当前位置:首页 >> 理学 >> 2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

2005年全国高中数学联赛试题及参考答案


学数学 www.3uedu.com 用数学

二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准。 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分; 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 (不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 + 6 ? x ≥ k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 解:令 y = B. 3 C. 6 + 3 D. 6 )

x ? 3 + 6 ? x ,3 ≤ x ≤ 6, 则 y 2 = ( x ? 3) + (6 ? x) + 2 ( x ? 3)(6 ? x) ≤ 2[( x ? 3)

+ (6 ? x)] = 6. ∴ 0 < y ≤ 6,∴ 实数k 的最大值为 6 。选 D。
2.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB | = 3 , | BC | = 7 , | CD | = 11 , | DA | = 9 , 则 AC ? BD 的 取值( ) A.只有一个

B.有二个

C.有四个

D.有无穷多个
2

解:注意到 3 2 + 112 = 1130 = 7 2 + 9 2 , 由于 AB + BC + CD + DA = 0, 则 DA 2 = DA =

( AB + BC + CD) 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2( AB ? BC + BC ? CD + CD ? AB) = AB 2 ?
BC 2 + CD 2 + 2( BC + AB ? BC + BC ? CD + CD ? AB) = AB 2 ? BC 2 + CD 2 + 2( AB +
2

BC ) ? ( BC + CD), 即 2 AC ? BD = AD 2 + BC 2 ? AB 2 ? CD 2 = 0,∴ AC ? BD 只有一个值得 0,故选
A。 3. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆

AA1 ? cos
于 A1 、 B1 、 C1 。则 A.2 B.4

A B C + BB1 ? cos + CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A + sin B + sin C
C.6 D.8



解:如图,连 BA1 ,则 AA1 = 2 sin( B +

A A+ B +C B C ) = 2 sin( + ? ) 2 2 2 2

学数学 www.3uedu.com 用数学

= 2 cos(

B C ? ). 2 2

∴ AA1 cos

A B C A A+ B?C A+C ? B π π = 2 cos( ? ) cos = cos + cos = cos( ? C ) + cos( ? B ) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A = sin C + sin B ,同理 BB1 cos = sin A + sin C , CC1 cos = sin A + sin B ,∴ AA1 cos + BB1 ? 2 2 2 2(sin A + sin B + sin C ) B C = 2.选 A. cos + CC1 cos = 2(sin A + sin B + sin C ),∴ 原式 = 2 2 sin A + sin B + sin C

4.如图, ABCD ? A′B ′C ′D ′ 为正方体。任作平面 α 与对角线 AC ′ 垂 直, 使得 α 与正方体的每个面都有公共点, 记这样得到的截面多边形的面积 ) 为 S,周长为 l .则( A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A′BD与 C ′ ? D′B′C 后,得到一个以 平行平面 A′BD与D′B′C 为上、下底面的几何体 V,V 的每 个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别 与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A′B ′ 剪开, 展平在一张平面上,得到一个

A′B ′B1 A1 , 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A′A1
平行的线段(如图中 E ′E1 ) ,显然 E ′E1 = A′A1 ,故 l 为定值。 当 E ′ 位于 A′B ′ 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ′ 移至 A′ 处时,W 为正三角形,易知周 长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为

3 2 3 2 l 与 l ,故 S 不为定值。选 B。 24 36

5.方程

x2 sin 2 ? sin 3

+

y2 cos 2 ? cos 3

= 1 表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解:∵ 2 + 3 > π ,∴ 0 <

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

π
2

? 2 < 3?

π
2

<

π
2

,∴ cos(

π
2

? 2 ) > cos( 3 ?

π
2

), 即

sin 2 > sin 3.
又0< 线是椭圆。

2<

π π

, < 3 < π ,∴ cos 2 > 0, cos 3 < 0,∴ cos 2 ? cos 3 > 0, 方程表示的曲 2 2 2? 3 2+ 3 π + ) …… (?) sin( 2 2 4

∵ (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) = 2 2 sin

学数学 www.3uedu.com 用数学

2? 3 2? 3 π < 0,∴ sin < 0, < 2 2 2 2 2+ 3 π ∴ sin( + ) > 0,∴ (?)式 < 0. 2 4 ? <

π

2 + 3 3π 3π < ,∴ < 2 4 4

2+ 3 π + < π. 2 4

即 sin 2 ? sin 3 < cos 2 ? cos 3. ∴ 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。 6.记集合 T = {0,1,2,3,4,5,6}, M = {

a1 a 2 a 3 a 4 + + + | ai ∈ T , i = 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从 7 72 73 74


大到小的顺序排列,则第 2005 个数是(

5 5 6 3 + 2 + 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
A.

