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5.9正余弦定理3


5.9正余弦定理3

教学目标: 1、进一步熟悉正余弦定理内容; 2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化; 3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状; 4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。 教学重点:利用正余弦定理进行边角互换。 难点:

1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向 2、三角恒等式证明中结论与条件之间 的内

在联系 的寻求。

正弦定理: = = sin A sin B sin C

a

b

c

余弦定理
b + c -a 2bc co s B = a + c -b 2ac co s C = a + b -c 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2

co s A =

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC

解三角形中常用关系式
A + B + C = ? ? sin ? A + B ? = sin C , co s ? A + B ? = - co s C
sin S ?ABC = 1 2 A +B 2 = co s C 2
2

, co s

A +B 2

= sin

C 2

a b sin C = 2 R sin A sin B sin C

角平分线性质
BD CD = AB AC

A

圆内接四边形对角互补 D
? A +? C =? ? B +? D =?

12

C

B

D

C

A B

随堂练习
1、 在 ? A B C 中 , = = = k, 那 么 k= sin A sin B sin C A、R 2 B 、R C 、4 R 1 D、 R 2 a b c

A

? R 是 ? A B C 外 接 圆半径 ?
2、在△ABC中,bcosA=acosB,则三角形为 C A、直角三角形 B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

3、在△ABC中,若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是 A

A、锐角三角形

B、钝角三角形

C、直角三角形 D、无法确定 4、在△ABC中,下列命题正确的是 D
A 、 若 sin A = 1 2 ? A =30
?

B 、 若 co sA =

1 2

? A =30

?

C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角 D、满足a=18,b=20,A=150o的△ABC一定不存在 5、在△ABC中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为 C A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 (事实上,C为钝角,只有C项适合)

6、在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 A、30o B、60o C、120o D、150o C
7 、 在 ? A B C 中 , 已 知 B = 30 ,b = 50 3 ,c= 150, 那 么 ? A B C 是
?

A、等边三角形 C、等腰三角形

B、直角三角形
1 2

D

D、等腰三角形或直角三角形
?

8 、 在 ? A B C 中 , “ A > 3 0 ” 是 “ sin A >

”的

B

A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

ta n A sin A 9、 ? A B C 中 , = , 那 么 三 角 形 是 _等腰三角形 __________ ta n B sin B

10、在△ABC中,A、B均为锐角,且cosA>sinB,则 钝角三角形 即 △ABC是_______________ sin (9 0 0 ? A ) ? sin B
1 1 、 在 ? A B C 中 , sin A = 2 co sB sin C , 那 么 ? A B C

等腰三角形 是 _______________
1 2 、 已 知 ? A B C 中 , A B = a + b ,A C = a + c ,B C = b + c ,
2 2 2 2 2 2

锐 其 中 a ,b ,c> 0 , 那 么 ? A B C 是 _ _ _ _ 角 三 角 形 。

例 1 、 在 ? A B C 中 , 已 知 a = 4 ,b = 5 ,S ? A B C = 5 3 , 求 c 的 值 。
解 : S= 1 2
? sin C =
? 2

(三维)
?

a b sin C , a = 4 ,b = 5 ,S = 5 3
2S ab
2

=

3 2
2

? C = 60 或 120

?

C = 60 ? c =a +b -2ab cos C =16+25-20=21
? c= 21

C =120 ? c =a +b -2ab cos C =16+25+20=61
2 2 2

?

? c= 61

例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。 D 解:连接BD (例1变式) C
S ABCD = S ?ABD + S ?BCD
= 1 2
?

A B ?A D sin A +

1 2

B C ?C D sin C

A B

? A + C = 180 ? sin A = sin C
S ABCD =
2 2

1 2

? A B ?A D + B C ?C D ? sin A = 1 6 sin A
2 2 2 2 2 2

B D =A B +A D -2A B ?A D cos A =C B +C D +2C B ?C D cos A 2 +4 -2 ? 2 ? 4 cos A =6 +4 +2 ? 6 ? 4 cos A
2

co s A = -

1 2

? sin A =

3 2
S ABCD = 8 3

例 3 、 在 ? A B C 中 , b + c -b c= a 和
2 2 2

c b

=
?

1 2

+

3 , 求 A 和 ta n B 的 值 。

解 : s A= co

b + c -a 2bc

2

2

2

(三维)

=

1 2

? A = 60

1 2

+

3=

c b

=

sin C sin B

=

sin ? 1 2 0 -B ?
?

3 = 2

co s B +

1 2

sin B

sin B

sin B
1 2

1 2

+

3=

3 2

co t B +

1 2

? ta n B =

例 4、 已 知 S ?ABC = 1 , n B = ta

1 2

, ta n C = -2 , 求 ? A B C 的

边长和外接圆面积。
解 : n B= ta 1 2 ta n C = -2 ? sin C = ? sin B = 5

(例1变式)
2 5 5 , co s C = 5 5

, co s B =

5 2 5 5

sin A = sin ? B + C ? = sin B co sC + co s B sin C =
2 2

3 5

5 2 5 12 2 S ? A B C = 1 = 2 R sin A sin B sin C = 2 R ? ? ? = R 5 5 5 25 R =
2

3

25 12

? R=

5 3 6

? S= 15 3

25? 12 , c= 2 15 3

a = 2 R sin A =

3 , b=

例 5 、 在 ? A B C 中 , a + b -c = a b , 且
2 2 2

ta n A - ta n B ta n A + ta n B

=

c-b c

,

试判断三角形的形状。
解 : co sC = ?
ta n A - ta n B ta n A + ta n B =

(三维)
1 2
=

a + b -c 2ab

2

2

2

=

? C = 60

?

sin A co s B - co s A sin B sin A co s B + co s A sin B

sin ? A -B ? sin ? A + B ?

=

sin ? A -B ? sin C

c-b c

=

sin C - sin B sin C

?

sin C - sin B sin C

=

sin ? A -B ? sin C

? sin B = sin C - sin ? A -B ? = sin ? A + B ? - sin ? A -B ? = 2 co s A sin B

co sA =

1 2

? A = 60
?

?

? A = B = C = 60

三角形ABC是正三角形

例6、根据所给条件,判断三角形ABC的形状。 (例1变式)

?1?

a co s A = b co s B

?2?

a

=

b

=

c

co s A
?

co s B

co s C
?

解 : 1 ? sin A co s A = sin B co s B ? sin 2 A = sin 2 B ?

? 2A =2B 或 2A +2B =180 ? A =B 或 A +B = 90

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
2) a co s A = b co s B = c co s C ? sin A co s A = sin B co s B = sin C co s C

tanA=tanB=tanC

∴△ABC是等边三角形

小结 1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形 的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有 一边),那么这个三角形一定可解。 2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换,即 利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角 的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决。 3、判断三角形的形状,一般考虑从两个方向进行变 形。一个方向是边,走代数变形之路,通常正、余弦 定理结合使用;另一个方向是角,走三角变形之路, 通常是运用正弦定理,要注意边角转化的桥梁---正、余弦定理。

4、根据条件选用定理可使解题简便 1)已知两角及其中一个角的对边,选用正弦定理, 如已知A,B,a解三角形,则用正弦定理。 2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角 3)已知两边和它们的夹角,用余弦定理求第三边 再用正弦定理求角。 4)已知两边和一边的对角,用正弦定理求一个角, 但需要进行讨论,有两解的可能。


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