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3.4基本不等式(王老师)


§ 3.4 基本不等式: (一)

a?b ab ? 2

一、新课引入

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的 会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的"弦图 "设计的.你能在这个图中找出一些相等关系或 不等关系吗?

S正方形ABCD ? a ? b
2

“风

车”中有哪些相等 关系和不等关系? 1 S 直角三角形 ? ab 2
2

a ? b ? 2ab
2 2

S正方形ABCD ? 4S直角三角形

证明推导1: D

a A E(FGH) b C

B

不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有

a ? b ? 2ab 当且仅当a=b时,等号成立。
2 2

如果a>0,b>0 ,用 a, b 分别代替a,b. 我们将得到什么结果?

a?b ? ab 2
算术平均数

(a ? 0, b ? 0)

几何平均数

二、新课讲解
基本不等式 :
(1)a ? b ? 2ab(a, b ? ____);
2 2

a?b (2) ? ab (a, b ? ____). 2

(分析法证明不等式)
D

如图, AB是圆的直径, 点C是AB 上一点, AC ? a, BC ? b.过点C作 垂直于AB的弦DE , 连接AD, BD A .试用这个图形, 得出不等式(2) 的几何解释 ?

a

a?b 2
O C

ab

b

B

E

二、新课讲解
a?b 基本不等式 : ab ? 的应用 : 2 例1.解决以下问题 :
(1)用篱笆围一个面积为100m 的矩形菜园,问 这个矩形的长,宽各为多少时,所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少 ?
2

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问 这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大 .最大面积是多少 ?

二、新课讲解
练1.解决以下问题 :
(1)已知直角三角形的面积等于50,两条直角边 各为多少时,两条直角边的和最小,最小值是多 少?

(2)用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形, 应当怎样折? ( )做一个体积为32m ,高为2m的长方体纸盒 3 ,底面的长与宽取什么值时用纸最少?
3

引例.解决以下问题 :
(1)面积为36cm 的矩形中, 哪个矩形的周长最小?
2

(2)周长为36cm的矩形中, 哪个矩形的面积最大? 重要结论( x, y都是正数) :
(1)若积xy是定值P, 则当且仅当 ____ 时, 和x ? y有最 ____ 值 ____; (2)若和x ? y是定值S , 则当且仅当 ____ 时, 积xy有最 ____ 值 ____ .

二、新课讲解
以上结论成立的条件 : (一正, 二定, 三相等)
(1) x与y都必须是正数; (2) x与y的积或和必须是常数(定值); (3)等号成立的条件必须存在.

例1.判断以下解题过程的正误 :
1 (1)已知x ? 0, 求x ? 的最值; x 1 1 解 : x ? ? 2 x ? ? 2,? 原式有最小值2. x x

?

二、新课讲解
1 2 (2)已知x ? 时, 求x ? 1的最小值; 2 2 2 2 解 : x ? 1 ? 2 x ?1 ? 2 x,当且仅当x ? 1 2 即x ? 1时, x ? 1有最小值2 x ? 2.

? ?

4 (3)已知x ? 3, 求x ? 的最小值. x 4 4 解 : x ? ? 2 x ? ? 4,? 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x ? , 即x ? 2时, 等号成立. x

二、新课讲解
练1.下列函数的最小值为2的是 ____ :
1 A. y ? x ? x
C. y ? x ? 2 ?
2

1 ? B. y ? sin x ? (0 ? x ? ) sin x 2
1 x2 ? 2

1 ? D. y ? tan x ? (0 ? x ? ) tan x 2

练2.求以下问题中的最值 :
9 (1)若a ? 0, 则当a ? ____ 时,4a ? 有最小值 ____; a

(2)正数x, y满足x ? y ? 20, lg x ? lg y的最大值 ____;

二、新课讲解
(3) x, y都为正数, 且2 x ? y ? 2, xy的最大值是 ____ .

例2.求以下问题中的最值 :
4 (1)设x ? 1, x ? 1 ? 的最小值是 ____; x ?1 4 变式(1).设x ? 1, x ? 的最小值是 ____ . x ?1

(2)设0 ? x ? 1, 则函数y ? x(1 ? x)的最大值是 ____;
1 变式(2).设0 ? x ? , y ? x(1 ? 2 x)最大值是 ____ . 2

三、总结作业


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