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求无穷递缩等比数列的和


第二十教时
教材:求 无穷递缩等比数列的和 目的:要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式,并能解决具体问题。 过程: 一、例题:
1 1 1 1 例一、已知等比数列 , , , ? n , ? ,求这个数列的前 n 项和;并求当 n ? ? 2 4 8 2

13 13 13 13 13 解:1. 2.13 ? 2 ? ? ? ??

? 2 ? 100 ? 2 ? ?2 1 100 10000 99 99 1? 100
? ?

13 321 321 321 1320 44 2. 1.13 21 ? 1.1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ?? ? 1.1 ? 10000 ? 1 ?1 1 9990 333 10 10 10 1? 3 10
? ?

小结法则: 1. 纯循环小数化分数:将一个循环节的数作分子,分母是 99??9,其 中 9 的个数是循环节数字的个数。 混循环小数化分数:将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环 部分 所得的差作分子,分母是 99?900?0,其中 9 的个数与一个循 环节的个数相同,0 的个数和不循环部分的数字个数相同 。 例四、某无穷递缩等比数列各项和是 4,各项的平方和是 6,求各项的立方和。 解:设首项为 a ,公比为 q,( | q | <1 ) 则
[来源:Zxxk.Com]

时,这个和的极限。

1 1 [1 ? ( ) n ] a (1 ? q ) 2 1 1 2 解:公比 q ? , Sn ? 1 ? ? 1? n 1 2 1? q 2 1? 2 1 1 ? lim S n ? lim (1 ? n ) ? 1 ? lim ( ) n ? 1 ? 0 ? 1 2 2 n ?? n ?? n ??
n

1 2
1 4 1 8

2.

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

解释: “无穷递缩等比数列”

[来源:学科网 ZXXK]

1? 当 n ? ? 时,数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和 是求有限项(n 项) 2? 当 | q | <1 时, 数列单调递减,故称“递缩” 3? 数列{an}本身成 GP 小结:无穷递缩等比数列前 n 项和是 S n ? 当 n ? ? 时, S ? lim S n ? lim
n?? n??

a1 (1 ? q n ) 1? q

? a ? 1 ? q ? 4 (1) ? ? a2 ? ? 6 (2) ?1 ? q 2 ?

1) ?(??( 2)?? ?得:
2

1? q 8 5 24 ? ?q? 代入(1):a ? 1? q 3 11 11

a1 (1 ? q n ) a ? lim 1 ? lim (1 ? q n ) 1? q n?? 1 ? q n??

24 3 ) a 768 11 ∴各项的立方 和: S ? ? ? 3 5 67 1? q 1 ? ( )3 11
3

(

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?S ?

a1 1? q

其意义与有限和是不一样的

例五、无穷递缩等比数列{an}中, lim (a1 ? a 2 ? ?? ? a n ) ?
n ??

1 ,求 a1 的范围。 2

, , 例二、求无穷数列 0.3, 0.03, 0.003 0.0003?? 各项和。

解:

解: a1 ? 0.3 ?

3 0.03 1 , q? ? 10 0.3 10

3 3 1 ? S ? 10 ? ? 1 9 3 1? 10
?

a1 1 ? ? q ? 1 ? 2a1 1? q 2

? 0 ?| q |? 1

? 0 ?| 1 ? 2a1 |? 1
? 0 ? a1 ? 1且a1 ? 1 2

?0 ? a1 ? 1 ? ? 0 ? 4a12 ? 4a1 ? 1 ? 1 ? ? 1 a1 ? ? 2 ?

例三、化下列循环小数为分数:
? ?

[来源:学科网 ZXXK]

二、小结: 三、作业:

?

1. 2.13

2. 1.1 3 2 1

3 1 1 1 1 ? ? ? (? ) n ?1 ? ? ? 1. 1 ? ? ? 4 3 9 27 3

2. lim [3 ? (
n ??

1 n ) ] ? 3 ,则 a 的取范围是 a?2

a>3 或 a<1

1 1 1 )] ? 3. lim [n(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? 3 4 n?2 n ??

2

4.正项等比数列的首项为 1,前 n 项和为 Sn,则 lim
n ??

Sn ? S n ?1

1或 q

5. lim (
n??

3 2 ? 3 2 2 ? 32 2 n ? 3n ? ? ?? ? )? 2 n 2 6 6 6
*
n??

6.已知 f (n) ? 1 ? 2 ? ? ? n, (n ? N ) ,则 lim 7.若 lim [1 ? (1 ? r ) n ] ? 1,则 r 的取范围是
n??

f (n 2 ) ? [ f (n)]2
(-2,0)

2

8.无穷等比数列{ tg n? }中,(1)若它的各项和存在,求 ? 的 范围;若它的各项
3 ?1 ,求 ? 。 2 ? ? ? ( k? ? ? ? ? k? ? 且? ? k? , ? ? k? ? (k ? Z ) ) 4 4 6 9.以正方形 ABCD 的四个顶点为圆心,以边长 a 为半径,在正方形内画弧, 得四个交点 A1,B1,C1,D1,再在正方形 A1B1C1D1 内用同样的方 法得到又 一个正方形 A2B2C2D2,这样无限地继续下去,求所有这些正方形面积之和。 ( 3 ? 1)a 2 ( ) 2

和为


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