5 5 6 2 + 2 + 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
B.
4

解:用 [ a1 a 2 … a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得

M ′ = {a1 ? 73 + a2 ? 7 2 + a3 ? 7 + a4 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4} = {[a1a2 a3 a4 ]7 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4}. M ′ 中的最大数为 [6666]7 = [2400]10 。
在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [396]10 =

[1104]7 将此数除以 7 4 ,便得 M 中的数

1 1 0 4 + 2 + 3 + 4 . 故选 C。 7 7 7 7

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于 x 的多项式 f ( x) = 1 ? x + x 2 ? x 3 + ? ? x19 + x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y ) =

a 0 + a1 y + a 2 y 2 + ? + a19 y 19 + a 20 y 20 , 其中 y = x ? 4. 则 a 0 + a1 + ? + a 20 =

5 21 + 1 . 6

解:由题设知, f ( x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数列的求和

(? x) 21 ? 1 x 21 + 1 ( y + 4) 21 + 1 公式,得: f ( x) = = . 令 x = y + 4, 得 g ( y ) = , 取 y = 1, ? x ?1 x +1 y+5
有 a 0 + a1 + a 2 + ? + a 20 = g (1) =

5 21 + 1 . 6

8.已知 f ( x) 是定义在 (0,+∞) 上的减函数,若 f ( 2a 2 + a + 1) < f (3a 2 ? 4a + 1) 成立,则 a 的 取值范围是 0 < a <

1 或1 < a < 5. 3

学数学 www.3uedu.com 用数学

解:∵ f (x ) 在 (0,+∞) 上定义,又 2a + a + 1 = 2( a +
2

1 2 7 ) + > 0;3a 2 ? 4a + 1 = (3a ? 1) 4 8

? ( a ? 1), 仅当 a > 1 或 a <

1 2 时, 3a ? 4a + 1 > 0.(?) 3

∵ f (x) 在 (0,+∞) 上是减函数, 2a 2 + a + 1 > 3a 2 ? 4a + 1, ? a 2 ? 5a < 0,∴ 0 < a < 5, 结合 ∴
(*)知 0 < a <

1 或 1 < a < 5. 3

9.设 α 、 β 、 γ 满足 0 < α < β < γ < 2π ,若对于任意 x ∈ R, cos( x + α ) + cos( x + β ) +

cos( x + γ ) = 0, 则 γ ? α =

4π . 3

解:设 f ( x) = cos( x + α ) + cos( x + β ) + cos( x + γ ), 由 x ∈ R , f ( x) ≡ 0 知,

f (?α ) = 0, f (?γ ) = 0, f (? β ) = 0, 即 cos( β ? α ) + cos(γ ? α ) = ?1, cos(α ? β ) + cos(γ ? β ) = ?1, cos(α ? γ ) + cos( β ? γ ) = ?1. ∴ cos( β ? α ) = cos(γ ? β ) = cos(γ ? α ) = 1 2π 4π ? . ∵ 0 < α < β < γ < 2π ,∴ β ? α , γ ? α , γ ? β ∈ { , }, 又 β ? α < γ ? α , γ ? β < 2 3 3 2π 4π γ ? α . 只有 β ? α = γ ? β = .∴γ ? α = . 3 3 2π 2π 4π 另一方面,当 β ? α = γ ? β = ,有β =α + ,γ = α + , ?x ∈ R, 记 x + α = θ ,由于 3 3 3 2π 2π 4π 4π 三 点 (cosθ , sin θ ), (cos(θ + ), sin(θ + )), (cos(θ + ), sin(θ + )) 构 成 单 位 圆 3 3 3 3 x2 + y2 = 1 上 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 . 其 中 心 位 于 原 点 , 显 然 有
cos θ + cos(θ + 2π 4π ) + cos(θ + ) = 0. 3 3

即 cos( x + α ) + cos( x + β ) + cos( x + γ ) = 0. 10. 如 图 , 四 面 体 DABC 的 体 积 为

1 , 且 满 足 6

∠ACB = 45°, AD + BC +
解:∵

AC
2

= 3, 则 CD = 3 .

