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2011届高三第三轮复习单元过关检测题---三角函数与平面向量专题(含详细答案)


2011 届高三第三轮复习单元过关检测题 ---三角函数与平面向量
一、选择题 1.点 P 是函数 f(x)=cos ωx(其中 ω≠0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离最小 值是 π,则函数 f(x)的最小正周期是 A.π B.2π C.3π D.4π

π π 1 kπ 1 kπ 解析:函数 f(x)的对称中心是?

ω?kπ+ 2 ?,0?,对称轴为 x= ω ,∴? ω -ω?kπ+ 2 ??=π,k∈Z,即 ? ? ? ?? ? ? ? 1 2π |ω|=2,∴T= 1 =4π,故选 D. 答案:D 2 2.定义:|a×b|=|a|· |b|·sin θ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a· b=-6 则|a×b|等于 A.8 B.-8 C.8 或-8 D.6

a· b 3 4 4 解析:a· b=|a|· |b|·cos θ? cos θ= =-5.∴sin θ=5,∴|a×b|=|a|· |b|·sin θ=2×5×5=8. |a|· |b| 答案:A π 3.函数 y=2sin? 6 -2x?,x∈[0,π]的增区间是 ? ? π A.?0, 3 ? ? ? π 5π C.? 3 , 6 ? ? ? π 7π B.?12, 12 ? ? ? 5π D.? 6 ,π? ? ?

π π π π 3π π 5π 解析: y=2sin? 6 -2x?=-2sin?2x- 6 ?, 2kπ+ 2 ≤2x- 6 ≤2kπ+ 2 (k∈Z), 解得 kπ+ 3 ≤x≤kπ+ 6 ? ? ? ? 由 π π 5π (k∈Z),故函数 y=2sin? 6 -2x?,x∈[0,π]的增区间是? 3 , 6 ?,故选 C.答案:C ? ? ? ? π π 4.(2010· 全国Ⅱ)为了得到函数 y=sin?2x- 3 ?的图象,只需把函数 y=sin?2x+ 6 ?的图象 ? ? ? ? π A.向左平移 4 个长度单位 π C .向左平移 个长度单位 2 π B.向右平移 4 个长度单位 π D.向右平移 个长度单位 2

π π π π π π π 解析:y=sin?2x+ 6 ?=sin?2?x+12??,y=sin?2x- 3 ?=sin?2?x- 6 ??,故应向右平移 -?- 6 ?= ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 4 12 ? 个长度单位.答案:B 5.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A= A.30° B.60° C.120° D.150°

解析:sin C =2 3sin B? c=2 3b,a2-b2= 3bc? a2-b2-c2= 3bc-c2? b2+c2-a2=c2- 3

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b2+c2-a2 c2- 3bc c2 3 c 3 2 3 3 3 bc,∴cos A= = 2bc =2bc- 2 =2b- 2 = 2 - 2 = 2 ,∴在△ABC 中,∠A=30° . 2bc 答案:A 6.(2009· 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是

解析: A 中函数的最大值小于 2, 0<a<1, 图 故 而其周期大于 2π, A 中图象可以是函数 f(x)的图象, 故 图 B 中,函数的最大值大于 2 故 a 应大于 1,其周期小于 2π,故 B 中图象可以是函数 f(x)的图象,当 a =0 时,f(x)=1,此时对应 C 中图象,对于 D 可以看出其最大值大于 2,其周期应小于 2π,而图象中的 周期大于 2π,故 D 中图象不可能为函数 f(x)的图象.答案:D 二、填空题 π 7.已知函数 f(x)=2sin x,g(x)=2sin? 2 -x?,直线 x=m 与 f(x),g(x)的图象分别交 M、N 两点,则|MN| ? ? 的最大值为________. π 解析:构造函数=2sin x-2cos x=2 2sin?x- 4 ?,故最大值为 2 2.答案:2 2 ? ? π π 1 8. 曲线 y=2sin?x+ 4 ?cos?x- 4 ?与直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1, 2, 3, P P …, ? ? ? ? 2 则|P2P4|等于________. π π π π π π π 解析: y=2sin?x+ 4 ?cos?x- 4 ?=2sin?x+ 4 ?· ?x+ 4 - 2 ?=2sin2?x+ 4 ?=1-cos?2x+ 2 ?=1+sin ? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? ? 2x,|P2P4|恰为一个周期的长度 π.答案:π

