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方程的根与函数的零点


3.1.1

一、选择题 1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x2-4x+5 C.f(x)=lnx-3x+6 [答案] D [解析] 对于函数 f(x)=ex+3x-6 来说 f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0 ∴f(1)f(2)<0,故选 D. 2.已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x

轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 数 m 的取值范围是( A.(0,1] C.(-∞,1) [答案] D 1 [解析] 解法 1:取 m=0 有 f(x)=-3x+1 的根 x= >0,则 m=0 应符合题设,所以排 3 除 A、B,当 m=1 时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2 它的根是 x=1 符合要求,排除 C.∴选 D. 解法 2:直接法,∵f(0)=1,∴(1)当 m<0 时必成立,排除 A、B, m>0, ? ?Δ=(m-3) -4m>0, (2)当 m>0 时,要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧,则? m-3 ? ?- 2m >0,
2

)

B.f(x)=x3-5x-5 D.f(x)=ex+3x-6

) B.(0,1) D.(-∞,1]

∴0<m≤1. 1 (3)当 m=0 时根为 x= >0.∴选 D. 3 3.函数 y=f(x)与函数 y=2x-3 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 y=f(x)与直线 y=x 的一个交点位于区间( A.(-2,-1) C.(1,2) [答案] B [解析] y=2x-3 的反函数为 y=log2(x+3) 由图象得:交点分别位于区间(-3,-2)与(2,3)内,故选 B. ) B.(2,3) D.(-1,0)

9 4.函数 f(x)=lgx- 的零点所在的大致区间是( x A.(6,7) C.(8,9) [答案] D 9 [解析] ∵f(9)=lg9-1<0,f(10)=1- >0, 10 ∴f(9)· f(10)<0, ∴f(x)在(9,10)上有零点,故选 D. B.(7,8) D.(9,10)

)

5.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且 α、β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是( A.a<α<b<β C.α<a<b<β [答案] C [解析] ∵α、β 是函数 f(x)的两个零点, ) B.a<α<β<b D.α<a<β<b

∴f(α)=f(β)=0,又 f(x)=(x-a)(x-b)-2, ∴f(a)=f(b)=-2<0. 结合二次函数 f(x)的图象可知,a、b 必在 α、β 之间. 6.若函数 f(x)=ax+b 的零点是 2,则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 1 C.0,- 2 [答案] C [解析] 由条件 2a+b=0,∴b=-2a 1 ∴g(x)=-ax(2x+1)的零点为 0 和- . 2 1 B.0, 2 1 D.2,- 2 )

2 ? ?x +2x-3,x≤0, 7.(2010· 福建理,4)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+lnx,x>0 ?

)

A.0 C.2 [答案] C

B .1 D.3

[解析] 令 x2+2x-3=0,∴x=-3 或 1 ∵x≤0,∴x=-3;令-2+lnx=0,∴lnx=2 ∴x=e2>0,故函数 f(x)有两个零点. 1?x 8.函数 y=x3 与 y=? ?2? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在区间为( A.(-2,-1) C.(0,1) [答案] C 1?x 1 [解析] 令 f(x)=x3-? ?2? ,则 f(0)=-1<0,f(1)=2>0,故选 C. 9.(湖南省醴陵二校 2009~2010 高一期末)有下列四个结论: ①函数 f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞) ②若幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数 ③函数 y=5|x|的值域是(0,+∞) ④函数 f(x)=x+2x 在(-1,0)有且只有一个零点. 其中正确结论的个数为( A.1 C.3 [答案] C [解析] 由?
?x+1>0 ? ?x-1>0 ?

