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22.第二十二讲:空间线线、线面、面面之间的位置关系


第二十二讲
一、引言

空间线线、线面、 空间线线、线面、面面之间的位置关系

(一)本节的地位:空间线线、线面、面面之间的位置关系,特别是平行与垂直的位置 关系,是立体几何中的重要内容,也是我们继续研究空间角和空间距离的基础,是高考的重 点考查方向 (二)考纲要求:了解平面公理及推论;掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理, 两

个平面平行的判定定理和性质定理; 掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理; 掌握两 个平面垂直的判定定理和性质定理. (三)考情分析:本讲内容在高考中,主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系 的判定及其性质,题型以选择题为主,解答题极有可能在第一个小问题中出现,主要考查空 间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力.

二、考点梳理
1.空间两条直线的位置关系有且只有三种: (1)相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点; (2)平行直线:在同一平面内,没有公共点; (3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. .. 2.直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

该定理可用符号表示为: a ? α , b ? α , 且 a // b ? a // α . 定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明. 正 确理解和应用定理,应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行. 3.平面与平面平行的判定 平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 该定理可用符号表示为: a ? β , b ? β , a ∩ b = P, a // α , b // α ? β // α .

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定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明. 利用此 判定定理证明两个平面平行,必须同时具备以下两个条件: (1)一个平面内有两条直线平行 于另一个平面; (2)这两条直线必须相交. 4.直线与平面平行的性质 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 该定理可用符号表示为: a // α , a ? β , α ∩ β = b ? a // b .

此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法. 利用此定理证明两条直线平行时, 必 须同时满足以下三个条件: (1)直线 a 和平面 α 平行; (2)平面 α 和平面 β 相交于直线 b ; (3)直线 a 在平面 β 内. 5.平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 该定理可用符号表示为: α // β , α ∩ γ = a, β ∩ γ = b ? a // b .

此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行. 我们可以看到, 通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行; 通过直线与平面平行可

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以判定平面与平面平行;而由直线与平面平行的性质定理,可以得出直线与直线平行;由平 面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、 直线与直线平行. 这揭示出直线 与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化. 6.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 该定理可用符号表示为: a ? α , b ? α , a ∩ b = P, l ⊥ a, l ⊥ b ? l ⊥ α .

定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明. 利用此 判定定理证明直线与平面垂直,必须同时具备以下两个条件: (1)平面内有两条直线垂直于 已知直线; (2)这两条直线必须相交. 7.两个平面的垂直及判定 两个平面相交,如果它们所成的二面角为直二面角,就说这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理: 一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 8.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 这个定理告诉我们, 可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行, 同时也揭示了 “平行”与“垂直”之间的内在联系. 9.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明. 利用此 定理证明直线与平面垂直,必须同时具备以下三个条件: (1)两个平面互相垂直; (2)直线 在其中一个平面内; (3)直线与交线垂直.

三、典型例题选讲 典型例题选讲
例 1 (2007 辽宁)若 m,n 是两条不同的直线, α,β,γ 是三个不同的平面,则下 列命题中的真命题是( )

A.若 m ? β,α ⊥ β ,则 m ⊥ α B.若 α ∩ γ = m , β ∩ γ = n , m // n ,则 α // β C.若 m ⊥ β , m // α ,则 α ⊥ β D.若 α ⊥ γ , α ⊥ β ,则 β ⊥ γ

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解析:选项 A ,直线 m 与平面 α 的位置关系各种可能都有;选项 B ,平面 α 与平面 β 也可能相交; 选项 C , m // α , m 作平面 γ 交平面 α 于 m′ , m / / m′ . ∵ 过 则 又因为 m ⊥ β , 所以 m′ ⊥ β .由面面垂直的判定定理可知, a ⊥ β ;选项 D ,平面 β 与 γ 也可能相交或平 行. 故正确选项为 C. 归纳小结: 本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系. 提高空间想象能力 归纳小结: 和逻辑推理能力是问题解决的关键,同时,要注意培养思维的完备性和严谨性,既要考虑特 殊情况,也要考虑一般结论,切不可以偏概全. 如图, 在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 、F 分别是 AB1 、BC1 例 2 (2007 湖南) 的中点,则以下结论中不成立的是( A. EF 与 BB1 垂直 B. EF 与 BD 垂直 C. EF 与 CD 异面 D. EF 与 A1C1 异面 )

解析:连结 B1C ,则 B1C 与 BC1 相交于点 F .

