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排列组合与二项式定理


排列、组合与二项式定理
16.1 加法原理和乘法原理 1、加法原理 问题:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有 3 班,汽车有 2 班, 那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?

加法原理:完成一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有

m2 种不同的方

法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有
N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。

2、乘法原理 问题:从甲地到乙地有 3 条道路,从乙地到丙地有 2 条道路,问:某人从甲地经过乙地 到丙地有多少种不同的走法?

乘法原理:完成一件事需要 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方 法,……,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同 的方法。

例 1:书架上放有 3 本不同的数学书, 5 本不同的语文书, 6 本不同的英语书。 (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同科目的书两本,有多少种不同的取法?

解:(1) 3 ? 5 ? 6 ? 14 。 (2) 3 ? 5 ? 6 ? 90 。 (3) 3 ? 5 ? 3 ? 6 ? 5 ? 6 ? 63 。

例 2: (1)由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数? (2)由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数? (3)由数字 0,1,2,3,4,5 组成的三位整数中,有且只有两位数字相同(如 114、 303、255 等)的数有多少个?

解:(1) N ? 5 ? 5 ? 5 ? 125 。 (2) N ? 5 ? 6 ? 6 ? 180 。 (3) N ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 75 。 另解: N ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 5 ? 5 ? 4 ? 75 。

课堂练习 1、4 名同学报名参加篮球、射击、游泳三个活动小组,每人限报一项,则不同的报名情况 共有多少种?

2、4 名运动员争夺 3 项冠军,则冠军获得者的可能情况有多少种?

3、用红、黄、蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号,每次可以挂 1 面、2 面或 3 面,并且 不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?

4、 540 ( 540 ? 2 ? 3 ? 5 )的不同正约数共有多少个?
2 3

5、在 300 和 800 之间,有多少个无重复数字的奇数?

6、某小组有 10 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 8 人会英语,5 人会日语,从中 选出 2 人,一人去当英语翻译,另一人去当日语翻译,有多少种不同的选法?

解:1、分 4 步: 3 ? 81
4

2、分 3 步: 4 ? 64
3

3、先分类,再分步 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 15 4、分 3 步: 3 ? 4 ? 2 ? 24 5、先分类,再分步: 3 ? 4 ? 8 ? 2 ? 5 ? 8 ? 176 6、分两类: 5 ? 5 ? 3 ? 4 ? 37

课后作业 1、要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法? 2、将四封信投入到三个邮筒中,有多少种不同的投递方式? 3、在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的共有多少个? 4、用数字 0、1、2、3 可以组成多少个无重复数字的自然数? 5、 满足 A ∪ B ={1,2,3}的集合 A 、 B 共有多少组? 6、如下图,共有多少个不同的三角形?

7、4 名同学各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则不 同的分配方式共有多少种? 8、矩形的两条对角线把矩形分成 4 个部分,用 4 种不同颜色给这 4 个部分涂色,要求每个 部分只涂一种颜色,且有公共边的相邻部分颜色不同,则共有多少种不同的涂法?

解:1、6;

2、81;

3、45;

4、49;

5、9;

6、35;

7、27;

8、84

16.2 排列 1、排列的概念 问题: (1)从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加 上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? (2)从 a, b, c, d 这四个字母中,每次取出 3 个按顺序排成一列,共有多少种不同的排 法?

从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个不同元素,按照一定的顺序 排成一列,叫做 ..... 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 。 ....

2、排列数的定义: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个不同元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素 中取出 m 元素的排列数,用符号 Pnm 表示。 注意区别排列和排列数的不同:“排列”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素按照 一定的顺序 排成的一列元素;“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元 ..... 素的所有排列的个数。

m 3、排列数公式及其推导: P n ? n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m ? 1) 。

n 4、全排列数: P n ? n(n ? 1)(n ? 2) ??? 2 ? 1 ? n! ,叫做 n 的阶乘。

规定 0! ? 1 。

5、排列数的另一个计算公式:

Pnm ? n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m ? 1)
n! (n ? m)!


