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选修2-1课件3.2.5立体几何中的向量方法(五)


空间“综合”问题

复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化; 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量,利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.

【课后作业】 如图,已知:直角梯

形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面 OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。 求: (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 x (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B-AS-O的余弦值

z
S

O C B

y

500kg, 例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ?? ? ?? ? ?? ? 在它的顶点处分别受力 F1 、 F2 、 F3 ,每个力与同它相邻的 ?? ? ?? ? ?? ? ? 三角形的两边之间的夹角都是60,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg . 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小 为多大时,才能提起这块钢板?

分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ,垂直向下作用在 三角形的中心 O ,如果能将各 ?? ? ?? ? ?? ? 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示,求出其合力, x 就能判断钢板的运动状态.

z F1

F3

F2
O

C
B

A

500kg

y

??? ? ??? ? 解: 如图, 以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面,AB 方向为 y 轴正方向, AB

为 y 轴的单位长度,建立空间直角坐标系 A─xyz ,则正三角形的顶点坐标分别为 ?? ? 3 1 A(0,0 , 0) , B(0,1, 0) , C (? , , 0) 设 F1 方向上的单位向量坐标为 ( x , y , z ) , ? ???? 2 2 ?? ? ???
? 1 3 1 cos 60? ? ? ( x , y , z ) ? ( ? , , 0)① ? ? 2 2 2 ∴? ?cos 60? ? 1 ? ( x , y , z ) ? (0,1 , 0) ② ? ? 2

由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60? ,

又∵ x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ③

1 1 2 ? 1 1 2 ∴由①②③可解得 x ? ? , y ? ,z ? . ∴ ?? F ? 200( ? , , ) 1 2 12 3 12 2 3 ?? ? ?? ?
1 12 ?? ? ?? ? ?? ? ? 1 1 , , 合力 F1 ? F2 ? F3 ? 200 ?(? ? 12 2

同法可求得 F2 ? 200(?

1 2 , ) , F3 ? 200(? 2 3 2 1 1 2 ) ? (? , ? , ) ? (? 3 12 2 3 ,?

这说明,作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O . 由于 200 6 ? 500 ,所以钢板仍静止不动 ?? ? ?? ? ?? ? 500 要提起这块钢板,设 F1 ? F2 ? F3 = x ,则需 6 x ? 500 ,解得 x ? , 6 ?? ? ?? ? ?? ? 500 kg . 因此,要提起这块钢板, F1 、 F2 、 F3 均要大于 6

1 2 ,0 , ) 3 3 1 2 ? , 0 , )? ? 200(0,0, 6) 3 3 ?

F2
F3

F1 A

F1

F3 F2 O C

B
500kg

F2 F3 F1

?? ? ?? ? ?? ? 合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)

例4 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点, 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。

P F
D A

E

C B

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2

Z

P F
D
G

因为底面ABCD是正方形, 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2
A X

E

C B

Y

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2EG ,即PA// EG 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
(2)求证:PB⊥平面EFD
Z

P F
D

E

C
G

A X

Y

B

(2)证明:依题意得 B(1,1,0), PB ? (1,1,?1)
1 1 1 1 又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。

Z

P F
D A X B

E

C

Y

(3)解:已知PB ? EF ,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 ( x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1) 因为PF ? k PB
所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ?k )
Z

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以 k ? 3

P F
D A X B

E

C

Y

1 1 2 又点 E的坐标为 (0, 1 , 1 ) 点F的坐标为 ( , , ) 2 2 3 3 3

1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6
因为cos?EFD ? FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 1 3 6 6 3 3 3 6 ? ? ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60? ,即二面角C ? PB ? D的大小为 60?.

1.如图 3-5,已知两条异面直线所成的角为θ , 在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A’E=m,AF=n, EF=l,求公垂线 A A′的长 d.
??? ? ???? ???? ??? ? 解: ? EF ? EA? ? A? A ? AF
???? ???? ???? ??? ? ? AA? ? EA?, AA? ? AF
??? ? 2 ???? ???? ??? ? 2 ? EF ? ( EA? ? A? A ? AF ) ???? 2 ???? 2 ??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ? EA? ? A? A ? AF ? 2( EA?? A? A ? EA?? AF ? A? A ? AF )

????? ???? 2 ????? ???? ??? ? 2 2 2 ?l ? EA? ? A? A ? AF ? 2EA?? AF ? m2 ? d 2 ? n2 ? 2mn cos?
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d ? l 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos?

< EA?, AF >=π —θ (或θ ),

异面直线间的距离
已知a,b是异面直线,n为?的 法向量

b

? n
?
a

C A

CD为a,b的公垂线
A,B分别在直线a,b上 则 | CD |?

D

B

n ? AB |n|

即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长,

例已知:直三棱柱 . ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A ? B ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB ? 0
1 1 1

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

1

C

? 在两直线上各取点C , A,? C A ? (1,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

2、如图,四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直, 且AB=BC=2,点E是AC中点;异面直线AD与BE所成 角为 ?
10 ,且 cos ? ? ,求四面体DABC的体积。 10

z

D

B

A

y
C
E

x

3、在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的 长度保持相等,记CM=BN= a(0 ? a ? 2).
(1)求MN的长; (2)a 为何值时?MN的长最小? (3)当MN的长最小时, 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D

C

M

B
N

E

F

4、如图6,在棱长为 a 的正方体OABC ? O' A' B' C ' 中,

分别是棱 A' F ? AB,BC C ' E 上的动点,且 AE ? BF 。 ( 1)求证: ; E、 F
(2)当三棱锥 B'? BEF 的体积取最大值时,求二 B'? EF ? B 面角 的正切值。

C’ A’

B’

O’

C F O
图6

E A

B

5、如图,平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,底面ABCD是边长 为a的正方形,侧棱 AA? 的长为b ,且 ?A?AB ? ?A?AD ? 1200. 求(1)AC ? 的长; (2)直线 BD?与AC夹角的余弦值。

D?

C?

A?
D A

B?

C B


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