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33-第33课时 平面向量的数量积


第 33 课时 平面向量的数量积
一、学习要求 1.了解数量积的定义及其坐标表示,并能利用它们求两个向量的数量积. 2.能根据数量积求解向量的夹角和向量的模. 3.能正确记忆并运用向量共线和向量垂直的坐标表示,解决向量共线和向量垂直的问题. 二、课前预习 1.下列命题:①若 a≠0,a· b=a· c,则 b=c;②若 a· b=a· c,则 b≠c 当且仅当 a=0

时成 立;③(a· b)c=a(b· c)对任意向量 a,b,c 都成立;④对任一向量 a,都有 a2=|a|2.其中 正确的是 .④ ; (2)若 a 与 b 的夹角为 60° ,|a+b|

2.若|a|=1,|b|= 2. (1)若 a∥b,求 a· b= = .± 2 3+ 2

3.已知 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(a+?b),则实数?的值是

.-3

→ → → → → → 4. 在平面上三个点 A, B, C 满足 AB=3, BC=4, CA=5, 则 AB · BC + BC · CA + CA · AB = .-25 5.设 a,b,c 是单位向量,且 a·b=0,则(a-b)·(b-c)的最小值为 -1- 2 【知识与方法】 1.平面向量数量积的概念 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角是 θ(θ∈[0,π]) ,我们把数量|a||b|cosθ 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积) ,记作|a||b|cosθ,即 a· b=|a||b|cosθ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 2.平面向量数量积的性质 设 e 为单位向量,<a,e>=θ. (1)a· e=e· a=|a|cosθ; (2)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|.特别地,a· a=|a|2 或|a| = a· a. (3)非零向量 a⊥b 的充要条件是 a· b=0. a· b (4)cosθ= . |a||b| (5)|a· b|≤|a||b|. 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:a· b=b· a; (2)数乘结合律:(λa)· b=a· (λb)=λ(a· b)=λa· b; (3)分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. 4.平面向量数量积的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2;|a|= x1+y1;
2 2



cos<a,b>= 三、典型例题

x1x2+y1y2 2 2 2 2;非零向量 x1+y1 x2+y2

a⊥b 的充要条件是 a· b=0 即 x1x2+y1y2=0.

1 1 例 1(1)已知|a|=1,a·b= ,(a+b)·(a-b)= ,求向量 a 与 b,向量 a-b 与 a+b 夹 2 2 角的余弦值. 1 2 解:(a-b) ·(a+b)=a2-b2=1-b2= ,∴| b |= . 2 2 a·b ∴a 与 b 夹角余弦 cos< a,b>= = | a||b| 1 2 2 1× 2 2 . 2



|a-b|= (a-b)2= a2-2 a·b +b2= |a+b|= (a+b)2= a2+2 a·b +b2=

1 2 1-1+ = , 2 2 1 10 1+1+ = , 2 2 (a-b)·(a+b) 5 = = . 5 |a-b||a+b| 2 10 × 2 2 1 2

∴向量 a-b 与 a+b 夹角的余弦 cos<a-b,a+b>=

(2)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|3a-2 b|=3,求|3a+2 b|. 解:(3a+2 b)2=2(9 a2+4 b2)-(3a-2 b)2=26-9=17, 所以|3a+2 b|= 17. 【小结】向量夹角与模长的求法 例 2(1)已知|a|= 2,|b|=3,a 和 b 的夹角为 45° ,求使向量 a+?b 与?a+b 的夹角是 锐角时,实数?的取值范围. 解:a·b=|a|·|b|cos< a,b>= 2× 3× 2 =3. 2

若向量 a+?b 与?a+b 的夹角是锐角,则(a+?b) ·(?a+b)>0 且 a+?b 与?a+b 的方向不 相同. 由(a+?b) ·(?a+b)=? a2+(?2+1) a·b+? b2=3?2+11?+3>0 得 -11- 85 -11+ 85 ?< 或?> . 6 6 当 a+?b 与?a+b 的方向相同时?=1. 所以?的取值范围为(-∞, -11- 85 -11+ 85 )∪( ,1)∪(1,+∞). 6 6

(2)设 a=(x,3),b=(2,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 x 的取值范围. 解:因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 a·b<0 且 a 与 b 的方向不相反. 而 a·b=2x-3,a 与 b 的方向相反时 x=-6, 3 所以 x 的取值范围为(-∞,-6)∪( ,+∞). 2 【小结】向量夹角为钝角或锐角时参数范围的求法

