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北京市朝阳区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1.圆(x﹣2)2+y2=4 被直线 x=1 截得的弦长为( ) A.1 B. C.2 D. 2 2.抛物线 y =2x 上与其焦点距离等于 3 的点的横坐标是( ) A.1 B.2 C

. D.

3.已知 p:“x>2”,q:“x2>4”,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 4.已知两条不同的直线 a,b,三个不同的平面 α,β,γ,下列说法正确的是( ) A.若 a∥α,b⊥a,则 b∥α B.若 a∥α,a∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,a⊥α,则 a∥β D.若 α⊥γ,β∥γ,则 α⊥β 2 2 5.在圆 x +y =16 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在圆上运 动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是( ) A. B.x2+y2=4 C. D.

6.如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是( )

= ,

A.﹣

+

+ B.

C.

D.﹣



+

7.若由方程 x2﹣y2=0 和 x2+(y﹣b)2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实 数 b 的取值范围是( ) A. B.b≥2 或 b≤﹣2 C.﹣2≤b≤2 D. 或 2 2 8.设 O 是坐标原点,若直线 l:y=x+b(b>0)与圆 x +y =4 交于不同的两点 P1、P2,且 ,则实数 b 的最大值是( )

A. B.2 C. D. 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥 的体积为( )
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A.

B.

C.

D.

10.已知动圆 C 位于抛物线 x2=4y 的内部(x2≤4y) ,且过该抛物线的顶点,则动圆 C 的周 长的最大值是( ) A.π B.2π C.4π D.16π 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上) 11.写出命题 p:”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定?p: ;判断?p 是 命题. (后一空中填“真”或“假”) 12.已知 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) ,则△AOB 的外接圆的方程是 . 13.中心在原点,焦点在 y 轴上,虚轴长为 并且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程 为 . 14.过椭圆 C: + =1 的右焦点 F2 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点.若 = ,

则点 A 与左焦点 F1 的距离|AF1|= . 15.如图为四棱锥 P﹣ABCD 的表面展开图,四边形 ABCD 为矩形, ,AD=1.已知 P ABCD A P ABCD 顶点 在底面 上的射影为点 ,四棱锥的高为 ,则在四棱锥 ﹣ 中,PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .

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16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,N 为 CD1 中点,M 为线段 BC1 上的动点, (M 不与 B,C1 重合)有四个命题: ①CD1⊥平面 BMN; ②MN∥平面 AB1D1; ③平面 AA1CC1⊥平面 BMN; ④三棱锥 D﹣MNC 的体积有最大值. 其中真命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请写 在答题卡上) 17.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点,点 M,N 分别为棱 DD1,A1D1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 CMN∥平面 A1DE; (Ⅱ)求证:平面 A1DE⊥平面 A1AE.

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC,且

,BC⊥

DC,∠BAD=60°,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点,△PAD 为等边三角形,M 是

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棱 PC 上的一点,设

(M 与 C 不重

合) .

(Ⅰ)求证:CD⊥DP; (Ⅱ)若 PA∥平面 BME,求 k 的值; (Ⅲ)若二面角 M﹣BE﹣A 的平面角为 150°,求 k 的值. 19.已知椭圆 W: ,过原点 O 作直线 l1 交椭圆 W 于 A,B 两点,P 为椭圆上异

于 A,B 的动点,连接 PA,PB,设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2(k1,k2≠0) ,过 O 作直线 PA,PB 的平行线 l2,l3,分别交椭圆 W 于 C,D 和 E,F. (Ⅰ)若 A,B 分别为椭圆 W 的左、右顶点,是否存在点 P,使∠APB=90°?说明理由. (Ⅱ)求 k1?k2 的值; (Ⅲ)求|CD|2+|EF|2 的值.