?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)(n ? m)?3 ? 2 ?1 (n ? m)(n ? m ? 1)?3 ? 2 ?1

?

Pnm =

n! 。 (n ? m)!

例 1、计算:①

8!? P66 ; 4 P82 ? P 10



(m ? 1)! 。 P (m ? n)!
n ?1 m ?1

解:①原式

?

8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 57 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 5130 ?? = ; 8 ? 7 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 56 ? (?89) 623

②原式 ?

(m ? 1)! ?1。 (m ? 1)! (m ? n)! (m ? n)!

3 2 2 例 2、解方程:3 P x ? 2P x ?1 ? 6P x 。

解: x ? 5 。

x x ?2 例 3、解不等式: P 。 9 ? 6P 9

解: ?2,3, 4,5,6,7? 。

n m n ?m 例 4、求证:(1) P n ? P n ?P n ?m ;

(2)

(2n)! ? 1? 3 ? 5? (2n ? 1) 。 2n ? n !

证明:(1) Pn ? Pn ? m ?
m

n?m

n! (n ? m)! ? n ! ? Pnn ,∴原式成立。 (n ? m)!

(2)

(2n)! 2n ? (2n ? 1) ? (2n ? 2) ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 2n ? n ! 2n ? n !

?
?
∴原式成立。

2n n ? (n ? 1)? 2 ?1? (2n ? 1)(2n ? 3)?3 ?1 2n ? n !

n !?1 ? 3? (2n ? 3)(2n ? 1) ? 1? 3 ? 5?(2n ? 1) ? 右边 n!

例 5、化简:⑴

1 2 3 n ?1 ? ? ?? ? ; 2! 3! 4! n!

⑵ 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! 。

解:⑴原式 ? 1!?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 1? ; n! 2! 2! 3! 3! 4! (n ? 1)! n!

⑵提示:由 ? n ? 1?! ? ? n ? 1? n! ? n ? n!? n! ,得 n ? n! ? ? n ? 1?!? n! , 原式 ? ? n ? 1?!?1 。

例 6、(1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的 送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?

解:(1)60;

(2)125。

例 7、某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?

1 2 3 解: P 3 ?P 3 ?P 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 15 。

例 8、将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?

4 4 解: N ? P 4 ?P 4 ? 576 (种)

例 9、用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?

1 2 解法 1:用加法原理: P 9 ?P 9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648 。 3 2 2 解法 2:符合条件的三位数可以分成三类: P 9 ?P 9 ?P 9 ? 648 。 3 解法 3:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 P 10 ,其中以 0 为排头的排列 2 3 2 2 数为 P 9 ,因此符合条件的三位数的个数是 P 10 ? P 9 ? 648 - P 9 。

例 10、(1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? (2)7 位同学站成两排(前 3 后 4),共有多少种不同的排法? (3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?

7 解:(1)解:7 个元素的全排列 P 7 =5040。

(2)解:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040。
6 (3)解:余下的 6 个元素的全排列—— P 6 =720。 2 5 (4)解: P 2 P 5 =240。 2 5 (5)解法 1: P 5 P 5 =2400; 7 6 5 解法 2: P 7 - 2P 6 +P 5 =2400 种。

例 11、 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定 不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?

1 5 解法一:(从特殊位置考虑) P 9P 9 ? 136080 ; 5 6 5 6 解法二: (从特殊元素考虑)若选:5 ? P 9 ;若不选: P 9 ,则共有 5 ? P 9 ?P 9 ? 136080 种; 6 5 解法三:(间接法) P 10 ? P 9 ? 136080 。

例 12、 7 位同学站成一排。 (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? (3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起。

6 2 解:(1) p6 ?P 2 ? 1440 ; 5 3 (2) P 5 P 3 =720;

2 4 2 6 5 2 1 5 2 (3) P 5 P 4 P 2 =960,[ ( P 6 ? 2P 5 )? P 2 ? 960 ],[ P 4P 5 P 2 =960]; 3 4 2 (4) P 3 P 4 P 2 ? 288 。

例 13、7 位同学站成一排。 (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?

