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空间向量及其运算


第九章 (B)直线、平面、简单几何体
§9.7 空间向量及其运算 基础知识 自主练习
要点梳理 1.空间向量的有关概念

大小 方向 (1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间
向量.

相同 相等 (2)相等向量:方向______且模______的向量.
(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相

平行或重合 ______________的向量. 平行于同一个平面 (4)共面向量:_____________________的向量.

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是 ______________________. 存在实数λ,使得a=λb.

推论 如图所示,点 P 在 l上的充要条件是: → → O P =O A +t ①其中 a 叫做直线 l的方向向量,t a ∈R, → 在 l上取A B =a,则 → → → → → → ①可化为O P =___________或O P =(1-t O A +t B . ) O OA+tAB

xa+yb (2)共面向量定理的向量表达式:p=________,其中 x,y∈ → → → R, 、 为不共线向量, a b 推论的表达式为M P =xM N +yM B 或 ??? ???? ? ? ???? ???? → → 对空间任意一点 O ,有____________________或O P =xOM OP ? OM ? xMA ? yMB → → +yOA+zOB,其中 x+ y+ z=__. 1
(3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存

xa+yb+zc 在有序实数组{x,y,z},使得 p=_____________,把{a,
b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a, 在空间任取一点 O, b, 作O A =a, B =b, O

〈a,b〉 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作_________,其范围是
0≤〈a,b〉≤π ,若〈a,b〉=π ,则称 a 与 b_________,记 互相垂直 2

作 a⊥b . ②两向量的数量积

|a||b|cos〈a,b〉 已知空间两个非零向量 a, 则___________________叫做向量 b, a· b=|a||b|cos〈a,b〉 a· b a,b 的数量积,记作____,即_____________________.

(2)空间向量数量积的运算律

λ (a· b) ①结合律:(λ a)·b=__________; b· a ②交换律:a·b=______; a· b+a· c ③分配律:a·(b+c)=__________.
4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

a1b1+a2b2+a3b3 则 a·b=________________.
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

a3=λb3 a1=λb1 则 a∥b?a=λ b?_______,________,_________ (λ ∈R), a2=λb2

a1b1+a2b2+a3b3 =0 a⊥b?a·b=0?__________________ (a,b 均为非零向量).

(3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a·a=
2 a1+a2+a2 , 2 3

cos〈a,b〉=

= |a||b|

a ·b

a1b1+a2b2+a3b3 a2+a2+a2· 1 2 3
2 b2+b2+b3 1 2

.

设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), ??? ? AB =________________________________________ ? (a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2. dAB=

[难点正本

疑点清源]

1.空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和 性质与平面向量的概念和性质相同或相似,故在学习空间向 量时,如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习,将 收到事半功倍的效果.比如: (1)定义式: ·b=|a||b|cos a 〈a, , cos b〉 或 〈a, = b〉 用于求两个向量的数量积或夹角; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a·b=0,用于证明两个向量的垂 直关系; (3)|a|2=a·a,用于求距离等等. a·b |a||b| ,

2.要理解空间向量、空间点的坐标的意义,掌握向量加法、减 法、 数乘、 点乘的坐标表示以及两点间的距离、 夹角公式. 利 用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹 角、距离等问题转化为向量的坐标运算,如(1)判断线线平 行或诸点共线,可以转化为证 a∥b (b≠0)?a=λ b;(2)证 明线线垂直,转化为证 a⊥b?a·b=0,若 a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2),则转化为计算 x1x2+y1y2+z1z2=0;(3)在立 体几何中求线段的长度问题时,转化为 a·a=|a|2,或利用 空间两点间的距离公式;(4)在计算异面直线所成的角(或线 面角、 二面角)时, 转化为求向量的夹角, 即利用公式 cos θ = 即可. |a||b| a ·b

基础自测 1.下列命题: → → → → ①若 A 、B 、C 、D 是空间任意四点,则有A B +B C +C D +D A =0; ②|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件; ③若 a、b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; → → ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A 、B 、C ,若O P =xO A + → → yO B +zO C (其中 x、y、z∈R),则 P 、A 、B 、C 四点共面.

②③④ 其中不正确的所有命题的序号为__________. ... 解析 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确;
②中当 a、b 同向时,应有|a|+|b|=|a+b|; ③中 a、b 所在直线可能重合; ④中需满足 x+y+z=1,才有 P 、A 、B 、C 四点共面.

→ → 2.在空间四边形 A B C D 中,AB=a-2c,CD=5a+6b → -8c, 对角线 A C 、 D 的中点分别为 P 、 , PQ= B Q 则

3a+3b-5c __________.
解析 如图 → → → → PQ=PC+CD+DQ → → → → PQ=PA+AB+BQ → → → ∴2PQ=(PC+PA)+ → → → → (DQ+BQ)+CD+AB =0+0+a-2c+5a+6b-8c =6a+6b-10c → ∴PQ=3a+3b-5c.

