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等比数列的性质终极版


性质1:设an , am为等比数列?an ? 中任意两项, 且公比为q,则an ? am q
n?m

. 或q

n?m

an ? am

注:运用此公式,已知任意两项, 可求等比数列中的其他项

练习、在等比数列 ?a n ? 中,已知 a2 ? 5 , a4 ? 10 ,则公比q的值为________

性质2: 若等比数列{an}的首项为a1 ,公比q, 且 m , n , s , t N+ ?

若m+n=s+t ,则aman=asat

若m ? n ? 2 s , 则 a m a n ? a s .
2

特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=…

证明 则an ? a1q n?1 , am ? a1q m?1 ,
从而an am ? a1 q
2 m? n?2
2 s ?t ? 2

同理可得a s at ? a1 q
又因为m ? n ? s ? t 所以am an ? as at .

要积极 思考哦

例1. 等比数列{an}中,a4=4,则a2·6等于 a ( ) A.4 B.8 C.16 D.32

等比数列的性质
例2

(1)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+

2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于________. (2)等比数列{an}中,若a9=-2,则此数列前17项之 积为________.

【解析】 (1)由等比数列性质 2 a4a6=a5, 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 化为 a2+2a3a5+a2=25 3 5 2 ?(a3+a5) =25(an>0) ?a3+a5=5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 =(a1a17)· 2a16)· 3a15)· a9 (a (a …· =a17=(-2)17=-217. 9

2 a2a4=a3,

?an }{a 2 }、 性质三:{an}是等比数列,则{ n

1 { an}(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列. an

1 公比分别为q, q , q , , q q
2

若{an}是正项等比数列,则{lgan}是等差数 列.公比为 lgq

性质四: 如果 ?an ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列,
? an ? 那么 ?an .bn ?, ? 也是等比数列。 ? ? bn ?

q1 公比分别为q1.q2, q2

性质五: 在等比数列中,序号成等差数列的新数列, 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.即:
例如:{an}是等比数列,则 ①a1,a3,a5,…,a2n-1;②a1+a2,a2+a3, a3+a4,…;③a1a2,a2a3,a3a4,…;④a1+a2,a3 +a4,a5+a6……均成等比数列.

5.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1· 2·3=5,a7· 8·9 a a a a =10,则 a4·5·6=( a a A.5 2
[解题过程]

) B.7 C.6 D.4 2

a1· 2· 3=a23=5 a a

a7· 8· 9=a83=10 a a a4· 5· 6=a53 a a 3 又∵a5 =a2· 8,∴a5 =(a2· 8)2 a a
2 3

1 1 ∴a4· 5· 6=(a23a83)2=(5×10)2=5 2.故选 A. a a

等比数列的设法及求解
三个数成等比数列时,常设这三个数分别为 a, a aq,aq 或 ,a,aq; q
2

四个数成等比数列时,常设这四个数分别为 a, a a aq,aq ,aq 或 3, ,aq,aq3(公比为 q2). q q
2 3

三个数成等比数列,它们的和等于14,它们 的积等于64,求这三个数。
若三个数成等比数列,则设这三个数 a 为: , a,aq. q 再由方程组可得:q=2

1 或 2 既这三个数为2,4,8或8,4,2。

练习

已知三个数成等比数列,它们的积为27,

它们的平方和为91,求这三个数.
解:设这三个数为 a , a, aq q

a ? ? a ? aq ? 27 ? ? q 由题意得: ? a 2 2 ? ( ) ? a 2 ? aq) ? 91 ( ? q ? 解得 a ?3 ? ? ?q ? ?3或者 ? 1 ? 3 ?

若 q=3,则 a1=1;q=-3,则 a1=-1; 1 1 若 q= ,则 a1=9;若 q=- ,则 a1=-9. 3 3 故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3, -1.

例4

有四个实数,前三个数成等比数列,且它

们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们
之和为12,求这四个数.

【思路点拨】

根据三个数成等比数列,可以设

a 三个数为q,a,aq;根据三个数成等差数列且它 们之和为 12,可以设三个数为 4-d,4,4+d.

a a 【解】 法一: 设前三个数为 , aq, · aq=216, a, 则 a· q q 6 3 ∴a =216.∴a=6.因此前三个数为 ,6,6q. q 由题意第 4 个数为 12q-6. 2 ∴6+6q+12q-6=12,解得 q= . 3 故所求的四个数为 9,6,4,2.

法二:设后三个数为 4-d,4,4+d,则第一个数为 1 1 2 (4-d) ,由题意 (4-d)2· (4-d)· 4=216,解得 4 4 4 -d=6.∴d=-2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列
1:

性质1: an=am+(n-m)d
性质2:若an-k,an,an+k是{an}中
的三项, 则2an=an-k+an+k

bm ? b n q m ? n
2 n =

2:若an-k,an,an+k是{an}的
三项,则 b

bn-k?bn+k

性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

3:若n+m=p+q 则bn· m=bp· q, b b

性质4:从原数列中取出偶数项组 4:从原数列中取出偶数项, 成的新数列公差为2d.(可推广) 组成的新数列公比为 .(可 2 q 推广) 性质5: 若{cn}是公差为d′的等差数 5:若{dn}是公比为q′的等 列, 则数列 {an+cn}是 公差为 d+d′ 比数列,则数列{bn?dn}是公比 为q· q′的等比数列. 的等差数列。


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