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初高中数学衔接教材6


3. 1

相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题 .在数学 学习与研究中,我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上,我们作平行线 ,直线 a 交 l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 (如图 3.1-1) 点 A, B, C ,AB ? 2, BC ? 3 , 另作直线 交 l1 , l2 , l3 于 点 A ' , B ' ,C , ' 不难发现
A' B ' A B 2 ? ? . B' C' BC 3 图 3.1-1 我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. AB DE AB DE = ? 如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,有 .当然,也可以得出 .在运用该 BC EF AC DF 定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成 比例.


b

例1

如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,

且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF . 解
AB DE 2 = = , BC EF 3 2 8 3 12 DE ? DF ? , EF ? DF ? . 2?3 5 2?3 5 Q l1 / / l2 / /l3\ ,

图 3.1-2

例2

在 ? ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:
AD AE DE ? ? . AB AC BC

证明(1) ? DE // BC,??ADE ? ?ABC, ?AED ? ?ACB,
?? ADE ∽ ? ABC ,?

AD AE DE ? ? . AB AC BC 证明(2) 如图 3.1-3,过 A 作直线 l // BC ,

? l // DE // BC,
? AD AE ? . AB AC 过 E 作 EF // AB 交 AB 于 D ,得 ? BDEF ,

因而 DE ? BF . AE BF DE ? EF // AB,? ? ? . AC BC BC AD AE DE ? ? ? . AB AC BC

图 3.1-3

从上例可以得出如下结论: 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线 段成比例. 平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应成比例. 例 3 已知 ? ABC , D 在 AC 上, AD : DC ? 2 :1 ,能否在 AB 上找到一点 E ,使 得线段 EC 的中点在 BD 上. 解 假设能找到, 如图 3.1-4, 设 EC 交 BD 于 F , 则 F 为 EC 的中点, 作 EG // AC 交 BD 于 G .
? EG // AC, EF ? FC ,

? ? EGF ?? CDF ,且 EG ? DC , 1 B E E G 1 ? EG // AD,? BEG ?? BAD , ? ? , 且 2 B A A D 2 ? E 为 AB 的中点. 可见, 当 E 为 AB 的中点时,EC 的中点在 BD 上. 图 3.1-4 我们在探索一些存在性问题时,常常先假设其存在,再解之,有解则存在, 无解或矛盾则不存在. AB BD = 例4 在 V ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,求证: . AC DC 证明 过 C 作 CE//AD,交 BA 延长线于 E, BA BD Q AD // CE , \ = . AE DC

Q AD 平分 衆 BAC, ? BAD
由 AD // CE 知 ? BAD

? DAC,

行 E, DAC = ? ACE,

\ ?E
\

? ACE,即AE

AC,

图 3.1-5

AB BD = . AC DC 例 4 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等 于该角的两边之比).

练习 1 1 .如图 3.1-6 , l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是



) AD = A. DF CE = C. DF

CE BC AD BC

B.

AD = BE AF = D. DF

BC AF BE CE
图 3.1-6

2







3.1-7

, 求 BF .
图 3.1-7

DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm,

3.如图,在 V ABC 中,AD 是角 BAC 的 线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的

平分 长.

图 3.1-8

4.如图,在 V ABC 中, ?BAC 的外角平分 线 AD 交 BC 的 延 长 线 于 点 D , 求 证 : AB BD = . AC DC
图 3.1-9

5.如图,在 V ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使 BD=CE,DE 延长线 DF AC = 交 BC 的延长线于 F.求证: . EF AB

图 3.1-10

3.1.2.相似形
我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形 相似?有哪些方法可以判定两个直角三角形相似? 例5 如图 3.1-11, 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,? BAC ? CDB , 求证:

? DAC ? CBD . 证明 在 VOAB 与 VODC 中,

? AOB

行 DOC, OAB = ? ODC,

\ VOAB ∽ VODC , OA OB OA OD \ = = ,即 . OD OC OB OC 又 VOAD 与 VOBC 中, ? AOD \ VOAD ∽ VOBC , \ ? DAC ? CBD .
例6

? BOC ,

图 3.1-11

如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 求 证 : ( 1 ) AB2 = BD ?BC ,

AC 2 = CD ?CB ;

(2) AD 2 = BD ?CD 证 明 ( 1 ) 在 R tV B A C与 RtVBDA 中 , ? B ? B, BA BC \ VBAC ∽ V BDA , \ = , 即AB 2 = BD ?BC. BD BA 同理可证得 AC 2 = CD ?CB . (2)在 RtV ABD 与 RtVCAD 中, ? C
\ RtV ABD ∽ RtVCAD , \
图 3.1-12

90o - ? CAD

? BAD ,

AD DC = , 即AD 2 = BD ?DC. BD AD 我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用.