7 6 2 解:(1)解法一:(排除法) P 7 ?P 6 ?P 2 ? 3600 ; 5 2 解法二:(插空法) P 5 P 6 ? 3600 。 4 3 (2) P 4 P 5 =1440 种。

例 14、5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法: (1)男女相间;(2)女生按指定顺序排列
王新敞
奎屯 新疆

5 5 解:(1) N ? 2P 5 ?P 5 ? 28800 ;

(2)方法 1: N ?

10 P 5 10 ?P 10 ? 30240 ; 5 P5

5 方法 2: N ? P 10 ? 1 ? 30240 (种)

练习: 1、9 位同学排成三排,每排 3 人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的排法种数共 有多少?

2、用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的四位数。 (1)有多少个奇数;(2)有多少个大于 2500 的数。

3、一天的课表有 6 节课,其中上午 4 节,下午 2 节,要排语文、数学、外语、微机、体育、 地理六节课,要求上午不排体育,数学必须排在上午,微机必须排在下午,共有多少种不同 的排法?

4、 由数字 0,1,2,3,4,(1)可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数? (2)2 不在千位,且 4 不在十位的五位数有多少个?

5、3 女 4 男共七个学生排队,在下列情况下,不同的排法有几种? (1)正副组长必须在两端; (2)某人不在中间,也不在两端; (3)甲不在左端,乙不在右端; (4)甲在中间五个位置.乙在右端以外六个位置; (5)3 个女生要排在一起; (6)3 个女生互不相邻; (7)男女间隔排列; (8)甲,乙,丙次序一定; (9)男生次序一定,女生次序也一定; (10)甲乙两人中间必须间隔三人。

6、一天课表中,6 节课要安排 3 门理科,3 门文科,要使文、理科间排,不同的排课方法有 种;要使 3 门理科的数学与物理连排,化学不得与数学、物理连排,不同的排课方法有多少 种?

7、某商场中有 10 个展架排成一排,展示 10 台不同的电视机,其中甲厂 5 台,乙厂 3 台, 丙厂 2 台, 若要求同厂的产品分别集中, 且甲厂产品不放两端, 则不同的陈列方式有多少种?

8、用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数。 (1)三个偶数字连在一起的四位数有多少个? (2)十位数字比个位数字大的有多少个?

9、一排 10 个空座位,4 个人坐在这些空位上。 (1)若每人的左右两边都有空位,有几种坐法? (2)若 6 个空位中,4 个空位连在一起,另两个空位也连在一起,但 6 个空位不连在一起,共有 几种坐法?

解:1、166320;

2、(1)480; (2)660。

3、48

1 4 4、(1) P 3P 4 ? 72 ,

1 4 1 3 1 2 (2)( P 4P 4 ? 2P 3P 3 ?P 2P 2 ? 64 )

5、(1)240; (6)1440; 6、72, 144。

(2)2880; (7)144;

(3)3720; (8)840;

(4)3000; (9)35; 8、⑴30;

(5)720; (10)720。 ⑵150。 9、120;480。

5 3 2 7、 2P 5 P 3 P 2 ? 2880 。

16.3 组合 1、组合的概念: 问题: (1)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活 动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

(2)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法?

一般地, 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合。

2、 组合数的概念: 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个
m 不同元素中取出 m 个元素的组合数 ,用符号 C n 表示。 ...

3、组合数公式的推导: 一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 Pnm ,可以分如下两步:
m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;
m m m ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Pm ,根据分步计数原理得: Pnm = C n 。 ?Pm

m ? Cn ?

Pnm m Pm

组合数的公式:

Cnm ?

Pnm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m m! Pm

或 C n?
m

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) 。 m!(n ? m)!

