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18高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)(三课时)


高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言

构造法

反证法

数学归纳法

课外思考一 课外思考二课外思考三

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高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学,通 常的情况是,在一般思维规律的

指导下,灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中, 经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证 法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原 理??) ,同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说: “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学 技巧的技巧, 又是创造数学技巧的技巧, 更确切点说, 这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平 的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”
2

构造法: 它的基本形式是:以已知条件为原料、以所 求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得 问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形, 构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例, 构造抽屉,构造算法等.

前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但 怎样“构造”,却没有通用的构造法则.下面通过 实例说明.
3

思考1,2

思考3

思考4,5

思考6

思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a , b, c 满足
? a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ? ,那么 a 的取值范围是( D ) ? 2 b ? c 2 ? bc ? 6a ? 6 ? 0 ? ? (A) ( ??, ??) (B) ? ?? ,1? ? ? 9, ?? ? (C) (0, 7) (D) ?1, 9 ?

思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x , y ? R ,且满足
? ( x ? 1)2003 ? 2002( x ? 1) ? ?1 ? 3 ,则 x ? y ? _____ . ? 2003 ? ( y ? 2) ? 2002( y ? 2) ? 1 ?
4

思考 3: 若 a ? 1, b ? 1, c ? 1 , a , b, c 为实数, 求证: ab ? bc ? ac ? ?1

构造一次函数 f ( x ) ? (b ? c ) x ? bc ? 1

还有没有其他方法

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思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 ? ? 3 ? 0, n ? n ? 3 且 ? n 2 , m m m 4 2 mn ? n 3 构造一元二次方程. 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x, y, z 为正数 且 xyz( x ? y ? z ) ? 1 ,求表达 式 ( x ? y )( y ? z ) 的最小值. 构造三角形的面积.

2

6

思考 6: 将数字 1,2,3,?,n 填入 n 个方格里,每格一个数字, 则标号与所填数字均不相同的填法有多少种? 令 an 符合条件的填法数,增加数 n ? 1 和标号为 n ? 1 的方格.
对于 a n 中每一个填法,我们将第 k 格的数移到第 n ? 1 格,而将 n ? 1 填入第 k 格,得符合条件的填法 nan 种; 对于 n 个数时,仅有第 k 格填入的数是 k (1 ≤ k ≤ n) , 其他 n ? 1 个数填法符合条件为 an?1 ,我们也将第 k 格的数移 到第 n ? 1 格,而将 n ? 1 填入第 k 格,得符合条件的填法 nan ?1 种,于是,共有 an?1 ? nan ? nan?1 ,易知 a1 ? 0, a2 ? 1 . ?

1 an ? n ! ? ( ?1) ( n ≥ 2) 为所求. i! i ?1 课外思考一
i

?

?n

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反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是 就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从 “正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们 通常所说的——反证法,是间接证法的一种,它是数 学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的. 反证 法被人们誉为 “数学家最 精良的武器之 一.”,是证明数学命题的一种重要方法,对于那些 含有否定词的命题, “至少”型命题、唯一性命题, 尤为适宜.
8

思考1

思考2

思考3

什么是反证法?
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理, 最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命 题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假设 出发,经过正确的推理, ..

归谬

导出矛盾;

推理过程中一定要用到才 行 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 结论
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3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定 命题的结论正确.
思考1 思考2 思考3

思考 1: 设 a1 , a2 ,? , a7 是1, 2,? , 7 的一个排列, 求证: (a1 ? 1)(a2 ? 2)?(a7 ? 7) 必是偶数.

构造: a1 ? 1 ? a2 ? 2 ? ? ? a7 ? 7 是偶数

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思考 2: 求证:在四面体 ABCD 中,必有某个顶点 ,从它发出 的三条棱作为三边 可以构成一个三角形.

从最大棱的角度来分析突破

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思考 3:(1997 年全国高中联赛题) 设双曲线 xy ? 1 的两支为 C1、C 2 ,如图,正三角形 P QR 三顶点位于此双曲线上. ⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上. ⑵设 P (?1, ?1) 在 C 2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的 坐标.

