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高一数学-徐州市2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.全集 U 是实数集,集合 A ? { x 2 ? x ? 5}, 则 C U A ? 2.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( ,8) ,则 f ( ?2) ? . .

1 2

? x 2 ? 1, x ? 1 3.已知 f (

x ) ? ? , 则 f [ f (10)] ? ?lg x ,  x ? 1,
4.函数 f ( x ) ? ln(1 ? 2 x ) 的单调区间是 .



5.已知集合 A ? {?1,3,2m ? 1}, 集合 B ? {3, m } ,若 B ? A, 则实数 m ? 6.函数 f ( x ) ? ax 3 ? 7.已知 f (



b , 若 f ( ?2) ? 1, 则 f ( 2) ? x
.



x ? 1) ? 2 x ? 3, 则 f (4) ? 2

8.若函数 y ? 2 x ?1 ? m 的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是 9. 若方程 2 x ? x ? 5 ? 0 在区间 ( n, n ? 1) 上的实数根, 其中 n 为正整数, 则 n 的值为 10.已知 a ? log 0.7 0.9, b ? log11 0.9, c ? 1.10.9 , 则这三个数从小到大排列为 接) 11.若函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)(a ? 0, 且 a ? 1 )在区间 [0,2] 上的最大值与最小值之和 为 a 2 ,则 a 的值为 . .

.(用“ ? ”连

? g( x ), f ( x ) ? g( x ), 12 .设 f ( x) ? 1 ? 2 x 2 , g( x) ? x 2 ? 2 x, 若 F ( x ) ? ? ,则 F ( x ) 的最大值 ? f ( x ), f ( x ) ? g( x ),
为 .

13.若直线 y ? 2a 与函数 y ? a x ? 1 (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围 是 .

14.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 ? 4, f (0) ? f ( 2) ? ?3, 且 y ? f ( x ) 在区间 [3a , a ? 1] 上 单调,则 a 的取值范围是 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) .

1

2 (1)计算 lg 8 ? lg 25 ? 3 2 log 3 5 ? 16 4 的值; 3
(2)已知 a ? a ?1 ? 5, 求 a 2 ? a ?2 和 a 2 ? a
1 ? 1 2

3

的值.

16. (本小题满分 14 分) 记函数 f ( x) ? lg(3 ? x) ?

x ? 1 的定义域为集合 A, 函数 g( x ) ? 2 x ? a 的值域为集合 B .

(1)若 a ? 2, 求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 A ? B ? B , 求 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? (0,??) 时的解析式为 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 x ? 3. (1 求这个函数在 R 上的解析式; (2)作出 f ( x ) 的图象,并根据图象直接写出函数 f ( x ) 的单调区间.

y

O

x

2

18. (本小题满分 16 分) 提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况, 在一般情况下, 隧道内的车流速度 v (单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米,车流密度指每千米道路上车辆的数量)的 函数.当隧道内的车流密度达到 210 辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密 度不超过 30 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 30 ? x ? 210 时,车流速 度 v 是车流密度的一次函数. (1)当 0 ? x ? 210 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值.

19. (本小题满分 16 分) 4 (a ? 0, 且 a ? 1 ) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? ,是定义在 ( ??,??) 上的奇函数. x 2a ? a (1 求 a 的值; (2 求函数 f ( x ) 的值域; (3 当 x ? (0,1] 时, tf ( x ) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围.

3

20.(本小题满分 16 分)

2x ( x ? 0). x ?1 (1 求证:函数 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数;
已知函数 f ( x ) ? (2 设 g( x ) ? log 2 f ( x ), 求 g ( x ) 的值域; (3 对于(2)中函数 g ( x ) ,若关于 x 的方程 g( x ) ? m g( x ) ? 2m ? 3 ? 0 有三个不同的实 数解,求 m 的取值范围.
2

21. (本小题满分 16 分) 若在定义域内存在实数 x0 , 使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数有 “飘移点”x0 . (1)函数 f ? x ? ?

1 是否有“飘移点”?请说明理由; x
2 x

1? 上有“飘移点” (2)证明函数 f ? x ? ? x ? 2 在 ? 0, ;
(3)若函数 f ? x ? ? lg ?