例 7

在 V ABC 中 , AD ^ BC于D, DE ^ AB于E, DF ^ AC于F , 求 证 :

A E? A B A ? F .A C 证明 Q A D^ B C , \ V ADB 为直角三角形,又 DE ^ AB ,

由射影定理,知 AD 2 = AE ?AB . 同理可得 AD 2 = AF ?AC .
\ AE ?AB AF ?AC . 图 3.1-13 例 8 如图 3.1-14,在 V ABC 中, D 为边 BC 的中点, E 为边 AC 上的任意一点, BE 交 AD 于 点 O . 某 学 生 在 研 究 这 一 问 题 时 , 发 现 了 如 下 的 事 实 :

图 3.1-14

(1) 当

AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14a) AC 2 1 + 1 AD 3 2 + 1 AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14b) AC 3 1 + 2 AD 4 2 + 2 AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14c) AC 4 1 + 3 AD 5 2 + 3 AE 1 = 时,参照上述研究结论,请你猜想用 n 表示 AC 1 + n

(2) 当

(3) 当

在图 3.1-14d 中,当

AO 的一般结论,并给出证明(其中 n 为正整数). AD

解:依题意可以猜想:当

AE 1 AO 2 = = 时,有 成立. AC 1 + n AD 2 + n

证明 过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F, Q D 是 BC 的中点, \ F 是 EC 的中点, 由
AE 1 AE 1 AE 2 AE 2 = ,\ = = , = .. 可知 EC n AC 1 + n EF n AF 2 + n

\

AO AE 2 = = . AD AF 2 + n

AO 1 AE = ,则 =? AD n AC 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一 些规律,进而作出一般性的猜想,然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断 探索的历史.

想一想,图 3.1-14d 中,若

练习 2 1.如图 3.1-15,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点 作 DE//BC 交 AC 于 E. 已 知 AD : DB=2 : 3 , 则 等于( SVA D E: S四边形B C D E )

A. 2 : 3

B. 4 : 9

C. 4 : 5

D. 4 : 21

图 3.1-15

2. 若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段 的比是 3 : 2 ,则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知: V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长是 15,求 ? A ' B ' C ' 的面积 SV A ' B 'C ' .

4.已知:如图 3.1-16,在四边形 ABCD 中,E、F、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明 理由; (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、 BD 满足什么条件时,EFGH 是菱形?是正方 形? 5.如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上,VPCD 是 等边三角形, V ACP (1) 当 AC、 CD、 DB 满足怎样的关系时, V PDB ∽ ? (2) 当 V ACP ∽ V PDB 时,求 ?APB 的度数.

图 3.1-16

图 3.1-17

习题 3.1 A组 V ABC 1.如图 3.1-18, 中, AD=DF=FB, AE=EG=GC, FG=4,则( ) A.DE=1,BC=7 B.DE=2,BC=6 C.DE=3,BC=5 D.DE=2,BC=8
图 3.1-18

2.如图 3.1-19,BD、CE 是 V ABC 的中线,P、Q 分别 是 BD、CE 的中点,则 PQ : BC 等于( A.1:3 C.1:5 B.1:4 D.1:6 )

图 3.1-19

3.如图 3.1-20, Y ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,已知 BE:AB=2:3, SVBEF = 4 ,求 SVCDF .

图 3.1-20

4.如图 3.1-21,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点, BE ^ AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G, 求证: AG 2 = AF ?FC .

图 3.1-21

B组 V ABC 1.如图 3.1-22, 已知 中, AE: EB=1: 3, BD: DC=2: EF AF + 1,AD 与 CE 相交于 F,则 的值为( ) FC FD 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2
图 3.1-22

2.如图 3.1-23, 已知 V ABC 周长为 1, 连结 V ABC 三边的中点构成第二个三角形, 再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形,依 此类推,第 2003 个三角形周长为( ) 1 1 1 1 A. B. C. 2002 D. 2003 2002 2003 2 2
图 3.1-23

3.如图 3.1-24,已知 M 为 Y ABCD 的边 AB 的中 点,CM 交 BD 于点 E,则图中阴影部分的面积 与 Y ABCD 面积的比是( ) 1 1 1 5 A. B. C. D. 3 4 6 12
图 3.1-24

4.如图 3.1-25, 梯形 ABCD 中, AD//BC, EF 经过梯形对角线的交点 O, 且 EF//AD.