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2015-2016 学年北京市朝阳区高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1.圆(x﹣2)2+y2=4 被直线 x=1 截得的弦长为( ) A.1 B. C.2 D. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】算出已知圆的圆心为 C(2,0) ,半径 r=2.利用点到直线的距离公式,算出点 C 到直线直线 l 的距离 d=1,由垂径定理加以计算,可得直线 l 被圆截得的弦长. 【解答】解:圆(x﹣2)2+y2=4 的圆心为 C(3,0) ,半径 r=2, ∵点 C 到直线直线 x=1 的距离 d=1, ∴根据垂径定理,得圆(x﹣2)2+y2=4 被直线 x=1 截得的弦长为 2 故选:D. 2.抛物线 y2=2x 上与其焦点距离等于 3 的点的横坐标是( A.1 B.2 C. D. ) =2

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】确定抛物线 y2=2x 的焦点为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ .设所求点 P 的坐标为 (x0,y0) ,利用|PF|=3,结合抛物线的定义即可得出. 【解答】解:由抛物线方程 y2=2x 的焦点为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ . 设所求点 P 的坐标为(x0,y0) , 由抛物线的定义可得,|PF|=x0+ =3. 解得 x0= . 故选:C. 3.已知 p:“x>2”,q:“x2>4”,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 x2>4,解得 x>2 或 x<﹣2,即可判断出结论. 【解答】解:由 x2>4,解得 x>2 或 x<﹣2, ∴p 是 q 的充分不必要条件. 故选:A.
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4.已知两条不同的直线 a,b,三个不同的平面 α,β,γ,下列说法正确的是( A.若 a∥α,b⊥a,则 b∥α B.若 a∥α,a∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,a⊥α,则 a∥β D.若 α⊥γ,β∥γ,则 α⊥β



【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】对 4 个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:对于 A,若 a∥α,b⊥a,则 b∥α,b 与 α 相交或 b? α,不正确; 对于 B,若 a∥α,a∥β,则 α∥β 或 α,β 相交,不正确; 对于 C,若 α⊥β,a⊥α,则 a∥β 或 a? β,不正确; 对于 D,若 α⊥γ,β∥γ,在 β 内存在直线与 α 垂直,根据平面与平面垂直的判定,可得 α ⊥β,正确. 故选:D. 5.在圆 x2+y2=16 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在圆上运 动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是( ) A. B.x2+y2=4 C. D.

【考点】轨迹方程. 【分析】 设出 M 点的坐标, 由 M 为线段 PD 的中点得到 P 的坐标, 把 P 的坐标代入圆 x2+y2=16 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹. 【解答】解:设 M(x,y) ,由题意 D(x,0) ,P(x,y1) ∵M 为线段 PD 的中点,∴y1+0=2y,y1=2y. 又∵P(x,y1)在圆 x2+y2=16 上,∴x2+y12=16, ∴x2+4y2=16,即 =1.

∴点 M 的轨迹方程为 故选:C.

=1.

6.如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是( )

= ,

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A.﹣

+

+ B.

C.

D.﹣



+

【考点】相等向量与相反向量. 【分析】由题意可得 【解答】解:由题意可得 = + ( ﹣ )=﹣ 故选 A. 7.若由方程 x2﹣y2=0 和 x2+(y﹣b)2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实 数 b 的取值范围是( ) A. B.b≥2 或 b≤﹣2 C.﹣2≤b≤2 D. 或 【考点】曲线与方程. 【分析】由方程 x2﹣y2=0 和 x2+(y﹣b)2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解,直 线与 x2+(y﹣b)2=2 相切或相离,利用点到直线的距离公式,即可得出结论. 【解答】解:由题意,x2﹣y2=0 表示两条直线 x±y=0. ∵由方程 x2﹣y2=0 和 x2+(y﹣b)2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解, ∴直线与 x2+(y﹣b)2=2 相切或相离, ∴ ≥ , + = = + , + = + = + + = + = [ ﹣ ],化简得到结果. + = + ( ﹣ )