1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45°) ≥ VDABC = , 3 2 6

即 AD ? BC ?

AC
2

≥ 1. 又 3 = AD + BC +

AC 2

≥ 3 AD ? BC ?

AC 2

≥ 3,

学数学 www.3uedu.com 用数学

等号当且仅当 AD = BC =

AC 2

= 1 时成立,这时 AB = 1, AD ⊥ 面 ABC,∴ DC = 3 .

11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2 x ? 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y = x 2 上.则该正方 形面积的最小值为 80 .

解:设正方形的边 AB 在直线 y = 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C ( x1 , y1 ) 、

D( x 2 , y 2 ) , 则 CD 所 在 直 线 l 的 方 程 y = 2 x + b, 将 直 线 l 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 , 得
x 2 = 2 x + b ? x1, 2 = 1 ± b + 1.
令正方形边长为 a, 则 a 2 = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 5( x1 ? x 2 ) 2 = 20(b + 1). ① ,它到直线 y = 2 x + b 的距离为 a,∴ a = 在 y = 2 x ? 17 上任取一点(6,,5)
2 ①、②联立解得 b1 = 3, b2 = 63. ∴a 2 = 80, 或 a 2 = 1280. ∴ a min = 80.

| 17 + b | 5

②.

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排 成一列 a1 , a 2 , a3 , ? , 若 a n = 2005, 则 a 5 n = 5200. 解:∵方程 x1 + x 2 + ? + x k = m 的非负整数解的个数为 C m + k ?1 .而使 x1 ≥ 1, xi ≥ 0(i ≥ 2) 的整
m

数解个数为 C m + k ? 2 .现取 m = 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为 P ( k ) = C k + 5 .
6

m ?1

∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P (1) = C 6 = 1, P ( 2) = C 7 = 7,
6 6

P (3) = C86 = 28, 对于四位“吉祥数” 1abc ,其个数为满足 a + b + c = 6 的非负整数解个数,即
6 C 6+3?1 = 28 个。

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a 65 = 2005. 从而 n = 65,5n = 325. 又 P ( 4) = C 9 = 84, P (5) = C10 = 210, 而
6 6

∑ P(k ) = 330.
k =1

5

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个“吉祥数”是 52000,即 a 5 n = 52000. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {a n } 满足: a 0 = 1, a n +1 =
2 7 a n + 45a n ? 36

2

, n ∈ N.

学数学 www.3uedu.com 用数学

证明: (1)对任意 n ∈ N , a n 为正整数;(2)对任意 n ∈ N , a n a n +1 ? 1 为完全平方数。 证明: (1)由题设得 a1 = 5, 且 {a n } 严格单调递增.将条件式变形得 2a n +1 ? 7 a n = 两边平方整理得 a n +1 ? 7 a n a n +1 + a n + 9 = 0
2 2 2 2 ∴ a n ? 7 a n ?1 a n + a n ?1 + 9 = 0

2 45a n ? 36 ,





①-②得 ( an +1 ? an ?1 )( an +1 + an ?1 ? 7 an ) = 0,∵ an +1 > an ,∴ an +1 + an =1 ? 7 an = 0 ?

a n+1 = 7 a n ? ab ?1 .



由③式及 a 0 = 1, a1 = 5 可知,对任意 n ∈ N , a n 为正整数.…………………………10 分 (2)将①两边配方,得 ( a n +1 + a n ) 2 = 9( a n a n +1 ? 1),∴ a n a n +1 ? 1 = ( 由③ an +1 + an = 9an ? ( an ?1 + an ) ≡ ?( an + an ?1 ) ( mod 3) ∴ an +1 + an ≡ (?1) ④式成立.
n

a n +1 a n 2 ) .④ 3

( a1 + a0 ) ≡0(mod3)∴

an +1 + an 为正整数 3

∴ a n a n +1 ? 1 是完全平方数.………………………………………………………………20 分
14.将编号为 1,2,…,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个 小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注: 如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8! 种. …5 分 2

