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2014年陕西省高考模拟练考试题理 科 数 学


2014 年陕西省高考模拟练考试题(1)

理 科 数 学
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.设 f : x→ x 2 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不可能是 A、{-1} B、{- 2 , 2

}

C、{1, 2 ,2} D、{- 2 ,-1,1, 2 } 2.已知函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表 x 1 2 3 4 5 y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 则函数 y ? f ( x) 在区间[1,6]上的零点至少有 A、2 个 B 、3 个 C 、4 个 D、5 个

6 123.6

2?i 3.复数 表示复平面内点位于 2?i
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4.已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,各项和为 210,则此等差数列的项数是 A、5 B 、6 C 、7 D、8 5.由直线 x ? , x ? 2, y ? 0 ,及曲线 y ? A、

1 2

15 4

B、

17 4

1 所围图形的面积为 x 1 C、 ln 2 2

D、 2ln2

6.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C ,若 OA ? 4OB ? 3OC ? 0 ,则 ? AB ? ? ? BC ? A.3 B.4 C.5 D.6

? x ? y ≥1 ? 7.若 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1 且 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是 ?2 x ? y ≤ 2 ?
A、(-1,2) B、(-2,4) C、(-4,0] D、(-4,2)

?(1 ? 3a) x ? 10a( x ≤ 6) + 8.已知函数 f ( x) ? ? x ?7 若数列{an}满足 an= f ( n) (n∈N )且{an}是递减数列,则实数 ?a ( x ? 6)
a 的取值范围是 A、(

1 ,1) 3

B 、(

1 1 , ) 3 2

C 、(

1 5 , ) 3 8

D 、(

5 ,1) 8

9.函数 y ? x ? sin x , x ? ?? π, π? 的大致图象是

理数试题 共 8 页(第 1 页)

A、

B、

C、

D、

10.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段。在该几何体 的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为 A、2 2 B 、2 3 C 、4 D、2 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书 写不清,模棱两可均不得分)

OB ≤ 1 ,且 S?OAB ? 11.已知 OA ? 1,

1 ,则 OA 与 OB 夹角的取值范围是 4

.

1 . x x 13.曲线 y ? 在点(1,1)处的切线方程为 . 2x ? 1 14 . 定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x 均有 f (x) = f (x+2)+f (x - 2) 且 f (2013)= 2013 ,则 f (2025)
12.若在 ( 5 x ? )n 的展开式中,第 4 项是常数项,则 n= = . 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (选修 4—5 不等式选讲)若任意实数 x 使 m ? x ? 2 ? 5 ? x 恒成立,则实数 m 的取值范围是___ ____ ; B.(选修 4—1 几何证明选讲)如图:EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A 的度数是 ; C. (选修 4—4 坐标系与参数方程) 极坐标系下, 直线 ? cos( ? ? 与圆 ? ?

?
4

)? 2

2 的公共点个数是__

___.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a(2cos2

x ? sin x) ? b 2

(1)若 a=-1,求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x ??0, π? 时, f ( x) 的值域是[5,8],求 a,b 的值.

17. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5 ,且 an ?1 ? 2an ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
理数试题 共 8 页(第 2 页)

(2)设 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 … ?an xn (n ? N ? ) ,求 a1 ? 2a2 ? 3a3 … ? nan . 18. (本题满分 12 分) 在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2 2 a,BC=DE=a,∠ EAB=∠ ABC=∠ DEA =90° (1)求证:PA⊥ 平面 ABCDE; (2)求二面角 A-PD-E 的正弦值.

19、 (本题满分 12 分) 一厂家向用户提供的一箱产品共 12 件,其中有 2 件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽 检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子) ,若前三次没有抽查到次品,则用 第 19 题 户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品. (Ⅰ)求这箱产品被用户接收的概率; (Ⅱ)记抽检的产品件数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

20. (本题满分 13 分) 如图,已知直线 OP1,OP2 为双曲线 E:

27 x2 y 2 - 2 =1 的渐近线,△ P1OP2 的面积为 ,在双曲线 E 上 2 4 a b
y P1

存在点 P 为线段 P1P2 的一个三等分点,且双曲线 E 的离心率为

13 . 2
(1)若 P1、P2 点的横坐标分别为 x1、x2,则 x1、x2 之间满足怎样的 关系?并证明你的结论; (2)求双曲线 E 的方程; (3)设双曲线 E 上的动点 M,两焦点 F1、F2,若∠ F1MF2 为钝角, 求 M 点横坐标 x 0 的取值范围. O P2
第 20 题 图

P

x

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足对于 ?x ? R ,均有 f ( x) ? 2 f (? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a(a ? 1) 成立. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)证明: ( )n ? ( )n ? … ?( )n ?

1 a

1 n

2 n

n n

e (n ? N ? ) . e ?1

理数试题 共 8 页(第 3 页)

数学(理)参考答案及评分标准
命题人:钟祥一中 范德宪 邹斌 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。 ) CBABD BDCAC 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。 ) 11、 [ , 审题人:龙泉中学 刘灵力 市教研室 方延伟

π 5π ] 6 6

12、18

13、x+y-2=0

14、2013

15、A.

?7, ???