0 规定: Cn ? 1。

例 1、求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n 。 n?m

证明:∵ C n ?
m

n! , m!(n ? m)! m ?1 n! m ?1 n! n! ? ? = = , n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! (m ? 1)! (n ? m)(n ? m ? 1)! m !(n ? m)!

m ?1 ?C n?m
∴ C n?
m

m ?1 n

?

m ? 1 m ?1 ?C n 。 n?m

例 2、设 x ? N

?

x?1 2 x?3 ,求 C2 x ?3 ? C x ?1 的值。

2x ? 3 ? x ? 1 解:由题意可得: ? ? ?x ? 1 ? 2 x ? 3
?

,解得 2 ? x ? 4 ,

∵ x ? N ,∴ x ? 2 或 x ? 3 或 x ? 4 , 当 x ? 2 时原式值为 4;当 x ? 3 时原式值为 7;当 x ? 4 时原式值为 11。

例 3、(1)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法? (2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议,要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加,有多少种选法?

2 2 2 解:(1) C6 ? C4 ? C2 ? 90 ;
2 2 (2)第一类 2 名男生和 2 名女生参加,有 C5 C4 ? 60 中选法; 3 1 第二类 3 名男生和 1 名女生参加,有 C5 C4 ? 40 中选法,共有 100 种选法。 2 1 1 错解: C5 C4C6 ? 240 种选法。

例 4、100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品,从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种?

3 解:(1) C100 ? 161700 ; 3 (2) C98 ? 152096 ; 1 2 (3) C2 C98 ? 2 ? 4753 ? 9506 ; 1 2 2 1 (4)解法一:(直接法) C2 C98 ? C2 C98 ? 9506 ? 98 ? 9604 ; 3 3 解法二:(间接法) C100 ? C98 ? 161700 ?152096 ? 9604 。

4、组合数的性质
m n ?m (1) Cn . ? Cn

m m m?1 (2) Cn . ?1 = C n + C n

3 4 5 6 例 5、(1)计算: C7 ; ? C7 ? C8 ? C9 n n n?1 n?2 (2)求证: Cm ? 2 = C m + 2Cm + C m 。

4 5 6 5 6 6 4 解:(1)原式 ? C8 ? C8 ? C9 ? C9 ? C9 ? C10 ? C10 ? 210 ; n n?1 n?1 n ?2 n n?1 n 证明:(2)右边 ? (Cm ? Cm ) ? (Cm ? Cm ) ? Cm ?1 ? Cm?1 ? Cm?2 ? 左边。

x ?1 2 x ?3 例 6、解方程:(1) C13 ; ? C13

(2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ?

x?2

x ?3

1 3 Px ?3 。 10

解:(1)由原方程得 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ,∴ x ? 4 或 x ? 5 , 又把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,满足, ∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 。 (2)原方程可化为 C x ? 3 ?
x?2

1 3 1 3 ( x ? 3)! ( x ? 3)! 5 Px ?3 ,即 C x Px ?3 ,∴ , ? ?3 ? 10 10 5!( x ? 2)! 10 ? x!



1 1 2 ,∴ x ? x ? 12 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?3 , ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!

经检验: x ? 4 是原方程的解 。

例 7、从编号为 1,2,3,…,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的编号 之和为奇数,则一共有多少种不同的取法?

1 4 3 2 5 解:分为三类:1 奇 4 偶有 C 6 , C5 ;3 奇 2 偶有 C6 C5 ;5 奇 1 偶有 C6 1 4 3 2 5 ∴一共有 C 6 C5 + C6 C5 + C6 ? 236。

例 8、 现有 8 名青年, 其中有 5 名能胜任英语翻译工作; 有 4 名青年能胜任德语翻译工作 (其

中有 1 名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事 英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?

解:我们可以分为三类:
2 2 ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C4 C3 ; 3 1 ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 4 C3 ; 3 2 ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C4 C3 , 2 2 3 1 3 2 ∴一共有 C4 C3 + C 4 C3 + C4 C3 =42 种方法。

例 9、甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问 可以排出多少种不同的值周表 ?