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径, 设 x1 , x 2 , ? , x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则

| 1 ? x1 | + | x1 ? x 2 | + ? + || x k ? 9 |≥| (1 ? x1 ) + ( x1 ? x 2 ) + ? + ( x k ? 9) |=| 1 ? 9 |= 8. 上 式 取
等号当且仅当 1 < x1 < x 2 < ? < x k < 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此 S 最小 = 2 ? 8 = 16 .…………………………………………………………………10 分 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x1 , x 2 , ? x k ,9} 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,…,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,…,8,将它们分为两个子集,元素较少的 每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法, 一个子集共有 C 7 + C 7 + C 7 + C 7 = 2 种情况,
0 1 2 3 6

学数学 www.3uedu.com 用数学

即有利事件总数是 2 6 种,故所求概率 P =

26 1 = . ……………20 分 8! 315 2

15.过抛物线 y = x 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在
2

抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF = λ1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 = λ 2 ,且 λ1 + λ 2 = 1 , EC FC

线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y ′ = 2 x | x =1 = 2,∴切线 AB 的方程为 y = 2 x ? 1. ∴ B、D 的坐标为 B (0,?1), D ( ,0),∴ D 是线段 AB 的中点. ………………5 分 设 P ( x, y ) 、 C ( x 0 , x 0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x 2 , y 2 ) ,则由
2

1 2

AE = λ1 知, EC

x1 =

2 2 1 + λ1 x0 1 + λ1 x 0 BE ? 1 + λ 2 x0 λ x , y1 = ; = λ2 , 得 x2 = 2 0 , y 2 = . 1 + λ1 1 + λ1 FC 1 + λ2 1 + λ2

2 1 + λ1 x0 1 + λ1 x0 y? x? 1 + λ1 1 + λ1 ∴EF 所在直线方程为: = , 2 2 ? 1 + λ 2 x0 1 + λ1 x0 λ 2 x0 1 + λ1 x0 ? ? 1 + λ2 1 + λ1 1 + λ2 1 + λ1

化 简 得 [(λ 2 ? λ1 ) x 0 ? (1 + λ 2 )] y = [(λ 2 ? λ1 ) x 0 ? 3] x + 1 + x 0 ? λ 2 x 0 . …
2 2

①…………10 分 当 x0 ≠
2 2 2 x0 x ? x0 1 时,直线 CD 的方程为: y = …② 2 2 x0 ? 1

x0 + 1 ? ?x = 3 1 ? 2 联立①、②解得 ? ,消去 x 0 ,得 P 点轨迹方程为: y = (3 x ? 1) . ………15 分 2 3 ? y = x0 ? 3 ?
当 x0 =

1 3 1 1 3 1 1 时,EF 方程为: ? y = ( λ 2 ? λ1 ? 3) x + ? λ 2 , CD 方程为: x = ,联立解 2 2 4 4 2 4 2

1 ? ? ?x = 2 , ? 2 ? ? 得? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ≠ 1,∴ x ≠ . 3 ? y = 1 .? ? ? 12 ? ?
∴所求轨迹方程为 y =

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ≠ ). ………………………………………………20 分 3 3

学数学 www.3uedu.com 用数学

解二:由解一知,AB 的方程为 y = 2 x ? 1, B (0,?1), D ( ,0), 故 D 是 AB 的中点. ……5 分 令γ =

1 2

CD CA CB , t1 = = 1 + λ1 , t 2 = = 1 + λ 2 , 则 t1 + t 2 = 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

∴ S ?CAB = 2 S ?CAD = 2 S ?CBD .


S S t +t CE ? CF S ?CEF 1 1 1 1 3 3 = = = ?CEP + ?CFP = ( + )= 1 2 = ,∴ γ = , ∴ P t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1γ t 2γ 2t1t 2γ 2t1t 2γ 2

是 ?ABC 的重心. ………………………………………………………………………10 分 设 P ( x, y ), C ( x 0 , x 0 ), 因点 C 异于 A,则 x 0 ≠ 1, 故重心 P 的坐标为
2

x=

2 2 0 + 1 + x0 1 + x0 ? 1 + 1 + x0 x0 2 1 , ( x ≠ ), y = = = , 消去 x0 , 得 y = (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

故所求轨迹方程为 y =

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ≠ ). ………………………………………………20 分 3 3