3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果 a
1 与 b 为共线向量,则 x=________,y= 6 3 - ________. 2

解析

2x 1 3 1 a 与 b 共线,即 = = ,∴x= , 1 -2y 9 6

3 y=- . 2

4.A (1,0,1),B (4,4,6),C (2,2,3),D (10,14,17)这四

共面 个点________(填“共面”或“不共面”).
??? ? ???? ???? 解析 AB =(3,4,5), AC =?1,2,2?, AD =?9,14,
???? ??? ? ???? 16?, AD ? x AB ? y AC 即?9,14,16?=?3x+y,
? x ? 2, 4x+2y,5x+2y?,∴ ? y ? 3, 从而 ?

A、B、C、D 四点

共面.

5.?2010· 广东?若向量 a=?1,1,x?,b=?1,2,1?,c=?1, 1,1?,满足条件?c-a?· ?2b?=-2,则 x= 2 .

解析

∵a=?1,1,x?,b=?1,2,1?,c=?1,1,1?,

∴c-a=?0,0,1-x?,2b=?2,4,2?.∴?c-a?· ?2b? =2?1-x?=-2,∴x=2.

题型分类
题型一

深度剖析

空间向量的线性运算

例 1 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, → → → 设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别是 AA1, BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: → → → → ?1?A P ;?2?A1N;?3?MP+NC1.

思维启迪:根据空间向量加减法 及数乘运算的法则和运算律即可.

解 ?1?∵P 是 C1D1 的中点, 1→ 1 → → → 1 → → → AP= AA1+A1D1+D1P=a+AD+2D1C1=a+c+2AB= a+ c+ 2b. ?2?∵N 是 BC 的中点, 1→ 1→ → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+2BC=-a+b+2AD. 1 =-a+b+2c. ?3?∵M 是 AA1 的中点, 1 1 1 1 → → → 1→ → ∴MP=MA+AP=2AA1+ AP= -2a+(a+ c+2b)= 2a+2b + c.
???? ???? ???? 1 ??? ???? 1 ???? ???? 1 ? ? ? 又 NC1 ? NC ? CC1 ? 2 BC ? AA1 ? 2 AD ? AA1 ? 2 c+a.

???? ???? ? 1 ? 1 MP ? NC1 ? ? a ? b ? c ∴ 2 ?2

1 ? 3 1 3 ? ? ? ? a ? c ? ? a? b ? c ? 2 ? 2 2 2 . ? ?

探究提高

用已知向量来表示未知向量,一定

要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要 正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可 把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立 体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的 平行四边形法则在空间仍然成立.

变式训练 1 如图所示,已知空间四边形 O A BC ,其对角线 为 O B 、A C ,M 、N 分别为 O A 、BC 的中点,点 G 在线 ???? → ???? ? ???? → → MG ? 2GN ,若 OG =xOA+yOB+zOC, x,y,z 段 M N 上, 且 则
1 1 1 6,3,3 的值分别为__________.

解析

???? ???? ???? 1 → 2 → ? ? OG = OM ? MG = OA+ MN

2

3

1→ 2 → → =2OA+3(ON-OM) 1→ 2→ 2 → =2OA+3ON-3OM 1→ 2 1 → → 2 1→ =2OA+3×2(OB+OC)-3×2OA 1→ 1→ 1→ =6OA+3OB+3OC 1 1 1 ∴x,y,z 的值分别为6,3,3.

题型二

共线、共面向量定理的应用

例 2 设 A、B、C 及 A1、B1、C1 分别是异面直线 l1、l2 上的 三点,而 M、N、P、Q 分别是线段 AA1、BA1、BB1、CC1 的中点,求证:M、N、P、Q 四点共面.
证明 依题意有 → 1→ → 1 → NM=2BA,NP=2A1B1, → → → → → 1 → → BA=2NM,A1B1=2NP.又∵PQ=2(BC+B 1C 1),(*) → → → A ,B ,C 及 A 1,B 1,C 1 分别共线,BC=λBA=2λNM, → → → B1C1=ωA1B1=2ωNP, → 1 → → → → 代入(*)式得PQ=2(2λNM+2ωNP)=λNM+ωNP, → → → ∴PQ、NM、NP共面.∴M、N、P、Q 四点共面.

探究提高 将四点共面问题, 转化为三个向量共面问 题,利用共面向量定理来解决.

变式训练 2 已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC → 1 → → → 外的任一点 O,若点 M 满足OM=3(OA+OB+OC). → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解 (1)由已知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点

M, ∴四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.

题型三 例3

空间向量性质的应用

已知空间中三点 A (-2,0,2),B (-1,1,2)C (-3,0,4),设

???? ??? ? a= AB ,b= AC ,

??? ? (1)︱c ︱=3,且 c∥ BC ,求向量 c;

(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值; (4)若 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂直,求 λ,μ 应满足 的关系. 思维启迪:本题考查空间向量坐标运算法则的应用,

根据 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a± b=(x1± 2, x y1± 2,z1± 2),a· 1x2+y1y2+z1z2,|a|= y z b=x 利用向量解决立体几何的基础.

x1 ? y ? z 1
2 1

2

2



来求解该题,这是需要熟练掌握的知识点,因为这是

??? ? ??? ? 解 (1)∵c∥ BC , BC =(-3,0,4)-(-1,1,2) ??? ? =(-2,-1,2),∴c= m BC =m(-2,-1,2)=

(-2m, -m, 2m),所以|c|=

(-?m)?+(-m)?+? ?m?

