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09级线性代数期末试题A(含答案)


工商管理学院学生会学习部(制)
泉州校区 09—10 学年第一学期

本材料仅供参考
考试日期:2010 年 1 月 5 日

华侨大学 文科线性代数期末考试试题(A)
院(系)别 题目 一 专业 二 三 四 学号 五 六 姓名 七 总分

得分

一.填空题(本题共 8

小题,每空 4 分,满分 32 分,将答案直接填在题中横线上)

1 1 1 1 ? 2 (?2) 2 1、四阶行列式 1 3 32 1 4 42
2

1 (?2) 3 = 33 43

.

2、已知方阵 A 满足 A ? 3 A ? 5E ? O ,则 ( A ? E) ?1 =

.

? 3 5 0? ?1 0 2 1? ? ? ? ? 3、设 A ? ? 2 4 0 ? , B ? ? 0 2 5 9 ? ,则 R( AB) = ?0 0 1? ?0 0 3 0? ? ? ? ?
4、当 k =__________,向量组 ?1 ? ?k , 1, 1? , ? 2 ? (1,
T

.

? 2, 1)T , ? 3 ? (1, 1, 2)T 线

性相关.

5、设二阶方阵 A 满足 A ? A ,则 A 的两个特征值为
2

.

6、设 A 为三阶方阵,且 | A

?1

|? 2 ,则 | (2 A) ?1 ? 3A* | =
矩 阵 可 对 . 角 化 的 充

.

7 是







n















8、设 m? n 矩阵 A 的秩为 n ? 1 ,且 ? 1 , ? 2 是齐次线性方程组 Ax ? 0 的两个不同的解,则

Ax ? 0 的通解为

.

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A. C.

k?1 , k ? R k (?1 ? ? 2 ). k ? R

B. D.

k? 2 , k ? R k (?1 ? ? 2 ). k ? R

※以下各题必须在答题纸上作答,并在每张答题纸上标明:专业、姓名、学号※
1 1 1 ? 1 ?1 2 0 ? 0 二. (本题满分 8 分) 计算 n 阶行列式 Dn ? ? 1 0 3 ? 0 . ? ? ? ? ? ?1 0 0 ? n
? 0 3 3? ? ? 三. (本题满分 12 分) 已知 AB ? A ? 2 B ,其中 A ? ? 1 1 0 ? ,求矩阵 B . ? ?1 2 4? ? ? ?(2 ? ? ) x1 ? 四. (本题满分 16 分) 设有线性方程组 ? 2 x1 ? ? 2x 1 ? ? 2 x2 ? (5 ? ? ) x 2 ? 4 x2 ? 2 x3 ? 4 x3 ? (5 ? ? ) x3 ?1 , ?2 , ? ?? ? 1 .

问 ? 为何值时,此线性方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解?并在有无穷多解时 求方程组的一个特解? * 及其对应的齐次线性方程组的基础解系. 五. (本题满分 12 分) 设有向量组 A : ?1 ? (1,

? 2, 1, 1)T , ? 2 ? (1, ? 1, 1,

1 T ) , 2

? 3 ? (? 2, 4, ? 3, ? 2)T ,? 4 ? (? 3, 8, ? 6, ? 4)T .试求向量组 A 的一个最大无关组,并
将其余向量用所求的最大无关组线性表示. 六. (本题满分 5 分) 设 A 为 n 阶实对称矩阵,若 A ? 4 A ? 3E ? O ,证明: A ? 2 E 是正交矩阵.
2

?2 0 0? ?2 0 0 ? ? ? ? ? 七. (本题满分 15 分) 设 A = ? 0 0 1 ? 与 B ? ? 0 y 0 ? 相似 ?0 1 x? ? 0 0 ? 1? ? ? ? ?
(1)求 x , y 的值; (2)求一个正交矩阵 P ,使 P AP ? B .
?1

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华侨大学
2009 级线性代数期末考试参考答案与评分标准(A)
一.填空题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分)
1、 ? 540 5、 0 和 1 2、

1 ( A ? 2E ) 7

3、 3

4、

2 5

6、 16

7、矩阵有 n 个线性无关的特征向量 8、 D

二.

(本题满分 8 分)

1?
解: Dn ?
1 C1 ? Ci i i ? 2 ,?n

?

