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高中物理竞赛辅导参考资料之17机械振动


机械振动

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本章内容

Contents

chapter 17

简谐振动的特征及其描述 characteristic and describe of simple harmonic motion 简谐振动的能量 energy of simple harmonic motion 简谐振动的合成 compose of simple harmonic motion

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机械振动 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。 物体发生机械振动的条件: 物体受到始终指向平衡位置的回复力; 物体具有惯性。

第一节 引言 物体在它的平衡位置附近所作的
1 7 -- 1 17 1

characteristic and describe of 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。 simple harmonic motion
简谐振动(simple harmonic vibration) 是最简单、
最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的 重要基础。这里主要讨论简谐振动。

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动力学特征

正X向

反X向

X
水平光滑面,弹簧劲度
物体在任一位 置受的弹性力

质量可忽略,物体质量

以物体受力为零的平衡位置为坐标原点

以铅垂方向 线,

为摆角参考轴

单摆在任一角位置 则

所受的重力矩为

取摆幅很小

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运动学特征
X
对于给定的弹簧振子 则 得 该微分方程的解 通常表成余弦函数 为常量,其比值亦为常量。令 即

简谐振动微分方程

A A A

简谐振动方程

A

为微分方程求解时的积分常量,由系统的初始条件决定。

简谐振动的速度 简谐振动的加速度

应用转动定律,同理也可求得单摆的角振动方程
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简谐振动的振动方程

续上
A

A
简谐振动的速度

A

A
简谐振动的加速度

A

A

最大 最大 最大

A
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A

简谐振动参量
振幅 A : 的最大绝对值 完成一次振动需时 周期 : 频率 : 角频率 :
弹簧振子 单 是界定振子在时刻 和速度 同时描述,而 和 摆 的运动状态的物理量 的正负取决于

X

A
相位 :
运动状态要由位置

A

A
初相
所谓 初始条件即为

A
时,振子的相位。 ,不是指开始振动,而是指开始观测和计时。 时质点的运动状态 位置 速度

:是

A A

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A 求给定振子的振幅
消去 得

续上
A

A A
由 振子的 和

求给定 初相 消去 A 得

A A

但由于 在 0 ~ 2π 范围内,同一正切值对应有两个 值,因此,还 必须再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态 直观图不难作出判断 若 则 且 (第二象限) (第三象限) 若 且 则 若 且 若 且 则 (第一象限) (第四象限) 则

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旋转矢量法
简谐振动方程

x = A cos (ω t﹢? ) 旋转矢量 A

M M(t )M(t ) (t )

循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 ? 初相 X

ωt t ω t A ωω t A ωt 以匀角速 ωt ?? 逆时针转动 M ( t ) ω t O ωt ωT t 时刻的
振动相位

(ω t﹢? )

M(t )

M(t )

M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标

X

A
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A

旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动 其 速率

续上
ω
X

ωA

振子的运动速度(与 X 轴同向为正)

ωA

ωt ? ω A

ωt ?
O

A

旋转矢量端点 M 的加速度为 法向加速度,其大小为 和

振子的运动加速度(与 X 轴同向为正)

ω A
任一时刻的 和 值, 其正负号仅表示方向。

ωt ?

同号时为加速 异号时为减速
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O

X

A

A

例一
简谐振动的 曲线
0.04 1 0.04 2

完成下述简谐振动方程

ω A = 0.04 (m) T = 2 (s) A
v0

t=0 =π/2

ω = 2 π / Τ = π (rad /s ) 0.04

π

π
2

SI

时, 矢端的投影从x=0向X轴的负方运 动, 即v ,与 已知 X~ t 曲线一致。
0

A 从 t = 0 作反时针旋转

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试证明,若选取受力平衡点作为位置坐标原点,垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。 选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
合外力 平衡点

例二

动力学方程
小球 在受力平衡点 受弹性力大小 微分方程 的解:

振动方程

A

均与水平弹簧振子结果相同
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m = 5×10 -3 kg 例三 弹簧振子 k = 2×10 -4 N·m -1 t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·s -1 完成下述简谐振动方程
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为

m k

0.2 (rad · s –1)

x0
2

v0
0.2

2 (m) (SI)

v0

ω

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某物体沿 X 轴作简谐运 振幅 A = 0.12 动, m, 周期 T = 2 s,t = 0 时 物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 ? , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a 由简谐振动方程 x = A cos (ω t﹢? ) t = 0 时 0.06 = 0.12 cos ? 得 ? =±π / 3 再由题意知 t = 0 时物体正向运动,即 A 0 ,则 ? 在第四象限,故取 ? = π / 3 且 将 A = 0.12 m,T = 2 s ,

例四

?=

ω = 2π / T = π rad · s -1 , π / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得 x A cos (ω t﹢? ) 0.104 (m)
A A 0.19 ( m · s -1 ) 1.03 ( m · s -2 )

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Acos 例五
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动

A


cos
A A
因 应取 且 在第一象限

振幅 A 相同 周期均为 T = 8.5s t=0时 质点1
在 A 处 向平衡点运动 处 向平衡点运动

Acos cos
两质点振动相位差 从旋转矢量图可以看出: 时,质点1第一次通过平衡点 A 转过

A

质点2 在

A

用旋转矢量法 两质点振动相位差 两质点第一次通过 平衡点的时刻
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1.06 (s) A 转过
时,质点2第一次通过平衡点

2.13(s)

第二节 振动能量
振子质量 振动系统:如 水平弹簧振子 弹簧劲度 简谐振动方程 振子运动速度 系统的 动能 系统的 势能 振动角频率

1 7 -- 2A 17 2
A A

A

(以x=0处为零势点)

