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玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题(理科)参考答案 (2)


玉溪一中 2014 届高三上学期期中考试数学试题(理科) 参考答案
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 . 1. C ; 7. A ; 2. D ; 8. D ; 3. B ; 9. A ; 4. B ; 10. C ; 5. C ; 11. B ; 6. B ; 12. A .

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. -10; 14. (x-2) 2 + y 2 =
4 ; 5

15. -

2 3 ; 3

16. (-∞, -

3 3 ]∪ [ , +∞) . 2 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理,设 sin A = sin B = sin C = k, 则
2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A = = , b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A = , cos B sin B a b c

所以

即 (cos A -2cos C ) sin B =(2sin C -sin A ) cos B , 化简可得 sin (A +B ) =2sin (B +C ) . 又 A +B +C =π , 所以 sin C =2sin A . 因此 sin A = 2 . (Ⅱ)由 sin A = 2 得 c =2a . 由余弦定理 b 2 = a 2 +c 2 -2a c cos B 及 cos B = ,b=2, 得 4=a 2 +4a 2 -4a 2 × . 解得 a=1,从而 c=2 . 又因为 cos B = ,且 0< B< π ,所以 sin B = 因此 S = a c sin B = ×1×2× 18.(本小题满分 12 分)
·1·

sin C

sin C

1 4

1 4

1 4

15 , 4

1 2

1 2

15 15 = . 4 4

2 解: (Ⅰ)从 15 名教师中随机选出 2 名共有 C15 种选法,

所以这 2 名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是 C 2 = 35 . 15 (Ⅱ)由题意知,ξ 的所有可能取值为 0, 2 . 1, 则 P ( =0) = C2 = 35 ;P ( =1) = C2 = 105 ;P ( =2) = C2 = 105 . ξ ξ ξ 15 15 15 故ξ 的分布列为 ξ P 0
26 35 26 26
2 C13

C1 C1 6 4

8

26

C1 C1 2 13

26

0 C 2 C13 2

1

1
26 105 1 4

2
1 105

所以ξ 的数学期望 E = 0× 35 +1× 105 +2× 105 = 15 . ξ 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ BF⊥平面 AEC,∴ BF⊥ AE, ∵ 二面角 D —AB—E 为直二面角, ∴ 平面 ABCD⊥平面 ABE, 又 BC⊥ AB,∴ BC⊥平面 ABE,∴ BC⊥ AE, 又 BF∩BC=B,∴ AE⊥平面 BCE . (Ⅱ)连接 BD 交 AC 于点 G,连接 FG, ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ BD⊥ AC, ∵ BF⊥平面 ACE,∴ BF⊥ AC, 又 BD∩BF=B,∴ AC⊥平面 BFG . ∴ FG⊥ AC,∠FGB 为二面角 B —AC—E 的平面角,由(Ⅰ)可知,AE⊥平面 BCE , ∴ AE⊥ EB,又 AE=EB,AB=2,∴ AE=BE= 2 , 在直角三角形 BCE 中,CE= BC 2 ? BE 2 = 6 ,BF= 在正方形 ABCD 中,BG= 2 ,
2 BF 6 3 在直角三角形 BFG 中,sin∠FGB= BG = = . 3 2
BC ? BE 2 2 2 = = , CE 6 3

即二面角 B —AC—E 的正弦值为

6 . 3
·2·

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG,点 D 到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离,而 BF⊥平面 ACE,则线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离,即为点 D 到平面 ACE 的距离 . 故点 D 到平面 ACE 的距离为 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)令 f′ (x)= ln x +1=0 得 x= e , ① 当 0< t< e 时,函数 f (x) 在 ( t,e ) 上单调递减,在 ( e , t+2) 上单调递增, 此时函数 f (x) 在区间 [t, t+2]上的最小值为 f ( e ) =- e ; ② 当 t ≥ e 时,函数 f (x) 在[t, t+2 ]上单调递增, 此时函数 f (x) 在区间 [t, t+2]上的最小值为 f (t)=t ln t . (Ⅱ)由题意得,f (x) -g (x) = x ln x +x 2 -a x +2=0 在 (0, +∞) 上有且仅有一个根,即 a = ln x +x + x 在 (0, +∞) 上有且仅有一个根,
x2 ? x ? 2 2 1 2 1 令 h (x)= ln x +x + x ,则 h (x)= x +1- x 2 = ′ = x 2 (x+2) (x-1) , x2

2 3 2 = . 3 3

1

1

1

1

1

1

1

2

易知 h (x)在 (0, 上单调递减,在(1, 1) +∞) 上单调递增, 所以 a =h (x) m i n =h (1 )=3 . 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f′ (x)= [x 2 +(a-1) x -a]e x = (x+a) (x-1) e x , ∵ a ≥1, ∴ 当 x∈(-∞, -a) 时,f (x)递增,当 x∈(-a, 时,f (x)递减,当 x∈(1, 1) + ∞) 时,f (x)递增 . ∴ 函数 f (x)的极大值点为 x 1 =-a,极小值点为 x 2 =1, 而 f (1)= (1-a) e ≤0,f (-a)=
a?3 > 0, ea 3? a

令 h (x)= x 2 +(a-3) x -2a+3 ,则其图象的对称轴为 x = 2 > -a,h (-a)=a+3> 0, ∴ 当 x ≤-a 时,h (x)= x 2 +(a-3) x -2a+3 > 0,∴ f (x)> 0 . 当 x > -a 时,f (x)的最小值为 f (1)= (1-a) e ≤0 . ∴ f (x)的最小值是(1-a) e . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ≥1 时,f (x) 在 (0, +∞) 上的值域是 [(1-a) e, +∞) ,当 0≤ a< 1
·3·

时,f (x) 在 (0, +∞) 上的值域是 (0, +∞) . 而 g (x)= 2-a- x -

4 4 ≤3-a- 2 ( x ? 1) ? = -a-1,当且仅当 x = 1 时,等号成立, x ?1 x ?1

故 g (x)在 (0, +∞) 上的值域为(-∞, -a-1], ∴ 当 a ≥1 时,令 (1-a) e- (-a-1) < 1,并解得 a> 当 0< a< 1 时,令 0- (-a-1) < 1,无解 . 因此,a 的取值范围是(
e , +∞) . e ?1 e , e ?1

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系,易得圆 C 的直角坐标方程是 x 2 +y 2 = 16, 直线 l 的直角坐标方程是 3 y+x-6=0, 圆心 C (0 , ) 到直线 l 的距离 d = 0
? ?6 ? ( 3) 2 ? 1

=3,

∴ 圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 3+4=7 . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由题意可得|x -2a|< 1 可化为 2a -1< x < 2a +1, 即 ?2a ? 1 ? 3 ,解得 a =1 .
? ? 2a ? 1 ? 1

(Ⅱ)令 g (x) =f (x) +x =|x -2a|+x = ?2a,x ? 2a
?

?2 x ? 2a,x …2a



所以函数 g (x) =f (x) +x 的最小值为 2a, 根据题意可得 2a < 3,即 a < 2 , 所以 a 的取值范围为(-∞,2 ) .
3 3

·4·


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