; π (2)在侧棱 BB1 上确定一点 E,使得二面角 E-A1C1-A 的大小为 . 3

3

20.(本大题满分 12 分) 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次:在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次。 某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2,该同学选择先在 A 处投一球,以 后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

ξ P

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

(1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ); (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小。

21.(本大题满分 13 分) 2 2 2 已知 P 是圆 M:x +y +4x+4-4m =0(m>0 且 m≠2)上任意一点,点 N 的坐标为(2,0), 线段 NP 的垂直平分线交直线 MP 于点 Q,当点 P 在圆 M 上运动时,点 Q 的轨迹为 C。 (1)求出轨迹 C 的方程,并讨论曲线 C 的形状; (2) 当 m= 5时, 在 x 轴上是否存在一定点 E, 使得对曲线 C 的任意一条过 E 的弦 AB,

1 EA
2

?

1 EB
2

为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由。

22.(本大题满分 14 分) x 已知 f(x)=e -t(x+1). (1)若 f(x)≥0 对一切正实数 x 恒成立,求 t 的取值范围; (2)设 g ? x ? ? f ? x ? ?

t ,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线 y=g(x)上任意两点, ex
n

若对任意的 t≤-1,直线 AB 的斜率恒大于常数 m,求 m 的取值范围;
n n n (3)求证: 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ n (n∈N*).

4

红安县第三中学徐谋启 QQ:1544140657 整理

参考答案
一、选择题 题号 A 卷答案 二、填空题 11、20 12、11 13、
21 18 ? 7 , 3 21

1 A

2 B

3 D

4 C

5 C

6 C

7 A
15、5

8 D
16、

9 A
2 2

10 D

14、6174

一、选择题
1. 【解析】z3=1, 【答案】A. 2. 【解析】A=(0,2),B=(0,1),∴阴影部分为{x|x∈A,x ? B}=[1,2). 【答案】B. 3. 【解析】依题意 p、q 都是真命题,p 为真得:a≤1,q 为真得:Δ=4(a+2)(a-1)≥0, 即 a≤-2 或 a≥1,∴a≤-2 或 a=1. 【答案】D. 4. 【解析】依题意函数 y=sin2(x+π)+acos2(x+π)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x ? ?

?

? ?? ? ?? 2 对称,∴ sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? ? a 2 ? 1 ,化简得(a+1) =0,∴a=-1. 4 4 ? ? ? ? 【答案】C.
5. 【解析】区域表示右图阴影部分⊿ABC,其面积为 × 2× 2=2, 点 P 落在圆 x +y =1 内的部分面积为 × π× 1= , 所求概率为
2 2

8

1 2

1 2

2

π 2

?
4

.

【答案】C. 6. 【解析】由前一个等式知,角 A 的平分线与 BC 垂直,即 AB=AC,由后一个等式得,

1 cosA= ,∴∠A=60° ,∴⊿ABC 为等边三角形。 2 【答案】C. 2 7. 【解析】选由甲选有 C4 ? 6 种选法,在甲的每一种选法中,乙选的两门课程只要和甲不 完全相同,就符合条件,所以乙有 5 种选法,故共有 6× 5=30 种选法。 【答案】A. 8. 【解析】由三视图知,这个几何体是一个半径为 2 的半球和底面边长为 2 高为 3 的正四 1 4π 3 16π 2 棱柱的组合体,其体积为 2 × 3+ × × 2 =12+ . 2 3 3 【答案】D. 9. 【解析】设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ∵E、O 分别是 FP、FF'的中点,∴|PF'|=2a 2 由抛物线的定义得:xP=2a-c,∴ yP ? 4c ? 2a ? c ? 2 2 2 又|PO|=|PF|=c,∴(2a-c) +4c(2a-c)=c ,即(2a-c)(2a+3c)=c ,
∴(2-e)(2+3e)=e ,解得: e ? 【答案】A.
2