∴b≥2 或 b≤﹣2, 故选:B. 8.设 O 是坐标原点,若直线 l:y=x+b(b>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 P1、P2,且 ,则实数 b 的最大值是( A. B.2 C. D. |2≤2,即可求出实数 b 的最大值. )

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】设 P1P2 中点为 D,则 OD⊥P1P2,确定| 【解答】解:设 P1P2 中点为 D,则 OD⊥P1P2, ∵ ∴| ∵| ∴| |≥2| |2+ | |, |2=4 ,

|2≤2 ∵直线 l:y=x+b(b>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 P1、P2, ∴| |2<4 ∴| |2≤2 ∴( )2≤2
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∵b>0 ∴b≤2. ∴实数 b 的最大值是 2. 故选:B. 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥 的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图,根据三视图中的数据计算棱锥的体积. 【解答】解:由三视图可知三棱锥是从边长为 4 的正方体中截出来的 M﹣ADD′,其中 M 为 BC 的中点. ∴三棱锥的体积 V= 故选:C. = = .

10.已知动圆 C 位于抛物线 x2=4y 的内部(x2≤4y) ,且过该抛物线的顶点,则动圆 C 的周 长的最大值是( ) A.π B.2π C.4π D.16π 【考点】抛物线的简单性质.

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2 2 =b , y=0, 【分析】 设圆的方程为 x2+ (y﹣b) 与 x2=4y 联立可得 y2+ (4﹣2b) 利用 4﹣2b=0, 求出 b,即可求出动圆 C 的周长的最大值. 【解答】解:设圆的方程为 x2+(y﹣b)2=b2, 与 x2=4y 联立可得 y2+(4﹣2b)y=0,∴4﹣2b=0, ∴b=2, ∴动圆 C 的周长的最大值是 2π×2=4π. 故选:C.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上) 11.写出命题 p:”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定?p: 存在两个等腰直角三 角形,它们不相似 ;判断?p 是 假 命题. (后一空中填“真”或“假”) 【考点】命题的否定. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可. 【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是:存在两个等腰直角三角形,它们不相似, ∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真命题. , ∴原命题为真命题,则命题的否定为假命题, 故答案为:存在两个等腰直角三角形,它们不相似 假 12.已知 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) ,则△AOB 的外接圆的方程是 (x﹣4)2+(y ﹣3)2=25 . 【考点】圆的标准方程. 【分析】根据题意,△AOB 是以 AB 为斜边的直角三角形,因此外接圆是以 AB 为直径的 圆.由此算出 AB 中点 C 的坐标和 AB 长度,结合圆的标准方程形式,即可求出△AOB 的 外接圆的方程. 【解答】解:∵△AOB 的顶点坐标为 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) , ∴OA⊥OB,可得△AOB 的外接圆是以 AB 为直径的圆 ∵AB 中点为 C(4,3) ,|AB|=10 ∴圆的圆心为 C(4,3) ,半径为 r=5 可得△AOB 的外接圆的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=25 故答案为: (x﹣4)2+(y﹣3)2=25 13.中心在原点,焦点在 y 轴上,虚轴长为 y=± x . 并且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1(a,b>0) ,由题意可得 b,运用离心率公式和 a,

b,c 的关系,可得 a=1,可得双曲线的方程,即可得到渐近线方程. 【解答】解:设双曲线的方程为 由题意可得 2b=4 ,即 b=2 , ﹣ =1(a,b>0) ,

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又 e= =3,c2=a2+b2, 解得 a=1, 可得双曲线的方程为 y2﹣ 即有渐近线的方程为 y=± 故答案为:y=± x. =1, x.

14.过椭圆 C:

+

=1 的右焦点 F2 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点.若 .