例 3 已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且 a,b 满足关系|ka+b|= 3|a-kb|,k 为正实数. (1)求证:(a+b)⊥(a-b); (2)将 a 与 b 的数量积表示为关于 k 的函数 f (k); (3)求函数 f (k)的最小值及取得最小值时向量 a 与 b 的夹角 θ. 【选题意图】 理解向量的有关概念, 尤其是向量坐标的概念, 掌握平面向量的坐标运算公式. 解: (1)由 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),得 |a|2=|b|2=1. 所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0, 所以(a+b)⊥(a-b). (2)因为|ka+b|= 3|a-kb|,所以(ka+b)2=[ 3(a-kb)]2, k2a2+2ka·b+b2=3(a2-2ka·b+k2b2) , 所以 k2+2ka·b+1=3-6ka·b+3k2 , k2+1 k2+1 所以 a·b= ,故 f (k)= (k>0). 4k 4k 1 k+ 2 k k2+1 (3)因为 k>0,所以 f (k)= = ≥ 4k 4 1 当且仅当 k= ,即 k=1 时取等号. k a·b 1 1 π 故 f (k)的最小值等于 ,此时 cosθ= = ,所以 a 与 b 的夹角 θ 为 . 2 |a||b| 2 3 【小结】 k· 4 1 k 1 = . 2

第 33 课时 平面向量的数量积
π 1.若 e1,e2 是夹角为 的单位向量,且 a=2 e1+e2, b=-3 e1+2e2,则 a· b =________. 3 7 - 2 a· a π 2.若向量 a 与 b 不共线,a· b≠0,且 c=a-( )b,则向量 a 与 c 的夹角为_________. a· b 2 3.向量 a 与 b 都是非零向量,且(a+3b)⊥(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b),则向量 a 与 b 的 π 夹角为___________. 3 3π 4. 若向量 a 与 b 满足 a+b=(2, -1), a=(1, 2), 则向量 a 与 b 的夹角等于______________. 4 5.向量 a=(6,2),b=(-3,k),当 k=___________时,a∥b,当 k=___________时,a ⊥b,当 k?___________时,a 与 b 的夹角为钝角.-1 9 (-∞,-1)∪(-1,9) 5 2π 6. 已知向量 a=(1, 2), b=(-2, -4), |c|= 5, 若(a+b)· c= , 则 a 与 c 的夹角为______. 2 3 7.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y), → N(y,x),则向量|MN|=______________.8 2 → → → → π 8.设向量| AB |=2,| AC |=3,| AB + AC |= 19,则∠CAB=______________. 3 9. 向量 a,b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3, 则|5a-b|= .7

10.已知在平面直角坐标系 xOy 中,O(0,0),A(1,-2),B(1,1),C(2,-1),动点 M(x, →→ ? ?-2≤OM ? OA ≤2, →→ y)满足条件? ,则OM? OC 的最大值为____________.4 →→ ?1≤OM? OB ≤2 ? 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足( AB -tOC )· OC =0,求 t 的值. → → 解: (1) (方法一)由题设知AB=(3,5), AC=(-1,1),则 → → → → AB+AC=(2,6), AB-AC=(4,4), → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2, 故所求的两条对角线的长分别为 2 10,4 2. (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则 E 为 B、C 的中 点,故 E(0,1). 又 E(0,1)为 AD 的中点,所以 D(1,4)

故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2,AD=2 10; → → → (2)由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)?OC=0,得(3+2t,5+t)? (-2,-1)=0, 11 从而 t=- . 5 → → AB?OC 11 → → →2 → 或者:AB?OC=tOC ,AB=(3,5), t= =- . →2 5 OC 12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和| a-b |; → → (3)若AB=a,AC=b,作△ABC,求△ABC 的面积. 解: (1)因为(2a-3b)· (2a+b)=61,所以 4a2-4a· b-3b2=61, 1 即 4×16-4×4×3×cosθ-3×9=61,所以 cosθ=- . 2 2 因为 θ∈[0,π],所以 θ= π. 3 1 (2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×4×3×(- )+9=13,所以|a+b|= 13; 2 1 |a-b|2=a2-2a·b+b2=16-2×4×3×(- )+9=37,所以|a-b|= 37. 2 2 (3)因为∠A=<a,b>= π,AB=|a|=4,AC=|b|=3, 3 1 2 所以 S△ABC= ×4×3×sin π=3 3. 2 3 13.已知:a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2) . (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2 解: (1)因为 c∥a,所以设 c=λa=(λ,2λ) . 又|c|=2 5,所以 λ2+(2λ)2=2 5, 所以 λ2=4,λ=±2, 所以 c=(2,4),或 c=(-2,-4) . (2)方法一:设 b=(x,y),则 a+2b=(1+2x,2+2y),2a-b=(2-x,4-y), 由 a+2b 与 2a-b 垂直,得 (a+2b)·( 2a-b)=(1+2x)(2-x)+(2+2y)( 4-y)=0, 即 10+3x+6y-2(x2+y2)=0, 又|b|= 5 5 5 ,所以 x2+y2= .所以 x+2y=- . 2 4 2

a·b x+2y 所以 cosθ= = =-1,所以 a 与 b 的夹角为 π. |a||b| 5 5× 2 方法二:由 a+2b 与 2a-b 垂直,得 (a+2b)·( 2a-b)=0,即 2a2+3 a·b-2b2=0, 所以 2×5+3× 5× 5 5 ×cosθ-2× =0, 2 4

解得 cosθ=-1,所以 a 与 b 的夹角为 π.


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