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高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题


1. 已知等差数列 的前 n 项和为 Sn,若 A.18 B.36 C.54 D.72 2. 已知 ( 为等差数列, )A. B. 为等比数列,其公比 C. ,且

等于

( ,若 或

) , ,则

D.

3. 在等差数列{a }中,3(a +a )+2(a +a +a )=24,则此数列的前 13 项之和为 ( A.156 B.13 C.12 D.26 4. 已知正项等比数列数列{an},bn=log a an, 则数列{bn}是 ( ) A、等比数列 B、等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、以上都不对 5. 数列 于 A. 6. 设数列 A.S4<S5 7. 等比数列 是公差不为零的等差数列,并且 ( ) B. C. D. ,Sn 是数列 C.S6<S5 若 的前 n 项和,则( D.S6=S5 ,则公比 等于 ( ) ) 是等比数列 的相邻三项,若

)

,则



是等差数列, B.S4=S5 的首项 ,前 项和为

C.2 D.-2 8. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则 n 等于 ( A.15 B.16 C.17 D.18



9. 已知 A. B.

,(

),则在数列{ C.

}的前 50 项中最小项和最大项分别是( D.



12. 已知: 所有的劣数的和为 A.2026 B.2046 二、填空题 13. 在等差数列

,若称使乘积 ( ) C.1024 D.1022

为整数的数 n 为劣数,则在区间(1,2002)内

中,已知 a1+a3+a5=18, an-4+an-2+an=108,Sn=420,则 n= ___________. ,则 (k∈N+,

14. 在等差数列 中,公差 ,且 k≤60)的值为 ________________ . 15. 已知 16. 已知 三、解答题 ,则 则 通项公式

= _____________

.

=_____________ ;

=____________.

17. 若数列 前 n 项和可表示为 ,则 是否可能成为等比数列?若可能,求出 a 值;若不可能,说明 理由. 18.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2· b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前 n 项和 S10 及 T10.

数列的定义: (1)按一定次序排成的一列数 (2)数列可以看作是项数 n 的函数 f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。 等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 an?1 - a n =d a n ?1 =q(q ? 0)

an

通项公式 递推公式 中项

a n = a1 +(n-1)d a n = an?1 +d,
A=

a n = a1 q n?1 (q ? 0) a n = an?1 q a n = am q n?m

a n = a m +(n-m)d
推广:A=

? N+ ;n>k>0)
前 n 项和

a?b 2

a n?k ? a n? k (n,k 2

推广: ? a n ? k a n ? k (n,k G= G 2 ? ab 。 + 。任意两数 a、c 不一定 ? N ;n>k>0) 有等比中项, 除非有 ac>0, 则等比中 项一定有两个

n ( a1 + a n ) 2 n (n ? 1) S n =n a1 + d 2
Sn =
(2)数列 ?a 2 n?1 ?, ?a 2 n ?, ?a 2 n ?1 ? 仍为等差数 列,公差为 n d ; (3)若三个成等差数列,可设为
2

a1 (1 ? q n ) 1? q a ? an q Sn = 1 1? q
Sn =
am an ? a p aq · ·

性质

(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; ( 1 ) 若 m ? n ? p ? q , 则

S 列, n,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍为等差数

(2)Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍 为等比数列,公比为 q
n

a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别 a S 为 Sn,Tn ,则 m ? 2 m ?1 bm T2 m ?1
(5) ? an ? 为等差数列 ? S n ? an ? bn
2

( a,b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数) (6)d=

a m ? an (m ? n) m?n

(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列 八、判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: 1、数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数).

2、数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1a n?1 ? 0 )


③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }( x ? 1 )成等比数列. 九、求数列通项公式的方法 1、给出数列的前几项,求数列的一个通项公式——观察法。 例 1、分别写出下面数列{

a

n

}的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数。

(1)1,3,5,7,…, (2)1,2,1,2,…, (3)2,22,222,2222,…, 2、通项公式法 3、涉及前n项和 Sn 求通项公式,利用 an 与 Sn 的基本关系式来求。即 a n ? ?
?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

例2、在数列{an}中,Sn 表示其前n项和,且 Sn=n2,求通项 an. an=2n-1(n≥1). 例3、在数列{an}中,Sn表示其前n项和,且Sn=2-3an,求通项an. 4、已知递推公式(初始条件与递推关系) ,求通项公式。 (1)待定系数法。 若题目特征符合递推关系式a1=A,an+1=Ban+C(A,B,C均为常数,B≠1,C≠0)时,可用待定系数法构 造等比数列求其通项公式。 例4、已知数列{an}满足a1=4,an=3an-1-2,求通项an. (2)逐差相加法。 若题目特征符合递推关系式a1=A(A为常数),an+1=an+f(n)时,可用逐差相加法求数列的通项公式。 例5、在数列{an}中,a1=3,an+1=an+2n,求通项 an. (3)逐比连乘法。 若题目特征符合递推关系式 a1=A(A 为常数),an+1=f(n)·an 时,可用逐比连乘法求数列的通项公式。 n 例 6、在数列{an}中,a1=3,an+1=an·2 ,求通项 an. (4)倒数法。 若题目特征符合递推关系式 a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0 (A,B,C,D 均为常数)时,可用倒数法求数列的通项公式。 例 7、在数列{an}中,已知 a1=1,an+1= ,求数列的通项 an.

(5)归纳法。 这是一种通过计算、观察、归纳规律,进而猜想、验证(证明)的思维方法,是一种普遍适用的方法。在前面所 有的问题中,只要转化为递推公式,就可以由初始条件逐次代入递推关系,观察计算结果,直到看出规律为止。 2 例 9、在数列{an}中,a1=3,an+1=an ,求数列的通项公式 an. 十、求数列的前 n 项和的方法 1、 、利用常用求和公式求和:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
[例 1] 已知 log 3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n?1
bn}

2、错位相减法求和:这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· 的前 n 项和,其中 {an } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

………………………①

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

3、倒序相加法求和:这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它 与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

4、分组法求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或

常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 5、裂项法求和:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? cos n? cos(n ? 1)?

1 1 1 (3) a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1
(5) an ?

( 2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6) a n ?

[例 9] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

[例 10] 在数列{an}中, an ?

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1

[例 11] 求证:

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? cos 0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88 ? cos89 ? sin 2 1?

6、合并法求和:针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,求 S2002. [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值.


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