2 2 1 2 1 1 解法一:(排除法) C6 C4 ? 2C5 C4 ? C4 C3 ? 42。

2 2 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有 C4 C3 ;
1 2 另一类为甲不值周一,但值周六,有 C 4 C4 ,
1 2 2 2 ∴一共有 C 4 C 4 + C4 C3 =42 种方法。

例 10、(1) 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法? (2) 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种?

解:(1)根据分步计数原理: 4 ? 256 ;
4

3 (2)(捆绑法): C 4 P 4 =144。

2

例 11、6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (2)分为三份,每份 2 本;

(3)分为三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少 1 本。

2 2 2 解:(1) C6 C4 C2 ? 90种;
2 2 2 C6 C4 C2 (2) ? 15 ; P33

1 2 3 (3) C6 C5 C3 ? 60 ;
1 2 3 3 (4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有 C6 C5 C3 P 3 ? 360 种方法;

2 2 2 (5)可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即(1)中的分配情况,有 C6 C4 C2 ? 90种方
1 2 3 3 法;②“1、2、3 型”即(4)中的分配情况,有 C6 C5 C3 P 3 ? 360 种方法; 4 3 ③“1、1、4 型”,有 C6 P 3 ? 90 种方法,所以,一共有 90+360+90=540 种方法。

例 12、身高互不相同的 7 名运动员站成一排, (1)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种? (2)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种?

4 3 4 解:(1)(法一): P 7 ? 840 ;(法二): C7 P 4 ? 840 种方法; 4 3 (2)(插空法): P 4 C5 ? 240 。

例 13、马路上有编号为 1,2,3,…,10 的十盏路灯,为节约用电又不影响照明,可以把 其中 3 盏灯关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法?

3 解:(插空法): C6 ? 20 种方法。

例 14、九张卡片分别写着数字 0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果 6 可以当作 9 使用,问可以组成多少个三位数?

2 1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出 6,则有 2( P 8 ? C2 C7 C7 ) 种方法; 1 2 2 1 1 1 1 2 ②若不取 6,则有 C7 P7 种方法,一共有 2( P 8 ? C2 C7 C7 ) + C7 P 7 =602 种方法 。

例 15、 某考生打算从 7 所重点大学中选 3 所填在第一档次的 3 个志愿栏内, 其中 A 校定为第 一志愿;再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二档次的三个志愿栏内,其中 B 、 C 两校必选, 且 B 在 C 前,问:此考生共有多少种不同的填表方法?

2 1 1 解: P 6 C3 P 3 ? 270 。

例 16、如图是由 12 个小正方形组成的 3 ? 4 矩形网格,一质点沿网格线从点 A 到点 B 的不 同路径之中,最短路径有多少条?

A

B

3 解: C7 ? 35 .

例 17、圆周上有 12 个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数最多是多 少?

4 解:只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数,即 C12 ? 495 个。

例 18、有 10 只不同的试验产品,其中有 4 只次品,6 只正品,现每次取一只测试,直到 4 只 次品全测出为止,求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?

解:思路一:设想有五个位置,先从 6 只正品中任选 1 只,放在前四个位置的任一个上,有
1 1 C6 C4 种方法;再把 4 只次品在剩下的四个位置上任意排列,有 P44 种排法 故不同的情形共
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1 1 4 有 C6 C4 P 4 ? 576 种。 1 思路二:设想有五个位置,先从 4 只次品中任选 1 只,放在第五个位置上,有 C4 种方 1 4 法;再从 6 只正品中任选 1 只,和剩下的 3 只次品一起在前四个位置上任意排列,有 C6 A4 种 1 1 4 方法 故不同的情形共有 C4 C6 P 4 ? 576 种。
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例 19、在一次象棋比赛中,进行单循环比赛,其中有 2 人,他们各赛了 3 场后,因故退出了 比赛,这样,这次比赛共进行了 83 场,问:比赛开始时参赛者有多少人?

