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数学选修1-2


数学选修 1-2 复习知识提纲 一、基础知识梳理 1.回归直线: 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这 条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤:作出散点图(由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关 系) 若存在线性相关关系→②求回归系数 →③写出回归直线方程 , , 并利用回归直线方程进行预测说明. 2.

回归分析:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是: ①确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(线性关系). ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定规则估计回归方程中的参数 (最小二乘法); ⑤得出结论后在分析残差图是否异常,若存在异常,则检验数据是否有误,后模型是否合适等. 3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤: (1)提出问题; (2)收集数据; (3)分析整理数据; (4)进行预测或决策。 4.残差变量 的主要来源:

(1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的,通常我们并不知道真实模型到底是什么) 所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述 与 之间的关系,但是现在却用线性函数来表 中。

述这种关系,结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在 (2)忽略了某些因素的影响。影响变量 的因素不只变量

一个,可能还包含其他许多因素(例如在

描述身高和体重关系的模型中,体重不仅受身高的影响,还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因 素的影响),但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的,它们的影响都体现在 (3)观测误差。由于测量工具等原因,得到的 中。

的观测值一般是有误差的(比如一个人的体重是确定的 中。上

数,不同的秤可能会得到不同的观测值,它们与真实值之间存在误差),这样的误差也包含在 面三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效果越好。 二、例题选讲

例 1:研究某灌溉渠道水的流速

与水深

之间的关系,测得一组数据如下:

水深 流速 (1)求 对 的回归直线方程;

1.40 1.70

1.50 1.79

1.60 1.88

1.70 1.95

1.80 2.03

1.90 2.10

2.00 2.16

2.10 2.21

(2)预测水深为 1.95

时水的流速是多少?

分析:本题考查如何求回归直线的方程,可先把有关数据用散点图表示出来,若这些点大致分布在通过散 点图中心的一条直线附近,说明这两个变量线性相关,从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公 式求得线性回归直线方程。 解: (1)由于问题中要求根据水深预报水的流速,因此选取水深为解释变量,流速为预报变量,作散点图:

由图容易看出,



之间有近似的线性关系,或者说,可以用一个回归直线方程

来反映这种关系。由计算器求得





的回归直线方程为



(2)由(1)中求出的回归直线方程,把

代入,易得



计算结果表示,当水深为

时可以预测渠水的流速为



评注:建立回归模型的一般步骤: (1)确定研究对象,明确两个变量即解释变量和预报变量; (2)画出散点图,观察它们之间的关系;

(3)由经验确定回归方程类型(若呈线性关系,选用线性回归方程); (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法); (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差出现不随机的规律性,等等), 若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。

2.1 合情推理与演绎推理 知识要点梳理 知识点一:推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构 上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫 做结论. 知识点二:合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果、个 人的经验和直觉等,经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳 推理和类比推理是最常见的合情推理。 1.归纳推理 (1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) 。 (2)一般模式:部分 整体,个体 一般

(3)一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题; ③检验猜想. (4)归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想; 一般地,归纳的个别情况 越多,就越具有代表性,推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以归纳 推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理称为类比推理(简称类比). (2)一般模式:特殊 特殊

(3)类比的原则:可以从不同的角度选择类比对象,但类比的原则是根据当前问题的需要,选择恰当的 类比对象. (4)一般步骤: ①找出两类对象之间的相似性或一致性; ②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,得出一个明确的命题(猜想) ; ③检验猜想. (5)类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象,同时又应是两类不同的对象;一般情况下,如果类比的 相似性越多,相似的性质与推测的性质越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性,所 以类比推理所得的结论不一定是正确的。 知识点三:演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推理,叫做演绎 推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)一般模式: “三段论”是演绎推理的一般模式,常用的一种格式 ① 大前提——已知的一般原理; ② 小前提——所研究的特殊情况; ③ 结论——根据一般原理,对特殊情况作出的结论. (3)用集合的观点理解“三段论” 若集合 的所有元素都具有性质 , 是 的子集,那么 中所有元素都具有性质

(4)演绎推理的结论一定正确 演绎推理是一个必然性的推理,因而只要大前提、小前提及推理形式正确,那么结论一定是正确的,它是 完全可靠的推理。 规律方法指导

合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)从推理模式看: ①归纳推理是由特殊到一般的推理. ②类比推理是由特殊到特殊的推理. ③演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看: ①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 (3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的 作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的 内容一般是通过合情推理获得的;演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方 向和思路.

3.1 数系的扩充与复数的引入 知识要点梳理 知识点一:复数的基本概念 1.虚数单位 :(1)它的平方等于 (2) 与-1 的关系: ,即 ; 的一个根, 方程 的另一个根是 ;

就是-1 的一个平方根, 即方程

(3)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立; (4) 的周期性: 2. 概念形如 叫复数的虚部. 说明:这里 3.复数的分类 容易忽视,但却是列方程求复数的重要依据. ( , , , ( ( ). ) ;其中: 叫复数的实部,

)的数叫复数,记作:



) 表示;复数集与其它数集之间的关系:

4.复数集全体复数所成的集合叫做复数集,用字母

5.复数与实数、虚数、纯虚、0 的关系:对于复数 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当且仅当 时,复数 时,复数 且 时,复数 时,复数 是实数; 叫做虚数;



) ,

叫做纯虚数; 就是实数 0.

6.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即:如果

,那么 (1)

.特别地:

.

说明:

(2)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样. (3)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. (4)一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小; 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小. 6.共轭复数:两个复数的实部相等,而且虚部相反,那么这两个复数叫做共轭复数.复数 轭复数记作: ( ). 的共

知识点二:复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式:

把复数表示成 2.四则运算 设 ,

的形式,叫做复数的代数形式.

(a,b,c,d∈R)

注意:复数除法通常上下同乘分母的共轭复数. 知识点三:复数的几何意义 1.复平面、实轴、虚轴: 复数 也 叫 高 ( 斯 平 )可用点 面 , 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, 轴 叫 做 实 轴 , 轴 叫 做 虚 轴 .

实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数 复平面内的点

每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复 数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. 2.复数的几何表示 (1)坐标表示:在复平面内以点 (2)向量表示:以原点 长度叫做复数 理解: (1)向量 与点 以及复数 一一对应; 为起点,点 的模,记作 表示复数 为终点的向量 .即 ( ) ; 表示复数 . . 向量 的

(2)两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 3.复数加减法的几何意义: 如果复数 表示的向量 对应的向量. 、 分别对应于向量 就是 、 ,那么以 、 为两边作平行四边形 表示的向量 ,对角线 所

的和所对应的向量.对角线

就是两个复数的差


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