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数学:2.2《等差数列的前n项和》课件2(苏教版必修五)


知识回顾 {an}为等差数列 ? an+1- an=d

? an= a1+(n-1) d

? an= kn + b k、b为常数) (
a、b、c成等差数列 ? b为a、c 的等差中项
a?c ? b? 2

? 2b= a+c

3.更一般的情形,an=

/>am+(n - m) d



d= 4.在等差数列{an}中,由

an ? am n?m

m+n=p+q
m,n,p,q∈N★

am+an=ap+aq

5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = …

引例:1+2+3+…+100=?
10岁的高斯(德国)的算法: ? 首项与末项的和:1+100=101 ? 第2项与倒数第2项的和:2+99=101 ? 第3项与倒数第3项的和:3+98=101 ? ……………………………………… ? 第50项与倒数第50项的和:50+51=101 ? ∴101×(100/2)=5050

再例如:某仓库堆放的一堆钢管,最上面一层有4根钢 管,下面每层都比上面一层多一根,最下面一层有9根, 怎样计算这堆钢管的总数?

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1

(2)

(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)

新课学习

n(a1 ? an ) n( n ? 1) na1 ? d 2 2 ㈠等差数列前n 项和Sn = = .
=an2+bn a、b 为常数

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1

(2)

(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)

①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ; ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ; ③{an}为等差数列? Sn=an2+bn ,这是一个关于 n 的

没有 常数项 的“ 二次函数 ( 注意 a 还可以是 0) ”

例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n,
求证:{an}是等差数列.

三、公式的应用:
根据下列各题中的条件,求相应的等差数 列{an}的Sn (1)a1=5,a50=101,n=50 (2)a1=100,d=-2,n=50
n(a1 ? a n ) ? Sn ? ??(1) 2

S50=2600
S50=2550

n(n ? 1) S n ? na1 ? d ??(2) 2

三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1
5
100

d
10

n
10

an
95
2

sn
500

-2
2

50
15

2550
-360
604.5

-38 14.5

-10 32

0.7

26

1 已知数列?an ?的前n项和为S n ? n ? n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果
2

是,它的首项和公差分别是什么?

解:根据S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an 与S n?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1),
可知,当n ? 1时, 1 ?(n ? 1) 2 ? 1 (n ? 1)? an ? S n ? S n?1 ? n ? n ? ? ? 2 2 ? ? 1 ? 2n ? 2
2

1 已知数列?an ?的前n项和为S n ? n ? n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果
2

是,它的首项和公差分别是什么?

1 3 当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 ? ? 1 ? , 2 2 1 也满足an ? 2n ? , 2 1 所以数列?an ?的通项公式为an ? 2n ? . 2 3 由此可知,数列?an ?是一个首项为 , 2 公差为2的等差数列。
2

例3、等差数列 { a n } 中,S 15 = 90,求 a 8
S15 a1 ? a15 ? ? 15 ? 90 2

即 a 1 + a 15 = 12 即 a 1 + 7d = 6

法一:a 1 + a 1 + 14d = 12 ∴ a 8 = a 1 + 7d = 6

a8 ? a8 a1 ? a15 =6 法二 : a8 ? ? 2 2

归纳:选用中项求等差数列的前 n 项之和 S n

na n ? 1
2 当 n 为奇数时,S n = ____________;

n (a n ? a n ) ?1 2 当 n 为偶数时, S n = _______________________。 2 2

例4、一个等差数列,共有 10 项,其中奇数项的和为 125,
偶数项的和为 15,求 a 1、d。
?a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? a 9 ? 125 由题 ? ? a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ? 15

归纳:等差数列中, n 为奇数,必有
? S奇 ? S 偶 ? a n ?1 ? 2 ? S ? S ? na 偶 n?1 ________________ ? 奇 2 ?

? 5a1 ? ( 2 ? 4 ? 6 ? 8)d ? 125 法一 : ? ?5a1 ? (1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9)d ? 15 ? a1 ? 4d ? 25 ?a1 ? 113 ?? ?? ? d ? ?22 ? a1 ? 5 d ? 3

n 为偶数,必有
nd ? ? S 偶 ? S奇 ? ? 2 ? S 偶 ? S奇 ? S n ?

法二:相减得 5 d = -110

即 d = -22

________________

课堂练习


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