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余弦定理《1.2 应用举例(1)》测试题


《1.2 应用举例(1)》测试题

一、选择题 1. 飞机沿水平方向飞行,在 米, 到达 A. 答案:B. 解析:如图,在 (米). 中,根据正弦定理得 ,解得 处, 此时测得目标 米 B. 米 C. 处测得正前下方地面目标 的俯角为 米 D. 米 的俯角为 ,向前飞行 , 这时飞机与地面目标的直线距离为( ).

考查目的:考查正弦定理的

应用.

2.某人向正东方向走 则 的值为( ). A. 答案:C. B. C.

, 然后右转 或 D.

, 朝前走

, 结果他离出发点恰好



考查目的:考查余弦定理、方程思想. 解析:根据余弦定理得 ,解得 或 . 中,角 ,则角 或 D. 或 所对的边分别为 的大小为( ). ,设 为 3. (由 2010 浙江文改编)在 的面积,满足 A. 答案:B 解析:∵ ,∴ 二、填空题 4.(2008 江苏卷)在 答案: . 中,若 , ,则 的最大值是 . 考查目的:考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想. ,∴根据余弦定理和三角形面积公式得 , . B. C. ,化简并整理得

考查目的:考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识.

解析:设 根据余弦定理得

,则

,根据面积公式得 ,∴





由三角形三边关系有 最大值 则 . 5.(2011 安徽理)已知

,解得 的一个内角为

,故当

时,

取得

, 并且三边长构成公差为 4 的等差数列,

的面积为_______________. 考查目的:考查余弦定理、等差数列的概念及三角形面积公式. 答案: . 的三边长分别为 ,由 ,解得 ( 得 舍去 ) ,∴

解析:根据题意,可设 . 由余弦定理得

. 6.如图,某炮兵阵地位于 ,当目标出现在 离约为 (精确到 ). 点,两观察所位于 时,测得 两点,已知 为正三角形,且 ,则炮兵阵地与目标的距

考查目的:考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的能力. 答案: 解析: 如图, ∴ .在 中, . , 在 中, 由正弦定理得 ,由余弦定理得 ,

,∴ 三、解答题:

.

7.(2007 海南、宁夏)如图,测量河对岸的塔高 内的两个侧点 角为 ,求塔高 与 .现测得 . ,

时,可以选与塔底 , 并在点

在同一水平面 测得塔顶 的仰

考查目的:考查正弦定理、直角三角形的边角关系以及空间想象能力和运算求解能力. 答案: 解析:在 . 中, .在 8.(2010 福建理)某港口 艇出发时,轮船位于港口 北偏西 .由正弦定理得 中, 且与该港口相距 海里的 处,并以 ,∴ . 海里/小时

要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小

的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行 驶,经过 小时与轮船相遇. ⑴若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? ⑵假设小艇的最高航行速度只能达到 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 考查目的:考查利用直角三角形的边角关系、余弦定理解三角形,以及综合运用知识分 析问题解决问题的能力. 答案:⑴ 海里/小时,⑵航行方向是北偏东 ,航行速度为 海里/小时. 海 里 , 则 ,∴当 时, 的航行距离最小. ⑵设小艇与轮船在 . ∵ ∵ 时, ,故 处相遇,则 ,∴ ,即 . ,解得 ,∴ .又 ,此时 ,即小艇以 海里/小时的速度航行,相遇时小艇 解 析 : ( 方 法 一 ) ⑴ 设 相 遇 时 小 艇 航 行 的 距 离 为

时, 取得最小值,且最小值等于

此时,在 ,航行速度为

中,有

,故可设计航行方案如下:航行方向是北偏东

海里/小时,这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 处相遇. 在 中, ,

(方法二)⑴若相遇时小艇的航行距离最小, 又轮船沿正东方向匀速行驶, 则小艇航行方 向为正北方向,设小艇与轮船在

; 又 即小艇以



, 此时, 轮船航行时间



海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

⑵猜想 ,∴

时,小艇能以最短时间与轮船在 ,解得 .

处相遇,此时

. 又∵

据此可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下:

,航行速度的大小为

海里/小时,

如图,由⑴得 之间(包含 设 )的任意位置相遇. , 则在

,故

,且对于线段

上任意点

,有 ,

. 而小艇的最高航行速度只能达到

海里/小时,故小艇与轮船不可能在

中, 和 ,∴ 时,

.由于从出 发 ,∴ ,从而

到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 ,由此可得, ,由于 取得最小值,且最小值为 时, 取得最小值 .又∵ ,于是当

,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东

,航行速度为

海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

(方法三)⑴同方法一或方法二. ⑵ 设小艇与轮船在 . 处相遇,依题意得 ,∴

(i)若

,则由

得,

,∴

.①当

时,令

,则



,当且仅当



时等号成立.

②当

时,同理可得

. 由①②得,当

时,

. (ii)若 ,则 . 时, 取最小值 ,此时,在 ,航行速度为 中, ,

综合(i)(ii)可知,当

故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 时间与轮船相遇.

海里/小时,小艇能以最短


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