1? 5 . 2
2 2

10. 【解析】设 f(x)=t,则方程 m[f(x)] +n f(x)+g=0 为 mt +nt+g=0,即 f(t)=0
5

若 f(t)=0 只有一根 k,则 f(x)=k 且最多有两根 x1、x2,由 f(x)的图象关于直线 x ? ? 对称知: x1 ? x2 ? ?

b 2a

b 2 ,此时也是方程 m[f(x)] +n f(x)+g=0 的解,因 a、b 取值不定, 2a
2

x1+x2 可能为 4,也可能为 6;若 f(t)=0 有两根,则方程 m[f(x)] +n f(x)+g=0 最多有四
根,同前一种情况分析,这四根分成两组,每两对根之和都应等于 ? 不可能是{1,2,4,8}. 【答案】D.

b ,∴方程的解集 2a

二、填空题
11. 【解析】该班视力在 0.9 以上的人数为(1+0.75+0.25)× 0.2× 50=20. 【答案】20. 12. 【解析】 由程序框图知, x 的值依次为 2× 2+1=5、 (5-4)2+2=3、 2× 3+1=7、 (7-4)2+2=11. 【答案】11. 13. 【解析】由柯西不等式得:
2 ? ? 3? ? 7 ? 2 2 ? a ? b ? 3c a ? b ? ? 3c ? ? ?1 ? 1 ? ? ? 3 ? ? ??3, ?? ? ? ? ? 1 3 2 当且仅当 a ? b ? 3 3c ,即 a=b=27c = 27 ? ? 时,等号成立。 63 7 18 ? 7 21 故 a ? b ? 3c 的最大值是 ,此时 a+b+c= . 21 3 21 18 ? 7 , 【答案】 . 3 21 14. 【解析】按题设规则运算可得:a12=a13=6174,即 Kaprekar 变换的核为 6174. 【答案】6174. 15. 【解析】联结 OD、BD,∵EB、ED 都是⊙O 的切线,∴ED=EB,又 OD=OB,

?

?

2

? ≤ ? ?

? ? ? ?
2

2

2

∴OE 垂直平分 BD, 即 OE∩BD=P 是 BD 的中点, ∴OP ∥ AD, 由此 OE= AC=5. 【答案】5. 16. 【解析】以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系。 则直线的直角坐标方程为 x+y-1=0,点 A 直角坐标为 由点到直线的距离公式得:A 点到此直线的距离为 【答案】

1 2

1 2

?

2 ,? 2 .

?

2 . 2

2 . 2

三、解答题
17、 【解】 (1) f ? x ? ? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

?

1 ? cos 2 x 2

?
?

1 3 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2 2 2
1 3 ? sin 2 x .???3′ 2 2

∴当 2 x ? ?

?
2

? 2k? ,即 x ? ?

?
4

? k? (k∈Z)时, f ? x ?最大值 ?

1? 3 ,???4′ 2

6

f(x)的最小正周期 T ?

2? ? ? ,???5′ 2
1? 3 ,最小正周期为 π. ???6′ 2

故函数 f(x)的最大值为

1 1 3 1 3 ?C? sinC ? ? ,解得 sinC ? (2)由 f ? ? ? ? ,即 ? 。 2 4 2 2 4 2 ? ?
又 C 为锐角,∴ C ? ∵ cosB ?

?
3

. ???8′

2 2 1 ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 3 3 ∴ sin A ? sin ? ?? ? ? B ? C ?? ? ? sin ? B ? C ? ? sinBcosC ? cos B sinC

?

2 2 1 1 3 2 2? 3 ? ? ? ? . ???12′ 3 2 3 2 6

?1? ? n?1? 1 f ? ?? f ? ? ? ???4′ n ? ? ? n ? 2 ? n?1? ?1? ?1? ? n?1? ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? 0 ? , an ? f ? 0 ? ? f ? ? ? ? ? ? ? f ? (2)由 an ? f ? 1? ? f ? ? ? ? f ? 1? ? n ? ? n? ? n? ? n ?

1 ?1? 1 18、 (1) 【解】令 n=2,则 f ? ? ? ;令 x ? 得 2 4 n ? ?

n?1 n?1 ,∴ an ? ???8′ 2 4 4 4 16 16 1? ? 1 ? , bn 2 ? 2 ? (3) bn ? ? 16 ? ? ? (n≥2) 4an ? 1 n n ? n ? 1? n ? n?1 n?
两式相加得: 2an ?