系统的 机械能

energy of simple harmonic motion
A
均随时间而变且能量相互转换 能 变到最大时 变到最大时 变为零 变为零 及 量

A

系统的机械能

守恒。

A

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时 间

动能 一水平弹簧振子 势能 则 其中 当 时

例六A
A

以平衡点为原点 沿 X 轴振 动 弹簧劲度 振子质量 振幅 A 当振动系统的 动能值与势能值 相等时 振子的 位置坐标



振动相位
代入

或 中,解得

A
能量

x

位置

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匀质细直悬棒 质量 m、长 L 在铅直面内摆动

该摆动系统的机械能守恒数学表达式 该摆的运动学微分方程及摆动周期

例七

动能

刚体(直棒)转动动能

摆幅很小

势能 系统的重力势能 以垂态直棒中心点 C 为重力零势点

机械能
机械能守恒,即 为恒量,

即 转动惯量 得



简谐角振动微分方程

该摆的振动周期
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随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果 谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原 来的4倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

结束选择
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小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果 谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原 来的4倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

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小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果 谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原 来的4倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

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小议链接3 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果 谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原 来的4倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

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小议链接4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果 谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原 来的4倍,则其总能量将变为

(1)E1/4;

(2)E1/2;

(3)2E1;

(4)4E1。

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第三节 振动合成
同在 X 轴 且 相 同

合成振动

1 7 -- 3 17 3

用旋转矢量法可求得合成振动方程

compose of simple harmonic motion
合成初相 与计时起始时刻有关 与计时起 分振动初相差 始时刻无关,但它对合成振幅 属相长还是相消合成起决定作用
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续上
分振动 合振动
其中,合振幅



若 则

若 则

为合振幅可能达到的最大值 若 则 若

为合振幅可能达到的最小值 则



为其它值,则

处于



之间

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0.05 0.06 0.07

简谐振动 (SI) (SI) (SI)

例八 合成的
合成的 合成的



最大时 最小时

0.928 当
合成的 达到最大

8.92×10 –2 (m) 12′ 68° 12′ 248° (舍去)



得 当
合成的 达到最小




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振动合成二
为了突出重点,设两分振动的振幅相等且初相均为零。

合振动

频率为 简谐振动



频率为 简谐振动



此合振动不是简谐振动,一般比较复杂,只介绍一种常见现象:
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相差不大,

续上
频率相对较高的简谐振动 两分振动的频率

合振动 例如:
可看作呈周期性慢变的振幅

9 Hz 8 Hz
1秒 合振动频率

8.5 Hz
合振动振幅 (包络线) 变化的频率称为 “ 拍频 385 Hz 383 Hz
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1 Hz
听到的音频 384 Hz 强度节拍性变化 2 Hz

振动合成三
消去 得轨迹方程:

该方程为椭圆的普遍方程, 介绍几种特殊情况: 若 若 或 或 得直线 得直线 得正椭圆


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续上

或 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.cn

振动合成四
其合运动一般较复杂,且轨迹不稳定。 但当 为两个简单的整数之比时 可以得到稳定轨迹图形,称为李萨如图形

例如

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随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4 cm;
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(4)8 cm。
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小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4 cm;
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(4)8 cm。
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小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4 cm;
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(4)8 cm。
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小议链接3 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4 cm;
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(4)8 cm。
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小议链接4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
两个同方向同频率的谐振动,振动方程为
x1=6×10-2 cos (5t + 2 ), x2=2×10-2 sin ( π – 5 t ) π

则其合振动的振幅为谐振动 (1)0 ; (2)4 cm;

(3)4 cm;
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(4)8 cm。
结束选择

作业
HOME WORK 17 - 9 17 - 1 9 17 - 1 6 17 - 2 2

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选讲:阻尼振动
振幅逐渐衰减的振动 称为阻尼振动或衰减振动

形成阻尼振动的原因: 振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用,造成热损耗; 振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
以第一种原因为例,建立阻尼振动的力学模型。
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以液体中的水平弹簧振子为例:振子 弹性力 摩擦阻力



续上 弹性力
振动速度不太大时受

摩擦阻力
与 反向 负号: :阻力系数

合外力 即 得 若阻尼较弱,且 令
称为振动系统的固有角频率 称为阻尼系数

时,上述微分方程的解为

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续上
和 取决于初始状态。 为振动角频率, 为阻尼振动的振幅,随时间的增大而指数衰减。 越大,振幅衰减越快,且振动周期 周期 越长。

本图设

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相对较大的阻尼振动,其振幅衰减较快,但只要满足 ,振子仍可出现往复运动的特征,仍属阻尼振动。 临界阻尼 过阻尼

续上

阻尼振动 ,用此条件求解微分方程,其 若阻尼过大,以致 结果表明(数学表达从略)振子不能作往复运动,而是从 开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。 若 ,振子从开始的最大位置较快地回到平衡位 置, 并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。
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受迫振动

周期性外力 (强迫力) 示意 幅 值 角频率 弹性力

系统在周期性外力的持续作用下所作 的等幅振动称为受迫振动。 建立动力学方程

即 表成 此微分方程的解为

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续上

受迫振动进入稳定振动状态 后,其振动角频率为强迫力 的角频率 ,其振幅为

受迫振动与强迫力有一定的 相位差 ,用初相 表示

开始振动 比较复杂

经过一段时间后,受迫 振动进入稳定振动状态。

都与 阻尼系数 和 强迫力角频率 相对于系统的 固有角频率 的大小有关。

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重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅

续上
较小

若强迫力的角频率 若阻尼系数

已定, 大则

小。

较大

已定,当

等于或接近 获得极大值。 极大时的 为

系统的固有角频率时, 令 求得

受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。 共振时的强迫力频率 共振时的振幅值为
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称为共振频率


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