? a ? ,求实数 a 的取值范围. ? 在 ? 0, ?? ? 上有“飘移点” 2 ? x ?1?

4

高一数学试题参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (??,2] ? (5,??) 2. ? 7. 23 8. (??,?2]

1 8

3. 2

4. (?? , )

1 2

5. ?1 11.

6. ?1

9. 1

10. b ? a ? c

1 3

12.

7 9

13.

1 (0, ) 2

14. (??, ?2] ? [? , 0] ? [ , ) 说明:端点-2,-

1 3

1 1 3 2

1 1 , 可开可闭 3 3

二、解答题: 15.解: (1)原式 =2lg 2 ? 2lg5 ? 25 ? 8 ? 2lg10 ?17 ? ?15 (2) a
2

……………………6 分

? a?2 ? (a ? a?1 )2 ? 2 ? 23
1 2
1 2

………………………………10 分 …………………………12 分 …………………………14 分 …………………2 分

∵ (a
1

? a ) ? a ? a ?1 ? 2 ? 7
? 0 得 a2 ? a
1 ? 1 2

?

1 2 2

∴由 a 2

?a

?

? 7

16.解: (1)由 ?

?3 ? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? [1,3). ?x ? 1 ? 0

若 a ? 2, 则 B ? (2,??) 所以, A ? B ? (2,3).A ? B ? [1,??). (2) A ? [1,3). B ? (a,??)

……………………………………4 分 ……………………………………8 分 ……………………………………10 分 ……………………………………12 分 …………………… …………14 分

? A ? B ? B,? A ? B ,
? a ? 1 ,则 a 的取值范围是 (??,1).

17. 解:(1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x) ? 4(? x) ? 3] ? x ? 4x ? 3
2 2

即 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ? 3
2

……………………………5 分 ……………………………6 分 …………………………7 分

当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0

?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 0, ?? x ? 0 . 所以 f ( x) ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3,?? x ? 0 ?

5

(2)作出 f ( x ) 的图象(如图所示)

…………………12 分 (注: f (0) ? 0 的点或两空心点不标注扣 1 分,不要重复扣分) 减区间: (??,?2) 和 (2,??) . 18. 解: (Ⅰ)由题意知,当 0 ? x ? 30 时, v( x) ? 60 ; 当 30 ? x ? 210 时,设 …………………14 分

v( x) ? ax ? b,

……………………2 分

1 ? ?30a ? b ? 60 ?a ? ? 由已知可得 ? , 解得 ? 3. ?210a ? b ? 0 ? ?b ? 70 ?60,0 ? x ? 30 ? 所以函数 v( x) ? ? 1 . ? x ? 70 , 30 ? x ? 210 ? ? 3 ?60x,0 ? x ? 30 ? (2)由(1)可知 f ( x) ? ? 1 2 ? x ? 70x,30 ? x ? 210 ? ? 3
当 0 ? x ? 30 时, f ( x) ? 60x x 为增函数,∴当 x ? 30 时,其最大值为 1800.10 分 当 30 ? x ? 210 时, f ( x) ? ?

………………6 分

1 2 1 x ? 70 x ? ? ( x ? 105 ) 2 ? 3675 3 3
……………………………14 分 ……16 分

当 x ? 105 时,其最大值为 3675.

综上,当车流密度为 105 辆/千米时,车流量最大,最大值为 3675 辆. 19.解: (1)因为 f ( x ) 是定义在 (??, ??) 上的奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x). 令 x ? 0 ,得 f (0) ? 1 ?

4 ? 0, 所以 a ? 2. 2 ? a0 ? a

……………………………3 分

(2)记 y ? f ( x), 即 y ?

2x ?1 1? y , 所以 2 x ? , x 2 ?1 1? y
6

由 2 x ? 0, 所以

1? y ? 0, ?1 ? y ? 1. 1? y
……………………………9 分

所以 f ( x ) 的值域为 (?1,1). (3)原不等式 tf ( x) ? 2x ? 2 即为
x

t 2x ? t ? 2 x ? 2, 即 (2x )2 ? (t ? 1)2x ? t ? 2 ? 0. ……10 分 x 2 ?1

设 2 ? u ,因为 x ? (0,1], 所以 u ? (1, 2]. 即当 u ? (1, 2]. u 2 ? (t ? 1)u ? t ? 2 ? 0 恒成立. 所以 ?
2 ? ?1 ? (t ? 1) ?1 ? t ? 2 ? 0, 解之得 t ? 0 . 2 2 ? ( t ? 1) ? 2 ? t ? 2 ? 0, ? ?