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10.有下列命题: ①函数 y=4cos 2x,x∈[-10π,10π]不是周期函数; π ②函数 y=4cos 2x 的图象可由 y=4sin 2x 的图象向右平移 4 个单位得到; π k π ③函数 y=4cos(2x+θ)的图象关于点? 6 ,0?对称的一个必要不充分条件是 θ=2π+ 6 (k∈Z); ? ? 6+sin2x ④函数 y= 的最小值为 2 10-4 2-sin x 其中正确命题的序号是________. 解析:①中的函数不符合周期函数的定义,所以不是周期函数;因为②中函数 y=4sin 2x 的图象向右 π π π 平移 4 个单位得到 y=4sin 2?x- 4 ?,即 y=-4cos 2x 的图象,不是 y=4cos 2x 的图象;③把点? 6 ,0?代 ? ? ? ? π π π π 入函数 y=4cos(2x+θ),有 4cos ? 3 +θ? =0,则 3 +θ=kπ+ 2 (k∈Z),所以 θ=kπ+ 6 (k∈Z),又 ? ? 6+sin x ?2-sin x? -4?2-sin x?+10 k π ? ? π ?θ|θ= π+ ?k∈Z??? {θ|θ=kπ+ (k∈Z)}, 所以③正确; ④函数 y= = = 2 6 6 ? ? 2-sin x 2-sin x 10 (2-sin x)+ -4,如果它的最小值为 2 2-sin x 11,故不正确.答案:①③ 三、解答题 11.(2010· 天津)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1(x∈R). π (1) 求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, 2 ?上的最大值和最小值; ? ? π π 6 (2) 若 f(x0)= ,x0∈? 4 , 2 ?,求 cos 2x0 的值. ? ? 5 解: (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1, f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)= 3sin 2x+cos 2x 得 π =2sin?2x+ 6 ?,所以函数 f(x)的最小正周期为 π. ? ? π π π π π 因为 f(x) =2sin?2x+ 6 ?在区间?0, 6 ?上为增函数,在区间? 6 , 2 ?上为减函数,又 f(0)=1,f? 6 ?= 2, ? ? ? ? ? ? ? ? π π f? 2 ?=-1,所以函数 f(x)在区间?0, 2 ?上的最大值为 2,最小值为-1. ? ? ? ? π π 3 π π 6 (2) 由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+ 6 ?.又因为 f(x0)=5,所以 sin?2x0+ 6 ?=5.由 x0∈? 4 , 2 ?,得 ? ? ? ? ? ? 10-4,那么(2-sin x)2=10,而(2-sin x)2 的最大值为
2 2

3

π π 2π 7π 2x0+ 6 ∈? 3 , 6 ?, 从而 cos?2x0+ 6 ?=- ? ? ? ?

π π π 4 1-sin2?2x0+ 6 ? =-5. 所以 cos 2x0=cos??2x0+ 6 ?- 6 ? ? ? ? ?

?

?

π π π π 3-4 3 =cos?2x0+ 6 ?cos + sin?2x0+ 6 ?sin = . ? ? 6 ? ? 6 10 12.(2010· 福建)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位 于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里 的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行 驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案 (即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说 明理由. 解: (1) 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2·30t·20·cos?90°-30°?= 900t2-600t+400= 1 900?t-3?2+300. ? ?