⑴用反证法 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ) 不妨设 0 ? x1 ? x2 ? x3 则 y1 ? y2 ? y3 ? 0

y

?Q

y? x
C1 ?R x

?P

⑵关键证明 Q与R 关于直线 y ? x 对称 C2

课外思考二

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数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法): ⑴验证 p( n0 ) 成立; ⑵假设 p( k ) ( k ≥ n0 )成立,那么可推出 p( k ? 1) 也成立. 形式 2(第二数学归纳法): ⑴已知命题 P ( n0 ) 成立; ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P ( n) 都成立,则 P ( k ? 1) 成立; 由(1) (2)可知命题 P ( n) 都成立. 还有其他形式 (如跳跃数学归纳法): ? ⑴验证 p(n0 )、p(n0 ? 1)、p(n0 ? 2)、 、p(n0 ? r ? 1) ; ⑵假设 p( k ) ( k ≥ n0 )成立, 那么可推出 p(k ? r ) 也成立.

下面通过练习来品味其中的思维.
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思考1

思考2

思考3

思考 1: 设 a、b 为正整数, n 为正整数, n n a ?b a?b n ≥( ) 试证: 2 2

注: 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法 证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思.
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思考 2(教程第 159 页练习 3): 设 p 为不小于 3 的正整数,并记方程
x ? ( p ? 1) x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,
2

证明:对任何 n ? N , x 1 ? x2 都是不能
*

n

n

被 p 整除的正整数.
先用数学归纳法证明是正整数, 然后再用数学归纳法证明不能整除. 这一步要巧用“第二数学归纳法”形式.
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思考 3: 平面内有 n 个两两相交的圆,并且任意 三个圆不经过同一点,试问:这 n 个圆把平 面分成多少个区域? 2

n ? n? 2

先猜后证,这数学发现的方法.
关于n的命题证明可考虑用数学归纳法 尝试,这是数学思维的一个重要策略.

课外思考三

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课外思考一:

a b c 1.设 a、b、c 为三角形的三边,求证: . ? ? 1? a 1? b 1? c 2.若 ?、? 、? 为锐角,且 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? ? , 3 2 2 2 求证: cot ? ? cot ? ? cot ? ≥ . 2 3.某中学准备组建一个 18 人的足球队,这 18 人由高一年 级 10 个班的学生组成,每个班级至少一个,名额分配方案 共有____种. C 9 ? 24310
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构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.
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课外思考二: 构造 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 ? 4ac 不是完全平方数 2.(第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?

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如 6,6,-15,6,6,6,-16,6,6,-15,6,6,6,-16,6,6

3.(第 29 届俄罗斯数学奥林匹克题)称自然数为“完全数” , 如果它等于自己的所有的不包括自身的正约数之和,例如 6 ? 1 ? 2 ? 3 ,如果大于 28 的“完全数”可被 7 整除,证明 它必可被 49 整除. 7n 的所有正约数可以分为形如 d与7d 的“数对” 4.(1988(第 29 届)年 IMO 试题第 6 题)已知正整数 a 和 b ,使 a 2 ? b2 ab ? 1 整除 a 2 ? b2 ,求证: 是某个正整数的平方. 18 ab ? 1 运用无穷递降法

课外思考三: 1.(教程 P139 例 2)设 a0 , a1 , a2 ,? 是一个正数数列,对一切 n ? 0,1,2,?

1 都有 a ≤ an ? an?1 ,求证:对一切 n ? 1, 2,? ,都有 an ? . n?1 2.(教程 P151 例 2)证明:对一切正整数 n ,不定方程 x 2 ? y 2 ? z n 都有正整数解. 3.若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,都是大于 1 的实数,
2 n

证明: (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )(1 ? a4 )(1 ? a5 ) ? 16(a1a2a3a4a5 ? 1)

2 4.(2002 年全国卷)设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1 ,当 n ? 1,2,3,?

(Ⅰ)当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 a n 的一个通项公式; (Ⅱ)当 a1 ≥ 3 时,求证对所有 n≥ 1 ,有 1 1 1 1 ? ??? ≤ ⑴ an ≥ 2 ; ⑵ 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2
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课外思考题: 1.对于自然数 n ( n≥ 3 ) ,求证: nn?1 ? ( n ? 1)n . 1 2.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 ,求证: 2 ? an ? 2 ? . n 1 1 1 * 3.设 n ? N ,求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 3 n

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