=



则点 A 与左焦点 F1 的距离|AF1|= 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】求得椭圆的 a,b,c,右焦点坐标,由

=

,可得 F2 为 AB 的中点,即有

AB⊥x 轴,令 x=1,可得|AF2|,再由椭圆的定义,即可得到所求值. 【解答】解:椭圆 C: 右焦点 F2 为(1,0) , 由 = ,可得 F2 为 AB 的中点, ? =± , + =1 的 a=2,b= ,c=1,

即有 AB⊥x 轴,令 x=1,可得 y=±

由椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=2a=4, 可得|AF1|=4﹣|AF2|=4﹣ = . 故答案为: .

15.如图为四棱锥 P﹣ABCD 的表面展开图,四边形 ABCD 为矩形, ,AD=1.已知 顶点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A,四棱锥的高为 ,则在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .

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【考点】直线与平面所成的角. 【分析】作出四棱锥的直观图,根据 PA⊥平面 ABCD 即可得出∠PCA 为所求角,利用勾股 定理计算 AC,即可得出线面角的正切值. 【解答】解:作出四棱锥的直观图如图所示: ∵顶点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A,∴PA⊥平面 ABCD, ∴∠PCA 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角,PA= . ∵四边形 ABCD 为矩形, ,AD=1, AC= ∴ , ∴tan∠PCA= 故答案为: . .

16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,N 为 CD1 中点,M 为线段 BC1 上的动点, (M 不与 B,C1 重合)有四个命题: ①CD1⊥平面 BMN; ②MN∥平面 AB1D1; ③平面 AA1CC1⊥平面 BMN; ④三棱锥 D﹣MNC 的体积有最大值. 其中真命题的序号是 ②③ .

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【考点】棱柱的结构特征. 【分析】直接利用空间中线线关系,线面关系及面面关系逐一判断 4 个命题得答案. 【解答】解:①∵CD1 与 BM 成 60°角,∴CD1 与平面 BMN 不垂直,①错误; ②∵平面 BMN∥平面 AB1D1,∴MN∥平面 AB1D1,②正确; ③∵平面 BMN 与平面 BC1D 重合,而平面 AA1CC1⊥平面 BC1D,③正确; ④∵M 与 B 重合时,三棱锥 D﹣MNC 的体积最大,而 M 不与 B,C1 重合,④错误. ∴z 正确命题的序号为②③. 故答案为:②③.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请写 在答题卡上) 17.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点,点 M,N 分别为棱 DD1,A1D1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 CMN∥平面 A1DE; (Ⅱ)求证:平面 A1DE⊥平面 A1AE.

【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定.

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【分析】 (I)由中位线定理可得 MN∥A1D,由长方体的结构特征可得四边形 A1ECN 是平 行四边形,故 CN∥A1E,从而平面 CMN∥平面 A1DE; (II)由 AA1⊥平面 ABCD 可得 AA1⊥DE,由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出 AE ⊥DE,故 DE⊥平面 A1AE,从而平面 A1DE⊥平面 A1AE. 【解答】解: (Ⅰ)∵M,N 分别为棱 DD1,A1D1 的中点,∴MN∥A1D, ∵A1D? 平面 A1DE,MN?平面 A1DE,∴MN∥平面 A1CD. ∵E 是 BC 中点,N 是 A1D1 的中点,∴A1N=CE,A1N∥CE, ∴四边形 A1ECN 是平行四边形,∴CN∥A1E, ∵A1E? 平面 A1DE,CN?平面 A1DE,∴CN∥平面 A1CD, 又∵MN∩CN=N,MN? 平面 MCN,CN? 平面 MCN, ∴平面 CMN∥平面 A1DE. (Ⅱ)∵AA1⊥平面 ABCD,DE? 平面 ABCD, ∴AA1⊥DE. ∵AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点, ∴ , 2 2 2 ∴EA +ED =AD ,即 AE⊥DE. ∵AA1? 平面 AA1E,AE? 平面 AA1E,AE∩AA1=A, ∴DE⊥平面 A1AE. 又 DE? 平面 A1DE,所以平面 A1DE⊥平面 A1AE. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC,且 ,BC⊥

DC,∠BAD=60°,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点,△PAD 为等边三角形,M 是 棱 PC 上的一点,设 (M 与 C 不重

合) .