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∵ E 、 F 分别是 AB1 、 CB1 的中点,∴ EF ∥ AC . 又 BB1 ⊥ AC ,∴ BB1 ⊥ EF .∴ A 成立. 又 BD ⊥ AC , EF ∥ AC ,∴ BD ⊥ EF .∴ B 成立. 观察图形易知 C 成立. ∵ EF // AC , A1C1 // AC ,∴ EF // A1C1 .故 D 不成立. 正确选项为 D. 归纳小结: 归纳小结:为了分析和解决问题,常常要添加辅助线.在立体几何中,出现中点时,我 们经常要利用特殊四边形的性质,构造对角线交点,进而得到三角形中位线,来证明直线与 直线的平行关系.在本题中,对于正四棱柱概念的理解是基础,矩形对角线互相平分的性质 是关键,合理构造,适当转化,问题便很容易得到解决. 例 3 在正四面体 P ? ABC 中, D , E , F 分别是 AB , BC , CA 的中点,下面四 个结论中不成立的是( ) ...

A . BC // 平面 PDF C . 平面 PDF ⊥ 平面 ABC 答案: 答案: C .

B . DF ⊥ 平面 PAE D . 平面 PAE ⊥ 平面 ABC

分析: 因为 D 、F 分别是 AB 、CA 的中点, 所以 BC // DF , 又因为 BC ? 平面 PDF , 分析: DF ? 平面 PDF ,由直线与平面平行的判定定理知选项 A 正确.因为 P ? ABC 是正四面 体, E 是 BC 的中点,所以 PE ⊥ BC , AE ⊥ BC ,又因为 PE ∩ AE = E ,由直线与平面垂 直的判定定理得 BC ⊥ 平面 PAE . 因为 BC // DF , 所以 DF ⊥ 平面 PAE . 选项 B 正确. 因 为 BC ⊥ 平面 PAE , BC ? 平面 ABC ,由平面与平面垂直的判定定理得平面 PAE ⊥ 平面 ABC ,故选项 D 正确.根据已知条件,不能得到平面 PDF ⊥ 平面 ABC ,故符合要求的 选项为 C . 归纳小结:本题主要考查直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,以及平面与 归纳小结: 平面垂直的判定. 准确理解相关概念和判定定理是问题解决的关键, 另外要注意培养和不断 提高空间想象能力,认真体会由线线平行证明线面平行,由线线垂直证明线面垂直,由线面 垂直证明面面垂直的过程,体会普遍联系和相互转化的观点. 例 4 (2008 北京)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC = BC = 2 , ∠ACB = 90° , AP = BP = AB ,
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PC ⊥ AC .求证: PC ⊥ AB .
分析: 分析:线线垂直的证明,我们往往可以转化为线面垂直的证明.

证法一: 证法一:取 AB 中点 D ,连结 PD,CD .

∵ AP = BP ,∴ PD ⊥ AB . ∵ AC = BC ,∴ CD ⊥ AB . ∵ PD ∩ CD = D ,∴ AB ⊥ 平面 PCD . ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ PC ⊥ AB . 证法二: 证法二:∵ AC = BC , AP = BP ,∴ △ APC ≌△BPC . 又∵ PC ⊥ AC ,∴ PC ⊥ BC . ∵ AC ∩ BC = C ,∴ PC ⊥ 平面 ABC . ∵ AB ? 平面 ABC , ∴ PC ⊥ AB .
归纳小结: 归纳小结:本题主要考查线线垂直、线面垂直,以及相互转化.充分利用已知条件和平 面几何知识,适当构造辅助线,是问题得以解决的关键.在等腰三角形中,构造底边中点证 明垂直是常用的方法. 值得指出的是,在平时的学习中,一题多解,既能灵活应用所学知 识解决问题,又能增强对知识的理解,也有助于能力提高和创新思维意识的培养,我们要有 意识的加强这方面的练习. 例 5 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,点 E 是 PD 的中点.求证: PB // 平面 AEC .