? ? 1 1 1 ? 1 1 1 16 ? Tn ? 16 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? 16 ? 1? ? ? ??? ? ? 32 ? ? Sn ? ? ? 1? 2 2 ? 3 n ? n ? 1? ? n 2 2 n ? ? ?
∴ Tn ≤ Sn .???12′ 19、 (1) 【证】∴面 ACC1A1⊥面 ABC,AB⊥AC ∴AB⊥面 ACC1A1,即有 AB⊥CD; 又 AC=A1C,D 为 AA1 中点,则 CD⊥AA1 ∴CD⊥面 ABB1A1???6′ (2) 【解】如图所示以点 C 为坐标系原点,CA 为 x 轴,过 C 点平行于 AB 的直线为 y 轴, CA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz,则有 A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a),设 E ? x, y, z ? ,且 BE ? ? BB1 ,
即有 ? x ? a, y ? a,z ? ? ? ? ?a, 0,a ? 所以 E 点坐标为 ?1 ? ? ? a,a, ? a

?

?

由条件易得面 A1C1A 的一个法向量为 n1 ? ? 0,1,0? 设平面 EA1C1 的一个法向量为 n2 ? ? x, y,z ? ,

? ? ? n2 ? A1C1 ? ?ax ? 0 由? 可得 ? ? ? ?? 1 ? ? ? ax ? ay ? ? ? ? 1? az ? 0 ? n2 ? A1 E 1 ? ? 令 y=1,则有 n2 ? ? 0 ,1 ???9′ 1? ? ? ? ?
则 cos

?
3

?

n1 ? n2 n1 n2

? 1?

1 1

?
2

3 1 ,得 ? ? 1 ? ???11′ 3 2

?1 ? ? ?

7

∴当

BE BB1

? 1?

3 ? 时,二面角 E-A1C1-A 的大小为 ???12′ 3 3

20、 【解】 (1)由题设知, “ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中” ,由对立事件 和相互独立事件性质可知

P ? ? ? 0 ? ? ? 1 ? q1 ?? 1 ? q2 ? ? 0.03 ,解得 q2 ? 0.8 ???2′
2

(2)根据题意

1 P1 ? P ?? ? 2? ? ?1 ? q1 ? C2 ?1 ? q2 ? q2 ? 0.75? 2? 0.2 ? 0.8 ? 0.24 .???3′

2 P3 ? P ?? ? 4? ? ?1 ? q1 ? q2 ? 0.75 ? 0.82 ? 0.48 ???5′

P2 ? P ? ? ? 3 ? ? q1 ? 1 ? q2 ? ? 0.25 ? ? 1 ? 0.8 ? ? 0.01. ???4′
2 2

因此 E ?? ? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 . ???8′

P4 ? P ?? ? 5? ? q1q2 ? q1 ?1 ? q2 ? q2 ? 0.25 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24 .???6′

(3)用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投,以后都在 B 处投,得分超过 3 分” , 用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投,得分超过 3 分” , 则 P ? C ? ? P ?? ? 4? ? P ?? ? 5? ? P3 ? P4 ? 0.48 ? 0.24 ? 0.72 . ???9′
2 1 P ? D? ? q2 ? C2 q2 ?1 ? q2 ? q2 ? 0.82 ? 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.896 .???11′ 故 P(D)>P(C).???12′

即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投以后都在 B 处投得分超过 3 分的概率。 21、 【解】 (1)m>2, C :

x2 y2 ? ? 1 ,以 N,P 为焦点的椭圆???2′ m2 m2 ? 4

x2 y2 ? ? 1 ,以 N,P 为焦点的双曲线???4′ m2 4 ? m2 x2 ? y2 ? 1 , (2)由(1)曲线 C 为 5 设 E ? x0 , 0? ,分别过 E 取两垂直于坐标轴的两条弦 CD, C ?D ? ,

M<2, C :

2 1 1 ? ? 2 2 x EC ED EC ? ED? 5 ? x0 1 ? 5 ? x0 1? 0 5 ? 30 ? 30 解得 x0 ? ? ,∴E 若存在必为 ? 定值为 6. ???6′ ? ,0 ? ? ? 3 3 ? ? ? 30 ? 下证 ? 满足题意。 ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ? 30 ? 30 设过点 E ? ? 3 ,0 ? ? 的直线方程为 x ? ty ? 3 ,代入 C 中得: ? ?



