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高中数学竞赛


专题六 空间向量 简单几何体 一 能力培养 1,空间想象能力 二 问题探讨 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力 问题 1(如图)在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中, (1)求异面直线 A1 B 与 B1 C 所成的角的大小; D (2)求异面直线 A1 B 与 B1 C 之间的距离; (3)求直线 A1 B 与平面 B1 CD 所成的角的大小;

D (4)求证:平面 A1 BD//平面 C B1 D1 ; (5)求证:直线 A C1 ? 平面 A1 BD; (7)求点 A1 到平面 C B1 D1 的距离; C A B (6)求证:平面 AB C1 ? 平面 A1 BD; (8)求二面角 A1 ? B1 C ? D1 的大小. A B C 问题 2 已知斜三棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的侧面 A AC C1 1 0 与底面垂直, ?ABC ? 90 , BC ? 2 , AC ? 2 3 , B A C 且 A A ? A C, A A = A C. 1 1 1 1 (1)求侧棱 A A 和底面 ABC 所成的角的大小; 1 (2)求侧面 A AB B1 和底面 ABC 所成二面角的大小; 1 A (3)求顶点 C 到侧面 A AB B1 的距离. 1 B C 1 三 习题探讨 选择题 1 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为 a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为 A, 8 3 a 27 B, 8 3 3 a 27 C, a 1 3 3 D, a 8 9 3 2 夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为 A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3 设二面角 ? ? a ? ? 的大小是 60 ,P 是二面角内的一点,P 点到 ? , ? 的距离分别为 1cm, 0 2cm,则点 P 到棱 a 的距离是 A, 2 21 cm 3 B, 21 cm 3 C, 2 cm 3 D, 4 21 cm 3 A 4 如图,E,F 分别是正三棱锥 A ? BCD 的棱 AB,BC 的中点,且 DE ? EF.若 BC= a ,则此正三棱锥的体积是 a3 A, 24 C, B, 2 3 a 24 B E D F C 2 3 a 12 D, 3 3 a 12 5 棱长为的正八面体的外接球的体积是 A, ? 6 B, 4 3 ? 27 C, 8 2 ? 3 D, 2 ? 3 填空题 6 若线段 AB 的两端点到平面 ? 的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面 ? 的位置关系是 . 7 若异面直线 a , b 所原角为 60 ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 a , b 上到 A,B 距离为 2 和平共处的两点,当 EF ? 3 时,线段 AB 的长为 . 0 8 如图(1),在直四棱柱 A B1C1D1 ? ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 1 时,有 A C ? B1 D1 (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 1 2 A B AC B C 图(1) D D D E N F C A M 图(2) B 9 如图(2

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