2 解: 需要考虑两种情况: 第一种, 因故退出比赛的两人之间没有进行比赛, 则 Cn ?2 ? 6 ? 83 , 2 此方程无正整数解;第二种,因故退出比赛的两人之间进行了比赛,则 Cn ?2 ? 6 ? 1 ? 83 ,

解得 n ? 15 ,所以,比赛开始时参赛者有 15 人 。

练习: 1、某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲 和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有几种? 2、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个 数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有几种? 3、以正方形的 4 个顶点,4 边中点和中心这 9 个点中的 3 点为顶点的三角形有几个? 4、有 2 个 a ,3 个 b ,4 个 c 共 9 个字母排成一排,不同的排法有几种? 5、6 个人带 10 瓶汽水参加春游,每人至少带 1 瓶,有几种不同的带法? 6、从1、3、5、7这四个数字中任取3个,从0、2、4这3个数字中任取两个,可以 组成多少个无重复数字的五位数? 7、从5双不同的鞋子中任取4只 (1)取出的4只鞋子恰好配成2双,有多少种不同的取法? (2)取出的4只鞋子至少能配成 1 双,有多少种不同的取法? (3)取出的4只鞋子任何2只都不能配成1双,有多少种不同的取法? 8、有划船运动员10人,其中3人只会划右舷,2人只会划左舷,其余5人既会划右舷, 又会划左舷。现从这10人中选出6人平均分配在船的两舷划桨,并安排好位置,问有多 少种不同的安排方法?

解:(1)960; (2)10; (3)76; (4)1260; (5)126; (6)1248; (7)10;130;80; (8)675。

16.4 二项式定理 1、复习引入: ⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2

⑵ (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ;
3 3 2 2 3

⑶ (a ? b) ? ?
4

2、二项式定理
0 n 1 n?1 r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

①这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b) 的二项展开式,它有
n

n ? 1 项;
r ②展开式中各项形如 Cn (r ? 0,1,?n) 的系数叫二项式系数,注意区分二项展开式某项

的系数与该项的二项式系数的异同;
r n?r r r n ?r r ③ Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b ;

④二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,
1 r r 则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ? ? xn

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例 1、展开 (1 ?

1 4 ) . x

4 1 2 2 3 3 4 解: (1 ? ) ? 1 ? C4 ( ? ) ? C4 ( ? ) ? C4 ( ? ) ? ( ? )

1 1 x x 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x

1 x

1 x

1 x

例 2、(1)求 ( x ? a) 的展开式中的倒数第 4 项
12

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(2)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式的中间两项 x

解:(1) ( x ? a)12 的展开式中共 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9 .

r (2)∵ Tr ?1 ? C9 ( )9?r (

x 3

3 9? r 3 r r ) ? C9 ? 32r ?9 x 2 , x

∴( ?

x 3

3 9 ) 的展开式共 10 项,它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项, x
5 4 9

?x? T5 ? C ? ? ? ? 3?

? 3 ? 3 ?? ? ? 42 x , ? x?
9? 15 2

4

T6 ? C ? 3
5 9

10?9

x

? 378 x3

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3 例 3、求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数。
9

1 x

解:∵ ( x ? ) 的展开式的通项是 Tr ?1 ? C9 x
9 r

1 x

9?r

1 (? ) r ? (?1) r C9r x9? 2 r , x

∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,

3 ∴ x 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 ,
3

3 x3 的二项式系数 C9 ? 84 。

例 4、已知 ( x ? 的常数项.