……………………………16 分

20. (1) f ( x ) ?

2x 2 ? 2? ,设 x1 , x2 是 (0, ??) 上的任意两个数,且 x1 ? x2 ,2 分 x ?1 x ?1

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 ?

2( x1 ? x2 ) 2 2 2 2 ……4 分 ) ? (2 ? )?? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x1 ? x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
…………………………6 分

因为 x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ,∴

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, (2) f ( x ) ?

2x 2 ? 2? , x ?1 x ?1 2 ? 2, x ?1
………………………………8 分

因为 x ? 0 ,所以 x ? 1 ? 1 ,所以 0 ? 即 0 ? f ( x) ? 2

又因为 x ? 0 时, f ( x ) 单调递增, y ? log2 t 单调递增, 所以 y ? log2 f ( x) 单调递增,所以 g ( x) 值域为 (??,1) (3)由(2)可知 y ? g ( x) 大致图象如右图所示, …………………………10 分

x) 设 g ( x) ? t , 则 g(
2

2

? mg x () 2 m ? 3 ?0 ?

有三个不同的实数

y

解,即为 t ? mt ? 2m ? 3 ? 0 有两个根,且一个在 (0,1) 上,一个 在 [1, ??) 上,设 h(t ) ? t ? mt ? 2m ? 3
2

………12 分

1

①当有一个根为 1 时,

1 4 h(1) ? 12 ? m ? 2m ? 3 ? 0 , m ? ? ,此时另一根为 适合题 3 3
7

O

1

x

意; ………………13 分 ②当没有根为 1 时, ? ∴ m 的取值范围为 ( ?

?2m ? 3 ? 0 ?h(0) ? 0 3 4 ,得 ? 2 ,∴ ? ? m ? ? 2 3 ?h(1) ? 0 ?1 ? m ? 2m ? 3 ? 0
3 4 ,? ] 2 3
…………………………16 分

21. 20.(1)假设函数 f ( x) ?

1 1 1 有“飘移点” x0 ,则 ? ? 1 即 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 由此 x0 ? 1 x0 x
1 没有飘移点。 x
?????? (4 分)

方程无实根,矛盾,所以函数 f ( x) ?

(2)令 h( x) ? f ( x ?1) ? f ( x) ? f (1) ? 2(2 x?1 ? x ?1) 又 h(0) ? ?1, h(1) ? 2,? h(0)h(1) ? 0

即函数f ( x)=2 ? x 有“飘移点”???9 分 所以 h( x)=0在 ? 0,1? 上至少有一实根x0 ,
x 2

(3) 若f ( x)=1g ?

? a ? ? 在 ? 0, ?? ? 上有飘移点 x0 ,即有 2 ? x ?1?
a
2

1g

? a ? a a a a ? 1g ? 2 ? 2 ? ? ? 1g 成立,即 2 2 2 ? x0 ? 1? ? 1 ? x0 ? 1 ? ? x0 ? 1? ? 1 x0 ? 1 2
2

整理得 ? 2 ? a ? x0 ? 2ax0 ? 2 ? 2a ? 0 ,从而关于 x的方程

g ( x) ? (2 ? a) x2 ? 2ax ? 2 ? 2a ? 0 在 (0, ??) 上应有实数根 x0 ,
1 ,不符合要求 x0 ? 0 , 2 a ? 0, 当 0 ? a ? 2 时,由于函数 g ( x) 的对称轴 x ? 2?a
当 a ? 2 时,方程的根为 ? 可知,只需要 4a ? 4(2 ? a)(2 ? 2a) ? 0
2

所以 3 ? 5 ? a ? 3 ? 5 ,从而 3 ? 5 ? a ? 2 当 a ? 2 时,由于函数 g ( x) 的图像开口向下,对称轴 x ? 时方程无正根 综上,所以 a 的取值范围是 3 ? 5 ? a ? 2 ?????????16 分

a ? 0 ,纵截距 2 ? 2a ? 0 ,此 2?a

8


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