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高二数学第三章同步检测3-2-1


3.2

第 1 课时 均值不等式
基础巩固

一、选择题 1.若 x∈R,则下列不等式成立的是( A.lg(x2+1)≥lg2x C. 1 <1 x +1
2

)

B.x2+1>2x D.2x≤ (x+1)2 2

[答案] [解析]

>
D A 中,x≤0 时,不等式不成立;B 中 x=1 时,不等式

不成立;C 中 x=0 时,不等式不成立,故选 D. 2.下列函数中,最小值为 4 的是( 4 A.f(x)=x+x C.f(x)=3x+4×3 [答案] [解析] C A、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不能
-x

)

x2+5 B.f(x)=2× 2 x +4 D.f(x)=lgx+logx10

x2+4+1 x2+5 1 =2×( x2+4+ 2 )≥4, 取等号,f(x)=2× 2 =2× 2 x +4 x +4 x +4 要取等号,必须 x2+4= 除.故选 C. 3.(2011·陕西文)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< ab< C.a< ab<b< [答案] B a+b 2 a+b 2 B.a< ab< a+b <b 2 ) 1 ,即 x2+4=1,这是不可以的,排 x +4
2

a+b D. ab<a< <b 2

[解析]

a+b ∵0<a<b,∴a< <b, 2

A、C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,故选 B. 4.设 x,y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( A.10 C.4 6 [答案] [解析] D x+y=5,3x+3y≥2 3x·3y=2 3x y=2 35=18 3. ) D.1


)

B.6 3 D.18 3

x 5.函数 f(x)= 的最大值为( x+1 A. 2 5 B B. 1 2 C. 2 2

[答案] [解析]

本题考查均值不等式求最值,注意均值不等式求最值时

必须具备的三个条件:一正、二定、三相等. ∵函数 f(x)的定义域为[0,+∞), ∴当 x=0 时,f(0)=0. 当 x>0 时,f(x)= x = x+1 1 ≤ , 1 2 x+ x 1

当且仅当 x=

1 1 ,即 x=1 时 f(x)取最大值 . 2 x 1 ( x-4 ) B.有最小值 6 D.有最小值 2

6.若 x>4,则函数 y=x+ A.有最在值-6 C.有最大值-2 [答案] B

[解析] 2

∵x>4,∴x-4>0,∴y=x-4+

1 +4≥ x-4

1 (x-4)· +4=6. x-4 1 ,即 x-4=1,x=5 时,取等号. x-4

当且仅当 x-4= 二、填空题

t+1 1 7.设实数 a 使 a2+a-2>0 成立,t>0,比较 logat 与 loga 的 2 2 大小,结果为________________. [答案] [解析] t+1 1 logat≤loga 2 2 ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1

又 a>0 且 a≠1,∴a>1 ∵t>0,∴ t+1 t+1 1 ≥ t,∴loga ≥loga t= logat, 2 2 2

t+1 1 ∴ logat≤loga 2 2 8.函数 y=x·(3-2x) [答案] [解析] [ 9 8 ∵ 0≤x≤1 ∴ 3 - 2x > 0 1 1 ∴ y = 2x·(3 - 2x)≤ 2 2 (0≤x≤1)的最大值为______________.

2x+(3-2x) 2 9 3 ] = ,当且仅当 2x=3-2x 即 x= 时,取“=”号. 2 8 4 三、解答题 9.已知:a、b、c∈(0,+∞)且 a+b+c=1,试比较 a2+b2+

1 c2,ab+bc+ca, 的大小. 3 [解析] ∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,

∴2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc ∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc. ①式两边分别加入 a2+b2+c2 得: 1 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,∴a2+b2+c2≥ , 3 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2ab+2ac =(a+b+c)2=1, 1 ∴ab+bc+ca≤ . 3 1 综上知,a2+b2+c2≥ ≥ab+bc+ca. 3 x2+7x+10 10.求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1 [解析] ∵x>1,∴x+1>0..



