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58 古典概型


【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业58 第二节 古典概型 1.我国西南今春大旱,某基金会计划给予援助,6 家矿泉水企业参与了竞标.其中 A 企业来自浙江省,B、C 两家企业来自福建省,D、E、F 三家企业来自广东省.此项援助计 划从两家企业购水,假设每家企业中标的概率相同.则在中标的企业中,至少有一家来自广 东省的概率是________. 解析:在六家矿泉水企业中,

选取两家有 15 种情况,其中至少有一家企业来自广东的 4 有 12 种情况,故所求概率为 . 5 4 答案: 5 2.(2011 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分 别标有数字 1,4 的 2 张卡片.若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数字 之和为奇数的概率是________. 解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共 4 种情形,而从两个盒子中各抽 1 取一张卡片共有 8 种情况,所以所求概率为 . 2 1 答案: 2 3. (2011 年无锡质检)投掷两颗骰子, 得到其向上的点数分别为 m 和 n, 则复数(m+ni)(n -mi)为实数的概率为________. 解析:复数(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,则 n2-m2=0,又 m,n 均为正整 数, ∴m=n, ∴投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有 6 种, 6 1 ∴所求概率为 = . 6×6 6 1 答案: 6 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 种,所以所求概率 10 5 为 = . 16 8 5 答案: 8 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现 的点数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________. 解析:显然 m· n=a-2b=0,所有可能的结果为(a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件 1 总数为 36,则概率为 . 12 1 答案: 12 6. (2011 年南京高三调研)如图,将一个体积为 27 cm3 的正方体 木块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 的小正方体,从中任取一 块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是________. 解析: 据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体的

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各条棱的中间块时满足条件.正方体共 12 条棱,所以两面涂色的小正方体有 12 个,而所有 12 4 小正方体有 27 个,所以,所求的概率为 P= = . 27 9 4 答案: 9 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n, 则所取两数 m>n 的概率是________. 解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,n=1,3,5; 15 m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P= =0.6. 25 答案:0.6 8.(2011 年泰兴质检)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y), 则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率为________. 解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、y∈Z,则基本事件总数为 n=25,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4, ∴满足条件的整点有(0,2), (1,2), (2,2), (1,1), 6 (2,1),(2,0)6 个,故 P= . 25 6 答案: 25 9.有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据: 编号 直径 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个: ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率. 解:(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个为 6 3 一等品”为事件 A,则 P(A)= = . 10 5 (2)①一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5, A6},共有 15 种. ②“从一等品零件中, 随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果有: {A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种. 6 2 所以 P(B)= = . 15 5 10.设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)若“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 解:(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0. 即 n=(m-1)2. 由于 m,n∈{1,2,3,4},

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故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共 2 个. 又因为基本事件的总数为 16, 2 1 故所求的概率为 P(A)= = . 16 8 11.(探究选做)从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高.据测量, 被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160);第二组[160,165);?;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等 差数列.

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为 x、 y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率. 解:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04, 人数 为 0.04×50=2,设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m =7-m,又 m+2=2(7-m),解得 m=4,所以第六组人数为 4, 第七组人数为 3,频率分别等于 0.08,0.06. 频率 分别等于 0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图. 组距 (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4,设为 a、b、c、d, 身高在[190,195]内的人数为 2,设为 A、B,若 x,y∈[180,185)时, 有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7, 7 ∴P(|x-y|≤5)= . 15

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