(Ⅰ)求证:CD⊥DP; (Ⅱ)若 PA∥平面 BME,求 k 的值; (Ⅲ)若二面角 M﹣BE﹣A 的平面角为 150°,求 k 的值. 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)推导出 PE⊥AD,从而 PE⊥平面 ABCD,进而 PE⊥CD,再由 CD⊥DA,得 CD⊥平面 PAD,由此能证明 CD⊥DP.….. (Ⅱ)连接 AC 交 BE 于 N,连接 MN,推导出 PA∥MN,从而∠CBN=∠AEN=90°,进而 △CNB≌△ANE.由此能求出 k=1.

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(Ⅲ)法一:连接 CE,过点 M 作 MF∥PE 交 CE 于 F,过 A(0,1,0)作 FG⊥BE 于 G, 连接 MG,则∠MGF 为二面角 M﹣BE﹣C 的平面角,由此能示出 k. 法二:以 E 为原点,射线 EB,EA,EP 分别为 x 正半轴,y 正半轴,z 正半轴建立空间直角 坐标系,利用和量法能求出 k. 【解答】 (本题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为△PAD 为等边三角形,E 为 AD 的中点,所以 PE⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PE? 平面 PAD, 所以 PE⊥平面 ABCD. 又 CD? 平面 ABCD,所以 PE⊥CD. 由已知得 CD⊥DA,PE∩AD=E,所以 CD⊥平面 PAD. 双 DP? 平面 PAD,所以 CD⊥DP.….. 解: (Ⅱ)连接 AC 交 BE 于 N,连接 MN. 因为 PA∥平面 BME,PA? 平面 PAC, 平面 PAC∩平面 BME=MN,所以 PA∥MN. 因为 AD∥BC,BC⊥DC,所以∠CBN=∠AEN=90°. 又 CB=AE,∠CNB=∠ANE,所以△CNB≌△ANE. 所以 CN=NA,则 M 为 PC 的中点,k=1.….. (Ⅲ)方法一: 依题意,若二面角 M﹣BE﹣A 的大小为 150°,则二面角 M﹣BE﹣C 的大小为 30°. 连接 CE,过点 M 作 MF∥PE 交 CE 于 F,过 A(0,1,0)作 FG⊥BE 于 G,连接 MG. 因为 PE⊥平面 ABCD,所以 MF⊥平面 ABCD. 又 BE? 平面 ABCD,所以 MF⊥BE. 又 MF∩FG=F,MF? 平面 MFG,FG? 平面 MFG, 所以 BE⊥平面 MFG,从而 BE⊥MG. 则∠MGF 为二面角 M﹣BE﹣C 的平面角,即∠MGF=30°. 在等边△PAD 中, 又 ,所以 .由于 . ,所以 .

在△MFG 中, 解得 k=3.….. 方法二:由于 EP⊥EA,EP⊥EB,EA⊥EB,以 E 为原点, 射线 EB,EA,EP 分别为 x 正半轴,y 正半轴,z 正半轴建立空间直角坐标系, 如图.∵ ,∠BAD=60°,

1, 0) D 0) E 0, 0) ∴A (0, , , , (0, ﹣1, , (0, , 平面 ABE 即 xoy 平面的一个法向量为 =(0,0,1) . 设 M(x,y,z) ,由条件 即 可知: (k>0) , ,

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,解得:







设平面 MBE 的一个法向量为 =(x',y',z') ,



x'=0, , 令

, 则 z'=k. 即 = (0,

) .

因为二面角 M﹣BE﹣A 的平面角为 150°, 所以|cos< >|=|cos150°|,即 = = ,

解得 k=±3. 因为 k>0,所以 k=3.…..