1 10 3 故当 t=3时,Smin=10 3,此时 v= 1 =30 3.即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的 3 航行距离最小. 600 400 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇, v2t2=400+900t2-2· 30t· 则 20· cos(90° -30° 故 v2=900- t + t2 . ), 600 400 2 3 2 2 ∵0<v≤30,∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0,解得 t≥3.又 t=3时,v=30.故 v=30 时,t 取得最小 2 值,且最小值等于3.此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为 北 偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方 向.设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30° =10 3,AC=20sin 30° =10.又 AC=30t,OC=vt,此时,轮船 10 1 10 3 航行时间 t= = ,v= =30 3.即艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. 30 3 1 3 (2) 猜想 v=30 时, 小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇, 此时 AD=DO 2 =30t.又∠OAD=60° ,所以 AD=DO=OA=20,解得 t=3.据此可设计航 行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航行速度的大小为 30 海里/小时.这样,小艇能以最短时间与轮船 相遇.证明如下: 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,故 OC>AC.且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC.而 小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故小艇与轮船不可能在 A、C 之间 (包含 C)的任意位置相遇.

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10 3 设∠COD=θ(0°<θ<90°),则在 Rt△COD 中,CD=10 3tan θ,OD=cos θ.由于从出发到相遇,轮 10+10 3tan θ 10+10 3tan θ 10 3 10 3 船与小艇所需要的时间分别为 t= 和 t=vcos θ, 所以, =vcos θ. 由此可得, 30 30 v=

15 3 3 .又 v≤30,故 sin(θ+30°)≥ 2 .从而,30°≤θ≤90°.由于 θ=30° 时,tan θ 取得最小值, ? sin ? +30 ) (

10+10 3tan θ 3 2 且最小值为 3 .于是,当 θ=30° 时, t= 取得最小值,且最小值为3. 30 解法三:(1)同解法一或解法二. (2) 设小艇与轮船在 B 处相遇.依据题意得:v2t2=400+900t2-2· 30t· 20· cos(90° -30° ), (v2-900)t2+600t-400=0. ① 若 0<v<30,则由 Δ=360 000+1 600(v2-900)=1 600(v2-675)≥0 得 v≥15 3.从而, t= -300± 20 v2-675 ,v∈[15 3,30]. v2-900 (ⅰ) 当 t= t= -300-20 v2-675 时,令 x= v2-675,则 x∈[0,15), v2-900

-300-20x -20 4 = ≥ ,当且仅当 x=0,即 v=15 3时等号成立. x2-225 x-15 3 -300+20 v2-675 2 4 2 (ⅱ)当 t= 时,同理可得 <t≤ .由(ⅰ)(ⅱ)得,当 v∈[15 3,30)时,t> . 3 3 3 v2-900 2 ② 若 v=30,则 t= ; 3 2 综合①、②可知,当 v=30 时,t 取最小值,且最小值等于3.此时,在△OAB 中,OA=OB=AB

=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与 轮船相遇. 13.向量 m=(sin ωx+cos ωx, 3cos ωx)(ω>0),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),函数 f(x)=m· n+t, 3π 若 f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为 2 ,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)[的最小值为 0. (1) 求函数 f(x)的表达式; (2) 在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cos B+cos(A-C),求 sin A 的值. 解:(1)f(x)=m· m+t=cos2ωx-sin2ωx+2 3cos ωx·sin ωx+t=cos 2ω x+ 3sin 2ωx+t π 2π π 1 =2sin(2ωx+ )+t. 依题意 f(x)的周期 T=3π,且 ω>0,∴T= = =3π.∴ω= , 6 2ω ω 3 2 π 2x π π 2x π 5π 1 ∴f(x)=2sin?3x+ 6 ?+t.∵x∈[0,π],∴ ≤ + ≤ ,∴ ≤sin? 3 + 6 ?≤1,∴f(x)的最小值为 t+1,即 ? ? ? ? 6 3 6 6 2 2 π t+1=0,∴t=-1.∴f(x)=2sin?3x+ 6 ?-1. ? ? 2C π 2C π π (2)∵f(C)=2sin? 3 + 6 ?-1=1,∴sin? 3 + 6 ?=1.又∵∠C∈(0,π),∴∠C= 2 .在 Rt△ABC 中, ? ? ? ?

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π ∵A+B= ,2sin2B=cos B+cos(A-C),∴2cos2A=sin A+sin A,sin2A+sin A-1=0. 2 -1± 5 5-1 解得 sin A= 2 .又∵0<sin A<1,∴sin A= 2 .

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