2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为 旁心。 ) 证明: (1)先证 DE 过△ABC 的内心。 如图,连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I,连 IC,则由 AD=AC, 得,AG⊥DC,ID=IC. 又 D、C、E 在⊙A 上, ∴∠IAC=

1 ∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E 四点共圆, 2 1 ∠ABC. 2 1 1 ∠ABC,∴∠ACI= ∠ACB,∴I 为△ABC 的内心。 2 2

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD, ∴∠ICD=

∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+

学数学 www.3uedu.com 用数学

(2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(

1 1 ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. 2 2

I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy + bz = a, az + cx = b; bx + ay = c. 求函数 f ( x, y, z ) =

x2 y2 z2 的最小值. + + 1+ x 1+ y 1+ z

解:由条件得, b( az + cx ? b) + c (bx + ay ? c ) ? a (cy + bz ? a ) = 0 , 即 2bcx + a ? b ? c = 0 ,
2 2 2

∴x =

b2 + c2 ? a2 a 2 + c2 ? b2 a2 + b2 ? c2 ,同理,得 y = ,z = . 2bc 2ac 2ab

∵ a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,

b2 + c2 > a2 , a2 + c2 > b2 , a2 + b2 > c2 ,
故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,

∴ x = cos A, y = cos B, z = cos C ,问题转化为:在锐角△ABC 中,
cos 2 A cos 2 B cos 2 C 的最小值. 求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )= + + 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C
令 u = cot A, v = cot B, w = cot C , 则 u , v, w ∈ R + , uv + vw + wu = 1, 且 u 2 + 1 = (u + v )(u + w), v 2 + 1 = (u + v )(v + w), w 2 + 1 = (u + w)(v + w).



cos 2 A = 1 + cos A

1+

u2 u2 +1 u u2 +1

=

u2 u 2 + 1( u 2 + 1 + u )

=

u 2 ( u 2 + 1 ? u) u2 +1

= u2 ?

u3 u2 +1

u2 ?

u3 (u + v)(u + w)

≥ u2 ?

1 u3 1 ( + ), 2 u+v u+w

同理,

cos 2 B v3 1 1 cos 2 C w3 1 1 ≥ v2 ? ( + ≥ w2 ? + ), ( ). 1 + cos B 2 u + v u + w 1 + cos C 2 u+w v+w

学数学 www.3uedu.com 用数学

1 u 3 + v 3 v 3 + w3 u 3 + w3 1 ∴ f ≥ u 2 + v 2 + w2 ? ( + + ) = u 2 + v 2 + w 2 ? [(u 2 ? uv + v 2 ) 2 u+v v+w u+w 2
+ (v ? vw + w ) + (u ? uw + w )] =
2 2 2 2

1 1 (uv + vw + uw) = . (取等号当且仅当 u = v = w ,此时, 2 2 1 1 a = b = c, x = y = z = ), [ f ( x, y, z )]min = . 2 2

三、 (本题满分 50 分)

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f ( n) = ? 1 ?[{ n}]当n不为平方数. ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} = x ? [ x ]). 试求:

∑ f (k ) 的值.
k =1

240

解:对任意 a, k ∈ N * ,若 k 2 < a < (k + 1) 2 ,则 1 ≤ a ? k ≤ 2k ,设 a = k + θ ,0 < θ < 1,
2



1

{ a} θ

=

1

=

1 a ?k

=

a + k 2k + θ 2k 1 2k = < + 1,∴[ ]=[ ]. 2 2 2 a?k a?k a?k a ?k2 { a}

让 a 跑遍区间 ( k 2 , ( k + 1) 2 )中的所有整数,则


k 2 < a < ( k +1) 2

[

2k 1 2k ] = ∑ [ ], {a} i i =1

于是

( n +1) 2


a =1

f (a) = ∑ ∑ [
i =1 i =1

n

2k

2k ……① ] i

下面计算

∑[
i =1

2k

2k ], 画一张 2k×2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位数处填写“*”号,则这行的 i

“*”号共 [

2k 2k 2k ] 个,全表的“*”号共 ∑ [ ] 个;另一方面,按列收集“*”号数,第 j 列中,若 j i i i =1

有 T(j)个正因数,则该列使有 T(j)个“*”号,故全表的“*”号个数共
2k 2k ∑ T ( j) 个,因此 ∑ [ i ] = ∑ T ( j) . j =1 i =1 j =1 2k 2k