19.已知椭圆 W:

,过原点 O 作直线 l1 交椭圆 W 于 A,B 两点,P 为椭圆上异

于 A,B 的动点,连接 PA,PB,设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2(k1,k2≠0) ,过 O 作直线 PA,PB 的平行线 l2,l3,分别交椭圆 W 于 C,D 和 E,F. (Ⅰ)若 A,B 分别为椭圆 W 的左、右顶点,是否存在点 P,使∠APB=90°?说明理由. (Ⅱ)求 k1?k2 的值; (Ⅲ)求|CD|2+|EF|2 的值.
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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)不存在点 P,使∠APB=90°.理由如下:设 P(xP,yP) ,运用向量垂直的条 件和数量积的坐标表示,结合椭圆方程,即可判断; (Ⅱ)设 P(xP,yP) ,A(xA,yA) ,运用直线的斜率公式和点差法,化简整理可得所求值; (Ⅲ)方法一:由于 l2,l3 分别平行于直线 PA,PB,求得直线方程,联立椭圆方程,求得 弦长,化简整理,即可得到所求值; 方法二、设 C(xC,yC) ,E(xE,yE) ,由直线 l2,l3 都过原点,则 D(﹣xC,﹣yC) ,F(﹣ xE,﹣yE) . 由于 l2,l3 分别平行于直线 PA,PB,由平行的条件,求得直线方程,代入椭圆方程,化简 整理,即可得到所求值. 【解答】解: (Ⅰ)不存在点 P,使∠APB=90°. 说明如下:设 P(xP,yP) . 依题意,此时 A(﹣2,0) ,B(2,0) , 则 , ,即 . .…(1)

若∠APB=90°,则需使

又点 P 在椭圆 W 上,所以





代入(1)式中解得,xP=±2,且 yP=0.

显然与 P 为椭圆上异于 A,B 的点矛盾,所以不存在; (Ⅱ)设 P(xP,yP) ,A(xA,yA) ,依题意直线 l1 过原点,则 B(﹣xA,﹣yA) . 由于 P 为椭圆上异于 A,B 的点, 则直线 PA 的斜率 ,直线 PB 的斜率 .





椭圆 W 的方程化为 x2+4y2=4,由于点 P 和点 A 都为椭圆 W 上的点, 则 ,两式相减得 ,

因为点 P 和点 A 不重合,所以







(Ⅲ)方法一:由于 l2,l3 分别平行于直线 PA,PB, 则直线 l2 的斜率 kCD=k1,直线 l3 的斜率 kEF=k2.
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设直线 l2 的方程为 y=k1x,代入到椭圆方程中, 得 ,解得 .

设 C(xC,yC) ,由直线 l2 过原点,则 D(﹣xC,﹣yC) . 则 由于 yC=k1xC,所以|CD|2= = ,即|CD|2= .



直线 l3 的方程为 y=k2x,代入到椭圆方程中, 得 ,解得 .

同理可得



则|CD|2+|EF|2=



由(Ⅱ)问

,且 k1≠0,则



即|CD|2+|EF|2=16

化简得|CD|2+|EF|2=16



即|CD|2+|EF|2=20. 方法二:设 C(xC,yC) ,E(xE,yE) , 由直线 l2,l3 都过原点,则 D(﹣xC,﹣yC) ,F(﹣xE,﹣yE) . 由于 l2,l3 分别平行于直线 PA,PB, 则直线 l2 的斜率 kCD=k1,直线 l3 的斜率 kEF=k2, 由(Ⅱ)得 由于 kCD=k1≠0,则 ,可得 . .

由于点 C 不可能在 x 轴上,即 yC≠0,所以



过原点的直线 l3 的方程为

,代入椭圆 W 的方程中,
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,化简得



由于点 C(xC,yC)在椭圆 W 上,所以 ,不妨设 xE=2yC,代入到直线 .即 ,则



所以

中,

得 |CD|2+|EF|2= = = 又



. ,所以|CD|2+|EF|2=20.

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2016 年 8 月 1 日

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