1

2

?

1

2

?

1

2

?

1

2

,即

2

2 30 5 ty ? ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , 3 3 5 20 30t 则 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? ???8′ 2 2 3 ? t ? 5? 3 ? t ? 5?

?t

2

? 5 y2 ?

?

1 EA
2

?

1 EB
2

?

?1 ? t ? y
2

1

2

?

1

?1 ? t ? y
2

1

2 2

?

? 1 1 ? ? 2? 2? ?1 ? t ? ? y1 y2 ? 1
2

8

?

?1 ? t ?
2

1

y12 ? y2 2 1 ? y1 ? y2 ? ? 2 y1 y2 ? 2 2 2 y1 y2 ?1 ? t 2 ? ? y1 y2 ?
2

? 2 30t ? 2 1 ? ?3 t ?5 ? ? 1? t2 ? ? ? ?3

?

? ?

? 5 ? ?2 2 ? 3 t ?5 ? ? 6 .???13′ 2 ? 5 ? 2 t ?5 ? ?

2

?

?

?

30 ? 也满足题意。 ,0 ? ? 3 ? ? ? 1 1 30 ? ? ? 6. 综上得定点为 E ? ,定值为 2 2 ? ? 3 ,0 ? ? EA EB ? ?

同理可得 E ? ??

?

ex (x>0)恒成立。 x ?1 xe x ex ≥0 设 p? x? ? (x≥0),则 p? ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

22、 【解】 (1) f ? x ? ≥ 0 ? t ≤

∴ p ? x ? 在 x ? ? 0 , ??? 单调递增, p ? x ? ≥ p ? 0? ? 1 (x=1 时取等号) , ∴t≤1???4′ (2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1<x2
g ? x2 ? ? g ? x1 ? x2 ? x1 ? m ,故 g ? x2 ? ? mx2 ? g ? x1 ? ? mx1

设 F ? x ? ? g ? x ? ? mx ,则 F(x)在 R 上单增,???7′ 即 F ? ? x ? ? g? ? x ? ? m ? 0 恒成立。 即对任意的 t≤-1,x∈R, m ? g? ? x ? 恒成立。 而 g? ? x ? ? e x ? t ? 故 m<3???9′ (3)由(1)知, x ? 1 ≤ e x ? e?
x ?1? ?1
n

t ? ?t ? ≥ 2 e x ? ? x ? ? t ? ?t ? 2 ?t ? x e ?e ?

?

?t ? 1 ≥ 3

?

2

, ? x ≤ e x ?1
n

? k ?1 ? ek k ?k? 取 x ? ( k ? 1, 2 ,? ? ? ,n ? 1 ) ,则 ? ? ≤ ? e n ? ? n . e n ? n? ? ?
n ?1 n n ?1 k e 1 e 1? e e ?1 1 ? 1 ?k? ? ? n ?? ?1 ? ? n ? ≤ ? en ? en ? 1 ? e ? e ?1? e e ? e ?1 ? k ?1 ? k ?1 n ?1
n ?1 ?k? ? 1 , ? k n ? nn ? ? ? n? ? k ?1 ? k ?1 n ?1 n

?

?

∴ 1n ? 2n ? ? ? ? ? ? n ? 1? ≤ nn (n∈N*)???14′
n

命 审

题:红安一中 涂建兵 题:红安一中 周静堂

9


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湖北省黄冈市2014届高三5月适应性考试文科数学试题 Word版含答案

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湖北省黄冈中学2014届高三5月适应性考试 数学理A卷试题 Word版含答案

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