1 1 ??? 2 n 0 0 ? 0

1 1 ? 1 2 0 ? 0 0 3 ? 0 ? ? ? ? 0 n 1 = n!? ……………….…………………..8 分 0 k ?1 k ? n

三. (本题满分 12 分) 解:由 AB ? A ? 2 B 得 ( A ? 2E) B ? A ……………….………………..2 分
? 1 0 0? ?3 0 6 ? ? ? 而 ? A ? 2E ? A? ? ? ? ? 0 1 0? ?4 ?1 6 ? ,得 B ? ? 0 0 1? 2 2 ?1? ? ?
四. (本题满分 16 分) 解:

6? ??3 0 ? ? ? ? 4 ? 1 6 ? …….……………..12 分 ? 2 2 ? 1? ? ?

| A| ?

r3 ? r1

2?? 2 0

2

?2

5?? ?4 ? 1? ? 1? ?

c 2 ? c3

2?? 2 0

4 9?? 0

?2 ? 4 = ? (? ? 1) 2 (? ? 10) ……………...3 分 1? ?

(1)

当 A ? 0 时,即 ? ? 1 且 ? ? 10 时,方程组有唯一解. ..………………………....…6 分

(2)

? 2 ? 5 ? 4? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? , R( A) ? 2 ? R( B) ? 3 ,方程组无解 9 分 当 ? ? 10 时, B ? ( A?b) ? ? 0 2 ?0 0 0 ?1 ? ? ? 2 ? 2? 1 ? ? 1 ? 1 2 ? 2?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? 2 ? ? ? 0 0 0 ? 0 ? , 当 ? ? 1 时, B ? ( A?b) ? ? 2 ? ? 2 ? 4 4 ?? 2 ? ? 0 0 0 ?0 ? ? ? ? ?

(3)

R( A) ? R( B) ? 1 ? 3 ,方程组有无穷多解………………..…..……………………..…..……12 分
此时,对应最简方程组为 x1 ? ?2 x2 ? 2 x3 ? 1 ,令 ? ?

? x2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ,对应 x1 ? 1 . ? ? ? ? x3 ? ? 0 ?

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得到? * ? (1,

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0, 0)T 为方程组的一个特解. . ..…………………..…..………..…..……14 分
? x2 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ?, ? ? ,对应 x1 ? ?2 ,2. ? ? ?? ? ? x3 ? ? 0 ? ? 1 ?

对应齐次线性方程组的最简形式为 x1 ? ?2 x2 ? 2 x3 ,令 ? ? 得到 ?1 ? ? 2, 1 0), ? 2 ? (2, ( , T

0, 1)T 为齐次线性方程组的基础解系……………16 分

五. (本题满分 12 分) 解:以 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 为列向量作矩阵 A

1 ? 2 ? 3? ? 1 ? 1 ? ? 8 ? ?0 ? ? 2 ?1 4 ? A?? 1 1 ? 3 ? 6? ? ? 0 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 4? ? 0 2 ? ? ?

1 ? 2 ? 3? ? 1 0 ? ? 1 0 2 ? ?0 1 ? 0 1 3 ? ?0 0 ? ? 0 0 0 ? ?0 0 ? ?

0 0 1 0

1? ? 2? ……………………6 分 3? ? 0? ?

R( ?1? 2? 3? 4 ) ? 3 , ?1 , ? 2 , ? 3 为 A 的一个最大无关组……………………………………9 分

? 4 ? ?1 ? 2? 2 ? 3? 3 …………………………………………………………………………12 分
六. (本题满分 5 分) 证明: 由于 ( A ? 2E)T ( A ? 2E) ? ( AT ? 2E)( A ? 2E) ? ( A ? 2E)( A ? 2E) ? A2 ? 4 A ? 4E ? E 所以 A ? 2 E 为正交矩阵…………………………………………………………………..7 分 七. (本题满分 15 分) 解: (1)由于 A 与 B 相似,其特征多项式相同, | A ? ?E |?| B ? ?E |

2?? 0 0

0 ?? 1

0 1 ? x??

2?? 0 0

0 y?? 0

0 0 得到 ?1? ?

(2 ? ? )[?? ( x ? ? ) ? 1] ? (2 ? ? )( y ? ? )(?1 ? ? )
当 ? ? ?1 时,得 x ? 0 ,当 ? ? 1 时,得 y ? 1 ………………………….. …………………5 分 (2) A 的特征根为 ?1 ? 2 , ?2 ? 1 , ?3 ? ?1 ,解线性方程组 ? A ? ? E ? x ? O ,可分别得基础 解系: ?1 ? ?1, 0, 0 ? , ? 2 ? ? 0,1,1? , ? 3 ? ? 0,1, ?1? ,显然 ?1 , ? 2 , ? 3 正交,……………11 分
T T T

单位化得 P ? (1, 1

0, 0)T , P2 ?

1 2

(0, 1, 1)T , P ? 3

1 2

(0, 1, ?1)T .,………………14 分

?1 0 0 ? ?2 ? ? ? ? ? ?1 1 取 P ? ? 0 1 1 ? ,即有 P AP ? ? ? ? B …………….. ……… …………15 分 ? 0 1 ? 1? ? ? 1? ? ? ? ?
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