?

=3|m|

=3,∴m=± 1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1,, ? ? ? ? ? ? 又|a|= ? +? +0 = 2 ,|b|= ? ??) +0 +? = 5 ,∴cos

a· b ?1 〈a,b〉= a | b | = 10 =-

10 10 , 10 10 .

即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为-

(3)方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k, -4),且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,∴(k-1,k,2)· (k+
5 2,k, -4)=(k-1)(k+2)+k -8=0, ∴k=2 或 k=- 2 , 5 ∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时, 实数 k 的值为 2 或- 2 .
2

方法二

由(2)知|a|= 2 ,|b|= 5 ,a· b=-1,∴(ka+

b)· (ka-2b)=k2a2-ka· b-2b2,=2k2+k-10=0,得 k=2 5 或 k=- 2 . (4)∵a+b=(0, 2), 1, a-b=(2, -2), 1, ∴λ(a+b)+μ(a -b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ),∵λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴垂 直,∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)· (0,0,1)=2λ-2μ=0,即当 λ,μ 满足关系 λ-μ=0 时,可使 λ(a+b)+μ(a-b)与 z 轴 垂直.

探究提高

证明两条直线垂直,一般是用两条直线

的方向向量的数量积等于 0 来加以证明的.

变式训练 3 设向量 a=(3,5,-4),b=(2,1,8), 计算 2a+3b,3a-2b,a· 以及 a 与 b 所成角的余 b 弦值,并确定 λ,μ 应满足的条件,使 λa+μb 与 z 轴垂直. 解 2a+3b=2×(3,5,-4)+3×(2,1,8)=(6,10,
-8)+(6,3,24)=(12,13,16).3a-2b=3×(3,5, -4)-2×(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5, 13,-28).a· b=(3,5,-4)· (2,1,8)=6+5-32=
? ? ? ? ? ? -21.∵|a|= ? +? +(-?) = 50 ,,|b|= ? +? +?

a· b = 69 ,∴cos〈a,b〉= a | b | =

?21 7 138 ?? 230 . 50 ? 69

∵λa+μb 与 z 轴垂直,∴(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)· (0,0,1)=-4λ+8μ=0,即 λ=2μ,∴当 λ,μ 满足 λ=2μ 时,可使 λa+μb 与 z 轴垂直.

易错警示 12.“两向量平行”和“两向量同向”不清致误 试题:?5 分?已知向量 a=?1,2,3?,b=?x,x2+y - 2 , y? , 并 且 a 、 b 同 向 , 则 x , y 的 值 分 别 为 .

学生答案展示 -2,-6 或 1,3

审题视角

?1?a 与 b 同向,则 a∥b,利用向量

平行的性质列方程求 x,y.?2?a 与 b 平行,并不 能保证同向,所以还要注意验证.

解析

x x2 ? y ? 2 y 由题意知 a∥b, 所以 1 ? 2 ? 3

① y ? 3 x, ? ,即 ? x 2 ? y ? 2 ? 2 x, ② ?

把①代入②得 x2+x-2=0,?x+2??x-1?=0,解得 x=- 2, x=1.当 x=-2 时, 或 y=-6; x=1 当
? x=-? 时, y=3.当 ? y=-? ?

时,b=?-2,-4,-6?=-2a,两向量 a,b 反向,不符
? x=1 , 合题意,所以舍去.当 ? y=3 时,b=?1,2,3?=a,a 与 b ? ? x=1, 同向,所以 ? y=3. ?

正确答案

1,3

批阅笔记

?1?a 与 b 同向是 a∥b 的充分而不必

要条件.a∥b 是 a 与 b 同向的必要而不充分条 件.?2?错因分析: 两向量平行和两向量同向不是 等价的, 同向是平行的一种情况.两向量同向能 推出两向量平行, 但反过来不成立, 也就是说, “两向量同向”是“两向量平行”的充分不 必要条件.错解就忽略了这一点.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.熟练掌握空间向量的运算、 性质及基本定理是解决空间向 量问题的基础,特别是共线向量定理、共面向量定理、空 间向量基本定理、数量积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法: 把线段或角度转化为 向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运 算或证明去解决问题,在这里,恰当地选取基底可使向量 运算简捷,或者是建立空间直角坐标系,使立体几何问题 成为代数问题,在这里,熟练准确地写出空间中任一点的 坐标是解决问题的基础.

失误与防范 1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可以 避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的代数运算也容易 导致出错.因此, 在解决问题时, 可以灵活的选用解题方法, 不要生搬硬套. 2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量 共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量 的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为 零; 求异面直线所成的角, 一般可以转化为两向量的夹角, 但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化. 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解. 4.几何体中向量问题的解决,选好基底是关键.
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