)

B.(-1,0) D.(1,2)

) B .2 D.4

,得 x>1,故①正确;∵f(x)=xα 过(2,4),∴2α=4,∴α=2,

∴f(x)=x2 为偶函数,故②正确;∵|x|≥0,∴y=5|x|≥1,∴函数 y=5|x|的值域是[1,+ 1 - ∞),故③错;∵f(-1)=-1+2 1=- <0,f(0)=0+20=1>0,∴f(x)=x+2x 在(-1,0)内至 2 少有一个零点,又 f(x)=x+2x 为增函数,∴f(x)=x+2x 在(-1,0)内有且只有一个零点,∴④ 正确,故选 C. 10. 若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3, 则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是( 1 A.-1 和 6 1 1 C. 和 2 3 1 B.1 和- 6 1 1 D.- 和- 2 3 )

[答案] B [解析] 由于 f(x)=x2-ax+b 有两个零点 2 和 3, 1 ∴a=5,b=6.∴g(x)=6x2-5x-1 有两个零点 1 和- . 6 二、填空题 11.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

则使 ax2+bx+c>0 的自变量 x 的取值范围是______. [答案] (-∞,-2)∪(3,+∞) ax-1 1 - ,+∞?.则 a 12.(09· 湖北理)已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? ? 2 ? x+1 =________. [答案] -2 [解析] ax-1 <0?(ax-1)(x+1)<0, x+1

1 ∵其解集为(-∞,-1)∪(- ,+∞), 2 1 ∴a<0 且-1 和- 是(ax-1)(x+1)=0 的两根,解得 a=-2. 2 1 [点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知,- 是 ax-1=0 的根,∴a= 2 -2. 三、解答题 13.已知函数 f(x)=2x-x2,问方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内是否有解,为什么? 1 - [解析] 因为 f(-1)=2 1-(-1)2=- <0, 2 f(0)=20-02=1>0, 而函数 f(x)=2x-x2 的图象是连续曲线,所以 f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程 f(x)= 0 在区间[-1,0]内有解. 14.讨论函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数. [解析] 函数的定义域为(0,+∞),任取 x1、x2∈(0,+∞),且 x1<x2. f(x1)-f(x2)=(lnx1+2x1-6)-(lnx2+2x2-6) =(lnx1-lnx2)+2(x1-x2), ∵0<x1<x2,∴lnx1<lnx2. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

又 f(1)=ln1+2×1-6=-4<0. f(3)=ln3+2×3-6=ln3>0 ∴f(x)在(1,3)内有零点. 由 f(x)是单调函数知,f(x)有且仅有一个零点. 1 15.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数 f(x)的一个零点为- ,求满 2 足 f(log1x)≥0 的 x 的取值集合.
4

1? 1 [解析] ∵- 是函数的零点,∴f? ?-2?=0, 2 1 ∵f(x)为偶函数,∴f( )=0, 2 1 - ?, ∵f(x)在(-∞,0]上递增,f(log1x)≥f? ? 2?
4

1 ∴0≥log1x≥- ,∴1≤x≤2, 2 4 ∵f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上单调减, 1 又 f(log1x)≥f( ), 2 4 1 1 1 ∴0≤log1x≤ ,∴ ≤x≤1,∴ ≤x≤2. 2 2 2 4 1 故 x 的取值集合为{x| ≤x≤2}. 2 16.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的零点是-2 和 3,当 x∈(-2,3)时,f(x)<0,且 f(-6) =36,求二次函数的解析式. [解析] 由条件知 f(x)=a(x+2)(x-3)且 a>0 ∵f(-6)=36,∴a=1 ∴f(x)=(x+2)(x-3) 满足条件-2<x<3 时,f(x)<0. ∴f(x)=x2-x-6. x-2 17.已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [解析] (1)任取 x1、x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1,且 ax1>0. ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0. 又∵x1+1>0,x2+1>0,

∴ =

x2-2 x1-2 (x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) - = x2+1 x1+1 (x1+1)(x2+1) 3(x2-x1) >0 (x1+1)(x2+1) x2-2 x1-2 - >0,故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x2+1 x1+1

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x0-2 (2)证法 1:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0,则 ax0=- ,且 0<ax0<1, x0+1 x0-2 1 ∴0<- <1,即 <x0<2.与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 2 x0+1 证法 2:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0 x0-2 (Ⅰ)若-1<x0<0,则 <-2,ax0<1, x0+1 ∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾. x0-2 (Ⅱ)若 x0<-1,则 >0,ax0>0, x0+1 ∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根.


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