2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14:3,求展开式 x2

解:依题意 Cn : Cn ? 14 : 3 ? 3Cn ? 14Cn
4 2 4 2

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10。 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C ( x )
r 10 10 ? r

2 r (? 2 ) r ? (?2) r C10 x x

10 ?5 r 2



10 ? 5r ? 0 ? r ? 2, 2

2 ? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180。

例 5、已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,

(1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项。

解:由题意: 2Cn ?
1

1 1 2 ? 1 ? Cn ? ( )2 , 2 2

即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,∴ n ? 8(n ? 1舍去)
2

∴ Tr ?1 ? C8

r

? ?
x

8? r

? (?

r r ? 1 r r 8? r 2 4 ? ( ? ) ? C x ? x ) 8 2 24 x

1

3r C8r 16? 4 ? ? ?1? r ? x 2 r

? 0 ? r ? 8? ? ? ?r ?Z ?
16 ? 3r ? 0 ,即 16 ? 3r ? 0 , 4 16 ? 3r 为整数, 4

(1)若 Tr ?1 是常数项,则

∵ r ? Z ,这不可能,∴展开式中没有常数项; (2)若 Tr ?1 是有理项,当且仅当

∴ 0 ? r ? 8, r ? Z ,∴ r ? 0, 4,8 ,
4 即 展开式中有三项有理项,分别是: T1 ? x , T5 ?

35 1 ?2 x , T9 ? x 。 8 256

例 6、已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x? (m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展
m n

开式中含 x 项的系数最小值。

2

1 1 1 1 解: ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项为 Cm ? 2x ? Cn ? 4x ? (2Cm ? 4Cn )x
m n

1 1 ∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 ,
2 (1)当 n ? 1, m ? 16 时, ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项的系数为
m n

2 2 2 ? 480 ; t ? C16

(2)当 n ? 2, m ? 2 时,

?1 ? 2 x ?

m

? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 2 的项的系数为
n

2 2 2 2 2 ? Cn 4 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n , t ? Cm

∵ m ? 2n ? 18 ,∴ m ? 18 ? 2n ,
2 2 ∴ t ? 2(18 ? 2n) ? 2(18 ? 2n) ? 8n ? 8n ? 16n ? 148n ? 612
2

? 16(n 2 ?

37 153 37 * n? ) ,∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N , 4 4 8
2

∴ n ? 5 时, t 即 x 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8 。 综上:最小值为 272 。

3、二项式系数表(杨辉三角) 当 n 依次取 1, 2,3 …时, 二项式系数表, 表中每行两端都是1 , (a ? b)n 展开式的二项式系数, 除1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

4、二项式系数的性质:
0 1 2 n , Cn , Cn ,…, Cn 。 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn m n?m (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即“ Cn ”; ? Cn

(2)增减性与最大值:
n

先增后减,当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数“ Cn2 ”最大;当 n 为奇数时,中间两项
n ?1 n ?1

的二项式系数“ Cn 2 ”、“ Cn 2 ”相等且最大。

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ?1 n ? k ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k 2 k n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取 2
证明:∵ Cn ?
k

得最大值; (3)各二项式系数和:
1 r r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ? ? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,得所有二项式系数之和为:则 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n .

令 x ? ?1 ,得奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和:
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? Cn ? Cn ?? ?n?1 。

例 7、已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;

(3) | a0 | ? | a1 | ??? | a7 | .

解:(1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x)7 ? (1 ? 2)7 ? ?1,展开式右边为

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7
∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 , 当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? 1 ? ?2 。 (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ① ②

令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 37

① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? (3)由展开式知: a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 37 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

1 ? 37 。 2

?1 ? 37 , 2

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37 。

例 8、(1)求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数 (2)设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ?
2 3 n

2

10

3

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a0 ? a1x ? a2 x2 ??? an xn ,
当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值
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(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] ( x ? 1)11 ? ( x ? 1) 解:(1) (1 ? x ) ? (1 ? x) ? ? = , ( 1 ? x) ? x 1 ? (1 ? x)
2 10

∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11

3

4

7

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(2)令 x ? 1 得: a0 ? a1 ? a2 ? ?? an ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? ∴ 2 ? 128, n ? 7 。
n

2(2n ? 1) ? 254 , 2 ?1

例 9、求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数。

解:(法一) ( x 2 ? 3x ? 4) 4 ? [(x 2 ? 3x) ? 4]4
0 1 2 3 4 ? C4 ( x2 ? 3x)4 ? C4 ( x2 ? 3x)3 ? 4 ?C4 ( x2 ? 3x)2 ? 42 ?C4 ( x2 ? 3x) ? 43 ? C4 ? 44 ,