分析: 分析:要证 PB // 平面 AEC ,需要证明 PB 和平面 AEC 内的一条直线平行. 证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO . 证明:

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因为 ABCD 是平行四边形,所以 OB = OD . 又因为点 E 是 PD 的中点,所以 EO 是△ PBD 的中位线,则 EO // PB . 因为 PB ? 平面 AEC , EO ? 平面 AEC , 由直线与平面平行的判定定理得 PB // 平面 AEC . 归纳小结: 本题考查直线与平面平行的证明. 解决这类问题的关键是充分利用已知条件, 归纳小结: 在平面内确定(或构造)一条与已知直线平行的直线,把空间中直线与平面平行关系的证明 转化为平面中直线与直线平行关系的证明.其中,构造三角形中位线(特别是出现中点或特 殊四边形, 如平行四边形, 菱形, 长方形,正方形等时)是证明直线与直线平行的常用方法. 例 6 如图, a, b 是异面直线, a ? α , a // β , b ? β , b // α ,求证: α // β .

分析: 分析:要证明 α // β ,需要证明平面 β (或 α )内有两条相交的直线与平面 α (或 β ) 平行.其中一条平行线是已知条件,另一条平行线的构造则需要直线与平面平行的性质. 证明: 证明:如图,设 P 为 b 上任意一点,则 a 与 P 确定一个平面,记为 γ ,设 β 与 γ 相交 于c.

因为 a // β , a ? γ , β ∩ γ = c ,所以 a // c . 又因为 c ? β , c ? α ,所以 c // α . 因为 b // α ,
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又因为 c 与 b 有公共点 P ,且 c 与 b 不重合(否则 a // b ,与已知矛盾) ,即 c 与 b 相交, 由平面与平面平行的判定定理得 α // β . 归纳小结: 本题考查平面与平面平行的证明, 需要证明其中一个平面内有两条相交直线 归纳小结: 与另一个平面平行, 问题的关键是由已知直线与平面平行, 利用直线与平面平行的性质定理 构造一条平行线. 直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行, 直 线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行. 直线与平面的位置关系 与直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的数学思想方法. 例 7 (2009 江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的 中点,点 D 在 B1C1 上, A1 D ⊥ B1C . 求证: (1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A1 FD ⊥平面 BB1C1C .

分析: 线面平行的证明可以转化为线线平行的证明, 面面垂直的证明可以转化为线面垂 分析: 直的证明. 证明: (1)因为 E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的中点,所以 EF ∥ BC . 证明: 因为 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 EF ∥平面 ABC . (2)由三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱知 CC1 ⊥平面 A1 B1C1 . 因为 A1 D ? 平面 A1 B1C1 ,故 CC1 ⊥ A1 D . 又因为 A1 D ⊥ B1C , CC1 ∩ B1C = C , CC1 、 B1C ? 平面 BB1C1C ,所以 A1 D ⊥平面

BB1C1C , 又 A1 D ? 平面 A1 FD ,所以平面 A1 FD ⊥平面 BB1C1C .
归纳小结:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、 归纳小结: 推理论证能力. 在证明的过程中, 要注意规范书写, 注意细节, 养成严谨思维和表达的习惯. 例 如,证明线面平行,一定要注意是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行;而面面垂直 需要满足一个平面经过另一个平面的一条垂线,垂线在面内.

四、本专题总结
本专题研究的主要问题是直线与平面、平面与平面平行的判定与性质,直线与平面、平 面与平面垂直的判定与性质.本部分内容的学习,要注意以下的数学思想与方法:转化的思 想方法( 位置关系的转化;空间问题向平面问题的转化等) ;分类讨论的思想方法;运动变 化的思想方法; 函数与方程的思想方法. 本专题学习中需要注意的问题: 1.本专题内容,概念、判定定理与性质定理较多,要深刻理解,才能灵活应用.
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2.应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程,熟练掌握转化条 件. 3.作辅助线或辅助面时,要注意以下两点:第一,辅助线,辅助面不能随意作,要有 理论根据;第二,辅助线,辅助面有什么性质,一定要以某一性质定理为依据,绝不能凭主 观臆断,否则谬误难免. 4.在线面垂直和面面垂直的判定定理中,有一些非常重要的限制条件,如“两条相交 直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等,这既为证明指明了方向,同时又有很强 的制约性,使用这些定理时,一定要注意逻辑推理能力的规范性. 5.立体几何的学习,对计算和推理能力,特别是空间想象能力有较高的要求,我们要 在平时的学习中加强这方面的练习.

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