x2+7x+10 (x+1)2+5(x+1)+4 = ∵y= x+1 x+1 =(x+1)+ 4 +5≥2 x+1 1 (x+1)· +5=9 x+1

当且仅当 x+1=

4 ,即 x=1 时,等号成立. x+1

x2+7x+10 (x>-1),取得最小值为 9. ∴当 x=1 时,函数 y= x+1

能力提升
一、选择题 1.设 x+3y=2,则函数 z=3x+27y 的最小值是( A. 2 3 D ∵x+3y=2,∴x=2-3y. B.2 2 C.3 D.6 )

[答案] [解析]

∴z=3x+27y=32 9 y y=27 , 27

-3y

+27y=

9 +27y≥2 27y

9 ·27y=6,当且仅当 27y

1 即 27y=3,∴33y=3,∴3y=1,∴y= . 3 1 即 x=1,y= 时,x=3x+27y 取最小值 6. 3
?a+b? 1 ?, 2.若 a>b>1,P= lga·lgb,Q= (lg a+lg b),R=lg ? 2 ? 2 ?

则(

) A.R<P<Q C.Q<P<R [答案] [解析] B 由 a>b>1,得 lga>lgb>0, B.P<Q<R D.P<R<Q

1 Q= (lga+lgb)> lga·lgb=P, 2 a+b 1 )>lg ab= (lga+lgb)=Q, R=lg( 2 2 ∴R>Q>P. 二、填空题 3.已知 a>0,b>0,a+b+3=ab,则 a+b 的最小值为________. [答案] [解析] 6 ∵a>b,b>0,a+b+3=ab,

a+b 2 ), ∴a+b+3=ab≤( 2 ∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0, ∴a+b≥6. 4.函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线


1 1 mx+ny-1=0(mn>0)上,则m+n的最小值为________. [答案] [解析] 4 函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1).


∴m+n-1=0,即 m+n=1. 1 1 n m 1 1 又 mn>0,∴m+n=(m+n)·(m+n)=2+(m+ n )≥2+2=4,当 1 且仅当 m=n= 时,等号成立. 2 三、解答题 1 1 1 5.已知 a<0,b<0,c<0,且 a+b+c=-1,求a+b+c 的最大 值. [解析] ∵a<0,b<0,c<0 且 a+b+c=-1,

b 1 1 1 -(a+b+c) -(a+b+c) -(a+b+c) + + =-3-(a ∴ a+ b + c = a b c a c a c b +b+a+ c +b+ c)≤-3-(2+2+2)=-9. 1 当且仅当 a=b=c=- 时,等号成立. 3 b2 6.设 a≥0,b≥0,a + =1,求 a 1+b2的最大值. 2
2

[解析]

b2 ∵a + =1, 2
2

1+b2 3 = , 1+b2= 2·a· a ∴a + 2 2
2

1+b2 3 a+ 2 1+b 2 2 ≤ 2· = 2· 2 2 2
2



3 2 . 4 b2 ∴当 a + =1 且 a= 2
2

1+b2 , 2

即 a=

2 6 3 2 ,b= 时,a 1+b2的最大值为 . 2 3 4

7.甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进 电脑芯片.甲、乙两公司共购芯片两次,每次的芯片价格不同,甲公 司每次购 10000 片芯片,乙公司每次购 10000 元芯片,两次购芯片, 哪一家公司平均成本低?请给出证明. [解析] 设第一、二次购芯片的价格分别是每片 a 元和 b 元,那

么甲公司两次购芯片的平均价格为 10000(a+b) a+b = , 2 20000 乙公司两次购芯片的平均价格为 2 20000 = . 10000 10000 1 1 a+ b a + b ∵a>0,b>0,a≠b, ∴ a+b > ab. 2 1 2 = , ab ab

1 1 又a+b>2 ∴ 2

< ab. 1 1 a+ b a+b 2 > . 2 1 1 a+ b



∴乙公司的平均成本低.


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