(1) 求证:OE=OF; OE OE + (2) 求 的值; AD BC 1 1 2 + = (3) 求证: . AD BC EF
图 3.1-25

C组 1.如图 3.1-26, V ABC 中,P 是边 AB 上一点,连结 CP. (1) 要 使 V A C P∽ V ABC , 还 要 补 充 的 一 个 条 件 是 ____________. : P = B2 : , 1 则 (2) 若 V ACP ∽ V ABC , 且 A P B C : P C =_____.
图 3.1-26

2.如 图 3.1-27 , 点 E 是 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 , 且 ? B A C ? B D C ? D. A E (1) 求证: BE ?AD CD ?AE ; BC (2) 根据图形的特点,猜想 可能等于那两条线段 DE 的比(只须写出图中已有线段的一组比即可)? 并证明你的猜想.

图 3.1-27

3.如图 3.1-28,在 RtV ABC 中,AB=AC, ? A

90o ,

点 D 为 BC 上任一点,DF ^ AB 于 F,DE ^ AC 于 E,M 为 BC 的中点,试判断 V MEF 是什么形状的 三角形,并证明你的结论.
图 3.1-28

4.如图 3.1-29a, AB ^ BD, CD ^ BD, 垂足分别为 B、D,AD 和 BC 相交于 E,
EF ^ BD 于 F,我们可以证明

1 1 1 + = 成立. AB CD EF

图 3.1-29

若将图 3.1-29a 中的垂直改为斜交,如图 3.1-29 b, AB // CD, AD、BC 相交于 E,EF//AB 交 BD 于 F,则: 1 1 1 + = (1) 还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请 AB CD EF 说明理由; (2) 请找出 SV ABD , SVBCD 和 SV EBD 之间的关系,并给出证明.

第二讲 三角形与圆
3.1 相似形 练习 1
1.D

DE AD x 5 10 10 ? ,? ? , x ? ,即 BF ? . BC AB x?2 8 3 3 AB BD 5 35 ? ? ,? BD ? cm. 3.? AC DC 4 9 AB BD ? ? F得 AC ? 4 . 作 CF // AB 交 AD 于 F , 则 , 又 ?A F C? ? F A E CF DC AB BD ? AC ? CF , ? . AC DC EG CE ? , 即 5 . 作 EG // AB 交 BC 于 G , ?? CEG ?? CAB,? AB AC AC CE DB DF AC ? ? ,? ? . AB EG EG EF AB
2.设 BF ? x,?

练习 2 1. C
2.12,18

1 15 ? 3 ? 4 ? 6,? S? A ' B 'C ' ? ( ) 2 ? 6 ? 54. 2 5 1 4. (1)因为 EH // BD //FG, 所以 EFGH 是平行四边形; (2)当 AC ?BD 时,EFGH 为 2
3.? S? ABC ? 菱形;当 AC ? BD, AC ? BD 时, EFGH 为正方形. 5. (1)当 CD ? AC ? BD 时, ? ACP ?? PDB ; (2) ?APB ? 120 .
2 o

习题 3.1 A组
1.B 2.B 3. S? CDF ? 9

2 4 . BF 为 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 上 的 高 , BF ? AF ? FC , 又 可 证

AG ? BF , ? AG 2 ? AF ? FC .

B组
1.C 2.C 3.A

EO AE DE OF OE OE AE BE ? ? ? , EO ? OF ( ? ? ? ? 1. . 2) BC AB DC BC AD BC AB AB 1 1 1 2 ? ? ? . (3)由(2)知 AD BC OE EF C组 ? AD // BC ,? 4. (1)
1.(1) AC ? AP ? AB 或 ?ACP ? ?B .(2) BC : PC ? 3 : 2 .
2

BE AE BC AB AD ? ?? ADE ?? ACB,? ? ? ; (2) . CD AD DE AE AC 3.连 AD 交 EF 于 O ,连 OM ,?? ABC 为等腰直角三角形,且 AEDF 为矩形,? OM 为 1 1 Rt ? AMD 斜 边 的 中 线 , OM ? AD ? EF , ?? MEF 为 直 角 三 角 形 . 又 可 证 2 2 ? BMF ?? AME ,得 MF ? ME ,故 ? MEF 为等腰直角三角形.
2. (1) 先证 ? AEB ?? ADC , 可得

? 4. (1) 成立,
证略.

EF EF FD BF 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1,? ? ? . 2) ( , ? ? AB CD BD BD AB CD EF S? ABD S? BCD S? EBD


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