显然,上式中只有第四项中含 x 的项,
3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C4 ? 3 ? 43 ? ?768

(法二): ( x 2 ? 3x ? 4) 4 ? [(x ? 1)(x ? 4)]4 ? ( x ? 1) 4 ( x ? 4) 4
0 4 1 3 2 2 3 4 0 4 1 3 2 2 3 4 ? (C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 ) (C4 x ? C4 x ? 4 ? C4 x ? 42 ? C4 x ? 43 ? C4 ? 44 ) 3 4 3 3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C 4 4 ? C4 4 ? ?768 。

1 2 3 n 例 10、求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 .

1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn n n?1 n ?2 2 1 又∵ S ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? 2Cn ? Cn r n ?r 0 n 1 n?1 ∵ Cn ,∴ Cn ? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ,
0 1 2 n 由①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,

① ②

?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二):左边各组合数的通项为
r ? r? rCn

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 n ?1 ∴ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? n ? 2 .

?

?

2

例 11、已知: ( x 3 ? 3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 .
2 n

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项
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解:令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3) ? 2 ,
n 2n

又展开式中二项式系数和为 2 , ∴2
2n

n

? 2n ? 992 , n ? 5 .

(1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
2 2 22 2 3 ∴ T3 ? C5 ( x 3 )3 (3x2 )2 ? 90 x6 , T4 ? C5 ( x 3 )2 (3x 2 )3 ? 270 x 3 。 r (2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,则 Tr ?1 ? C5 ( x 3 )5?r (3x2 )r ? 3r C5r x
r r r ?1 r ?1 ? 7 9 ?3 C5 ? 3 C5 ? ? r ? ,∴ r ? 4 , ∴? r r r ?1 r ?1 2 2 ? ?3 C5 ? 3 C5

2

10? 4 r 3



2

26

4 即展开式中第 5 项系数最大, T5 ? C5 ( x 3 )(3x2 )4 ? 405x 3 。

1 n?1 2 n ?2 n?1 例 12、已知 S n ? 2 n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 1(n ? N ? ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除

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分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1变形,化为含有因数 64 的多项式
1 n?1 2 n ?2 n?1 ∵ Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ?? Cn ? 2 ?1 ? (2 ?1)n ? 3 ,
n

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∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ),
n *

k 0 k 1 k ?1 ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1) ? 8k ?1 ? Ck 8 ? Ck 8 ? ?? Ckk ?18 ?1 ? 8k ?1
2k

1 k ?1 ? (Ck0 8k ? C8 8 ??? Ck2 )82 ( ? ) ,

当 k = 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时,( ? )式能被 64 整除, 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除
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练习:
1 2 3 n (1)化简: 1 ? 4Cn ? 7Cn ? 10Cn ??? (3n ? 1)Cn

1 2 2 3 3 ?n?1 2 n?1 2n (2)化简: 1 ? 3C2 C2n ? 32n C2 n ? 3 C2n ? 3 C2n ??? ? n

(3)求证: n
n

n?1

? 1 (n ? 2) 能被 (n ? 1)2 整除。
n ?1

(4)求 4 ? 6 ? 5

被 20 除所得的余数
4

(5)求 (1 ? x ? x 2 )(1 ? x)10 展开式中含 x 项的系数。 (6)求和: 1 ?

1 1 1 2 1 3 1 n Cn ? C n ? C n ? ? ? Cn 2 3 4 n ?1

0 1 1 2 2 3 n?1 n (7)求和: Cn Cn ? Cn Cn ? Cn Cn ??? Cn Cn

(8)求证: 2 ? (1 ?

1 n ) ?3 n

?n ? 2?

解:(1) (3n ? 2) ? 2n?1 (2) 4 。 (3)证明略。
n

(4)9 (5)135 (6)

1 (2 n ?1 ? 1) n ?1

n ?1 (7) C2 n

(8)证明略


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