B. 99

0

C. 1

三、解答题

π )+a+b 4 3 π π (1)当 a=-1 时,由 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + π 得 2 2 4 5 π 2kπ + ≤x≤2kπ + π 4 4 5 π ∴ f ( x) 的单调增区间为[2kπ + ,2kπ + π ](k∈z) 4 4 5 π π (2)∵0≤x≤π ∴ ≤x+ ≤ π 4 4 4
16、 f ( x) =a(1+cosx+sinx)+b= 2 asin(x+ ∴-

……2 分

……6 分

2 π ≤sin(x+ )≤1,依题意知 a≠0 4 2
? 2a ? a ? b ? 8 ?b ? 5 ?b ? 8 ? 2a ? a ? b ? 5
∴a=3( 2 -1),b=5 ……9 分

1°当 a>0 时 ?

2°当 a<0 时 ?

∴a=-3( 2 -1),b=8

综上所述:a=3 2 -3,b=5 或 a=3-3 2 ,b=8 17、 (1)∵ an +1 =2an +1 又 a1 +1=6 ∴ an +1 +1=2(an +1)

……12 分 ……2 分

∴ ∴ ?an +1? 是以 6 为首项,2 为公式的等比数列 ∴ an =3 ? 2n- 1 ……5 分 ……7 分 ……9 分

∴ an +1=6 ? 2n-1 (2)∵ f ?(x)=a1 +2a2 x+ ∴ f ?(1)=a1 +2a2 +

+nan xn-1

+nan +n ? 2n )-(1+2+
n(n +1) +6 2

=3(2+2 ? 22 +

+n)
……12 分

=3(n-1) ? 2n +1-

理数试题 共 8 页(第 4 页)

18、 (1)在△PAB 中,PA=2a,PB=2 2 a,AB=2a

∴PB2=PA2+AB2

∴PA⊥AB

……3 分

同理可证:PA⊥AE 又 AB∩AE=A,AB ? 平面 ABCDE,AE ? 平面 ABCDE ∴PA⊥平面 ABCDE ……6 分 (2)过 E 作 EH⊥AD 于 H,EF⊥PD 于 F,连 FH,则 EH⊥平面 PAD,FH⊥PD ∴∠EFH 为二面角 A-PD-E 的平面角 ……8 分 又在 Rt△AED 和 Rt△POE 中,EH?AD=AE?DE,EF?PD=DE?PE ∴EH=

2 5

a

EF=

2 3

2a

∴sin∠EFH=

3 EH = 10 10 EF
……12 分

故二面角 A-PD-E 的正弦值为

3 10 10

x2 y2 c 13 20、 (1)设双曲线方程为 2 - 2 =1,由已知得 = a 2 a b


b2 9 = 2 4 a

∴渐近线方程为 y=±

3 x 2

………………2 分

则 P1(x1,

3 3 x1) P2(x2,- x2) 2 2

3 3 设渐近线 y= x 的倾斜角为θ ,则 tanθ = 2 2
27 1 1 = |OP1||OP2|sin2θ = 4 2 2

3 2 = 12 ∴sin2θ = 9 13 1? 4 2?
∴x1?x2=



x12 ?

9 2 x1 4

2 x2 ?

9 2 12 x2 ? 13 4
x1 ? 2 x 2 3

9 ………………5 分 2

(2)不妨设 P 分 P 1P 2 所成的比为λ =2,P(x,y) 则 x= ∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y ∴(3x) -(2y) =8x1x2=36
2 2

y=

y1 ? 2 y 2 x ? 2 x2 = 1 3 2

………………7 分

x2 y2 ∴ - =1 即为双曲线 E 的方程 ……9 分 4 9

(3)由(2)知 C= 13 ,∴F1(- 13 ,0) F2( 13 ,0) 设 M(x0,y0)

9 2 x -9, MF1 =(- 13 -x0,-y0) MF2 =( 13 -x0,-y0) 4 0 13 2 2 2 ∴ MF1 ? MF2 =x 0 -13+y 0 = x0 -22 ………………11 分 4 13 2 2 若∠F1MF2 为钝角,则 x 0 -22<0 ∴|x0|< 286 又|x0|>2 4 13 2 2 ∴x0 的范围为(- ……13 分 286 ,-2)∪(2, 286 ) 13 13
2 则 y0 =

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1 ? f ( x) ? 2 f (? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a ? ? a 21、 (1)依题意得 ? 1 ? f (? x) ? 2 f ( x) ? ( ) x ? 2a x ? x ln a ? a ?
(2) f ' ( x) ? a x ln a ? ln a ? (a x ? 1) ln a

解之得 f ( x) ? a x ? x ln a

……4 分

当 x>0 时 f ?( x) ? 0

当 x<0 时 f ?( x) ? 0

∴ f ( x) )在 ( ??,0) 上递减在 (0, ??) 上递增 ∴ f ( x) min =f (0) =1 (3)由(2)得 a x ? x ln a ≥1 恒成立,令 a=e, 则 ex ≥ x ? 1
? k ∴1- ≤ e n n k

……8 分

k 在 e ≥ x ? 1中令 x=- (k=1,2,…n-1) n
x

∴ (1 ? )n ≤ e?k

k n

∴(1-

1 n -1 ) ≤e n

(1-

2 n -2 n ? 1 n -(n-1) n ) ≤e …(1- ) ≤e , ( )n=1 n n n

n n n ?1 n n?2 n 1 - - - - ) +( ) +( ) +…+( )n≤1+e 1+e 2+…+e (n 1) n n n n 1 1 1 ? ( ) n e[1 ? ( ) n ] e ? e < e = ……14 分 1 e ?1 e -1 1? e
∴(

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