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第8课时 常用逻辑用语复习


苏教版高中数学新课标选修 2-1

第 8 课时 常用逻辑用语复习(1 课时) 教学目标: 1.搞清命题的四种形式及其互相关系;正确理解充分必要条件的概念,对于给定的 p、q,能判断和 证明 p 和 q 的关系,能利用集合观点和等价命题关系来判断充要条件。 2.正确领会逻辑联结词“或” “且” “非”的含义,能对“p 或 q” 且 q” “p “非 p”形式的

命题的真 假作出判断。 3.了解全称量词与存在量词,掌握对含有全称命题与存在性命题的判断真假的方法;能写出全称命 题与存在性命题的否定。 教学重点、难点:见教学目标 教学过程: 一.问题情境 1.复习整理:(1).命题 (2).逻辑联结词 (3).真值表 (4).四种命题的形式 (5).四种命题之间的关 系 (6).充分条件与必要条件 (7).全称命题与存在性命题及其否定. 2.基础训练: (1)已知点 P(1, a ),圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 13, 过点 P 不存在直线与圆 C 相切,则实数 a 的
2 2

取值范围是 . ?2 ? a ? 4 (2)下列判断正确的是 . ② ①“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆命题是真命题; ②“两个全等三角形的三边对应相等”的否命题是真命题; ③“四条边都相等的四边形是正方形”的逆否命题是真命题; ④ 命题“ 1 ? 2 且 3 ? 2 ”是真命题. (3)在△ABC 中, A>B”是“cosA<cosB”的 “ 条件. 解析:充要条件,在△ABC 中,A>B ? cosA<cosB(余弦函数单调性) . (4)已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 B 是 A 的 条件,必要 条件. 必要 ?A 是 ?B 的 (5)写出下列命题的否定 3 ①至少有一个实数 x,使 x +1=0 ; ③实系数一元二次方程有实数解 . 二.数学运用 例 1.写出下列命题的否定,判断它们否定的真假 2 2 (1)无论 x 为何实数,sin x+cos x=1 2 (2)不等式 x +x+1≤0 有实数解 解:(1)存在 x ? R ,使 sin x ? cos x ? 1, 假命题.(2)无论 x 为何实数,总有 x ? x ? 1 ? 0 ,是真命 题.
2 2

2

例 2.若 p( x) : sin x ? cos x ? m, q( x) : x ? mx ? 1 ? 0, 如果对 ?x ? R, p( x) 为假命题且
2

?x ? R, q( x) 为真命题,求实数 m 的取值范围.
答案: 2 ? m ? 2
S

例 3. 如 图 , 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 ,
2 2 2 ,求证: AC ? BC ? AB 的 S A? S ? B SC 平面 SAB ? 平面 ABC .

充要条件是
B O A

1

C

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例 4.(选讲)已知 f(x)=ax +bx+c(a,b,c ? R) ,求证:关于 x 的方程 ax +bx+c=0 恰有两个不相 等的实数根的充要条件是:存在 x0 ? R,使 af(x0)<0.
2 2

证明:充分性: 若存在 x0 ? R,使 af(x0)<0.即 a x0 ? abx0 ? ac ? 0, 则 a ? 0,
2 2

ac ? ?a 2 x0 2 ? abx0 , ?? ? b2 ? 4ac ? b2 ? 4(?a 2 x0 2 ? abx0 ) ? (2ax0 ? b)2 ? 0 ,
所以关于 x 的方程 ax +bx+c=0 恰有两个不相等的实数根. 2 必要性:若关于 x 的方程 ax +bx+c=0 恰有两个不相等的实数根,不妨设为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则 a ? 0 . 否 则 , 方 程 ax +bx+c=0 只 有 一 个 实 数 根 或 有 无 数 个 实 数 根 , 产 生 矛 盾 . 因 此, f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,
2 2

a 2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 2 ? 0, 取 x0 ? ,则 x1 ? x0 ? x2 , af ( x0 ) ? a ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 ) ? ? 4 2 所以存在 x0 ? R,使 af(x0)<0.
三.回顾小结 四.常用逻辑用语作业 8 答案: 1.任意实数 a、b、c,在下列命题中,真命题是 ② . ①“ac>bc”是“a>b”的必要条件, ②“ac=bc”是“a=b”的必要条件, ③“ac>bc”是“a>b”的充分条件, ④“ac=bc”是“a=b”的充分条件. 2.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件” , , , 中选择填空. (1)设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则甲是丁 的 ; 答:充分不必要条件 (2)“ m ?

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2

;

(3)设集合 M ? ? x | x ? 2? , P ? ? x | x ? 3? ,那么“ x ? M ,或 x ? P ”是“ x ? M ? P ”的 答:必要不充分条件,“ x ? M ,或 x ? P ”不能推出“ x ? M ? P ” ,反之可以. (4)(07 全国) f ( x), g ( x) 是这义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x), 则“ f ( x), g ( x) 均为偶函数” 是“ h( x ) 为偶函数”的 答:充分必要条件 3.写出下列命题的否定: .

答:充分不必要条件

.

2

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(1)每一个素数都是奇数 (2)有些实数的绝对值是正数 (3) ?x ?R , x2 ? 1 ? 0

; 存在一个素数不是奇数 ;所有实数的绝对值都不是正数 ; ?x ?R , x2 ? 1 ? 0

4.写出命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题、否命题、逆否命题,并指出其真假.

5.求证:△ABC 是等边三角形的充要条件是 a +b +c =ab+ac+bc.这里 a、b、c 是△ABC 的三条 边.

2

2

2

6. 若方程 7x -(k+13)x+k -k-2=0 有两实根 x1,x2,求满足 0<x1<1<x2<2 的充要条件.

2

2

3


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