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11.1计数原理


概 率

统计 概率
统计

11.1 计数原理

一、问题情境
计算机密码由6位数字 组成,我们需要输入多 少次才能破破解呢?

“双色球”每注投注号码由6个 红色球号码和1个蓝色球号码 组成。红色球号码从1--33中选 择;蓝色球号码从1--16中选择 。 那么我们中奖的几率有多大!

上海

问题1.从南京到上海,有3条公路,2条铁路, 那么从南京到上海共有多少种不同的方法 ?

上海

宁波

问题1 从南京去上海,可以乘火车,也可以乘汽车.一天 中,火车有 2 班,汽车有 3 班,那么一天中乘坐这些交

通工具从南京到上海有多少种不同的选择?
火车 南京 上海 1.要完成什么事?

汽车

解 2+3=5(种)

2.完成这件事有几类不 同的办法? 3.每类办法中又有几种 方法? 4.完成这件事共有多少 种不同的方法?

(一)分类计数原理(加法原理)
有n 类办法 共有多少种不同的方法

第 1 类办法中 有 m1 种不同的方法 完 成 一 件 事 第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法 …… 第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法 N=m1+m2+…+mn

例1 书架上层有不同的数学书 15 本,中层有不同的语文 书 18 本,下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书, 问有多少种不同的取法?

有三类取法
第 1 类,从上层 15 本数学 书任取一本,有 15 种取法

共有多少种不同的取法

任 取 一 本 书

第 2 类,从中层 18 本语文 书任取一本,有 18 种取法
第 3类 第 类,从下层 7 本物理 书任取一本,有 7 种取法

N=15+18+7 =40(种)

?

例2

某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组,甲组 9

人,乙组 11 人,丙组 10 人,丁组 9 人.现要求该班选 派一人去参加某项活动,问有多少种不同的选法?
有 4 类办法 共有多少种不同的选法

第1类办法从甲组选1人 第1类办法有9选法 选 一 人 参 加 第2类办法从乙组选1人 第2类办法有11选法 N=9+11+10+9=39(种) 第3类办法从丙组选1人 第3类办法有10选法 第4类办法从丁组选1人 第4类办法有9选法

练习:p146

1.(1)、(2)(3)

上海

问题2.增加杭州游,从南京到杭州的路有 三条,由杭州到上海的路有两条.问:从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法?

杭州

上海

问题2:增加杭州游,从南京到杭州的路有三条,由杭州到上 海的路有两条.问:从南京经杭州到上海有多少种不同的方 法? a3 b2 B C a2 A b1 a1 问题(1):本题中要完成一件什么事? 问题(2):由 南京地去上海地有 2 个步骤, 第一步:由 南京地到 杭州 地,有 3 种不同的走法; 第二步:由 杭州 地到 上海 地,有 2 种不同的走法.

问题(3):完成这件事有多少种不同的方法?

解 3 × 2=6 (种).

(二)分步计数原理(乘法原理)
有 n 个步骤 共有多少种不同的方法

第 第 2 1 步 步 有 有 完 m2 m1 成 一 → 种 → 种 → …→ 不 不 件 同 同 事 的 的 方 方 法 法

第 n 步 有 mn 种 → 不 同 的 方 法

N= m1 × m2 × … × mn

例3 书架上层有不同的数学书15本,中层有不同的语文书18本, 下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一 本,问有多少种不同的取法?
有三个步骤
第1步, 从上层 15本数 学书任 取一本, 有15种 取法; 第2步, 从中层 18本语 文书任 取一本, 有18种 取法; 第3步, 从下层 7 本 物 理书任 取一本, 有 7 种 取 法 .

共有多少种不同的取法

各 取 一 本 书

?

N=15×18×7=1890

例4

某农场要在4种不同类型的土地上,试验种植A,B,C,

D这4种不同品种的小麦,要求每种土地上试种一种小麦,问 有多少种不同的试验方案?
有4个步骤
第 1 块地 有 4 种小 麦可 以种 第 2 块地 有 3 种小 麦可 以种。 第 3 块地 有 2 种小 麦可 以种。 第 4 块地 有 1 种小 麦可 以种。

共有多少种不同的取法

各 种 一 种 小 麦

? ? ?

N=4×3×2×1=24种

依据分步计数原理, 可知有4×3×2×1=24 种不同的试验方案.

例5 某人要设置一个6位数字密码,每位都可以在 数字 0,1,2,…,9 中任意选。那么共可以设置多 少个不同的密码?

第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 第6位

? ? 10 × 10


×

? 10

×

10 ?

×

10 ?

×

? 10

根据分步计数原理,
组成不同的密码的个数共有 10×10×10×10×10×10=106 (个).

练习: p146
1.(4)、2、4

两个原理的共同点与不同点

分类计数原理(加法) 分步计数原理(乘法)
相同 点
都是研究完成一件事,共有多少种不同的方法

完成一件事,共有n类 完成一件事,共有n个 区别1 办法,关键词“分类” 步骤,关键词“分步” 每类办法相互独立, 每类方法都能独立的 完成这件事。关键词 “一步就完成” 各步骤的方法相互依赖, 只能各个步骤都完成才 算完成这件事。关键词 “多步才能完成”

区别2

原理示意图:
m1

A

m2
……

B

mn

分类计数原理(加法原理)
A m1 m2 …... mn B

分步计数原理(乘法原理)

例6 甲班有三好学生 8 人,乙班有三好学生 6 人,丙班有三 好学生9人:

(1)由这三个班中任选 1 名三好学生,出席三好学生表 彰会,有多少种不同的选法? (2)由这三个班中各选 1 名三好学生,出席三好学生表 彰会,有多少种不同的选法?

解 (1) 依分类计数原理,不同的选法种数是 N=8+6+9=23;

(2) 依分步计数原理,不同的选法种数是
N=8×6×9=432.

分类计数原理

分步计数原理
两个原理的区别与联系

教材 P 146 习题 3、5


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