示例如下:
j i 1 2 3 4 5 6 * 1 * 2 * * * * 3 * 4 * * 5 * 6 * * *

学数学 www.3uedu.com 用数学



∑ f (a) = ∑∑ T ( j ) = n[T (1) + T (2)] + (n ? 1)[T (3) + T (4)] + ? + [T (2n ? 1) + T (2n)]
i =1 i =1 j =1

n

n

2k

……② 由此,


k =1

256

f (k ) =∑ (16 ? k )[T (2k ? 1) + T (k )] ……③
k =1

15

记 a k = T ( 2k ? 1) + T ( 2k ), k = 1,2,? ,15, 易得 a k 的取值情况如下: k 1 3 2 5 3 6 4 6 5 7 6 8 7 6 8 9 9 8 10 8 11 8 12 10 13 7 14 10 15 10

ak

因此,


k =1

16 n

f (k ) =∑ (16 ? k )a k = 783 ……④
k =1

15

据定义 f ( 256) = f (16 2 ) = 0 , 又当 k ∈ {241,242,? ,255}, 设k = 15 2 + r

(16 ≤ r ≤ 30) ,

k ? 15 = 15 2 + r ? 15 =

r r r < < , 15 2 + r + 15 31 15 2 + r + 15 30 ?

r

1≤

1 30 1 31 < < < 2 ,则 [ ] = 1, k ∈ {241,242,? ,255} ……⑤ 2 r { 15 + r } r { k}

从则

∑ f (k ) = 783 ? ∑ f (k ) = 783 ? 15 = 768.
i =1 i =1

240

256

2005 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨

本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨, 供感兴趣的读者参考。 题目:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy + bz = a ; az + cx = b;

bx + ay = c ,求函数

x2 y2 z2 f ( x, y , z ) = + + 的最小值。 1+ x 1+ y 1+ z
一.几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较平易,给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜, 殊不知,这是一个极大的误区,本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一:

学数学 www.3uedu.com 用数学

由 Cauchy 不等式知 f ( x, y, z ) =

x2 y2 z2 + + ≥ 1+ x 1+ y 1+ z

( x + y + z) 2 u2 9 = = (记u = x + y + z ) = u + 3 + ?6 3+ x + y + z 3+u u+3
到此,在 u>0 的情况下,力图使用函数 f ( x ) = x +

1 的性质无法得到最小值。 x

思路二:考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系,于是,可根据三个条件等式容易求出 x、y、z 用 a、b、c 表达的式子:

x=

b2 + c2 ? a2 ; 2bc

y=

c2 + a 2 - b2 ; 2ca

z=

a 2 + b2 - c2 2ab

因为 a、b、c;x、y、z 都是正数,所以,

a 2 + b 2 ? c 2 > 0; b 2 + c 2 - a 2 > 0; c 2 + a 2 - b 2 > 0
即以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC,令 x = cos A, y = cos B, z = cos C , 从而,结 合 Cauchy 不等式有

f ( x, y , z ) =


cos 2 A cos 2 B cos 2 C (cos A + cos B + cos C ) 2 + + ≥ 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 3 + cos A + cos B + cos C

u = cos A + cos B + cos C ,则 cos 2 A cos 2 B cos 2 C u2 9 + + ≥ = u +3+ ?6 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 3 + u u+3 A B C sin sin > 1 2 2 2 3 4 < u +3 ≤ 3+ 2

f ( x, y , z ) =

因为 u = cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin

u = cos A + cos B + cos C ≤

3 ,∴ 2

到此,似乎胜利的曙光就在眼前,立刻想到在区间 ? 4, ? 内使用函数 f ( x ) = x + 的性质,但 x ? 2? 也无法得到最小值,而此时的最大值正好与题目的最小值

?

9?

1

1 (由于函数 2

cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1 0 f ( x, y , z ) = + + 的对称性,可以猜测其最小值在 A=B=C=60 时达到 ) 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 2
吻合,实际上,这是一条无用的信息(表明使用 Cauchy 不等式过当!,它是答题人再次陷入不能自 ) 拔的困境。 俗话说得好,失败是成功之母,上面的思路也昭示我们,对原式不能直接使用 Cauchy 不等式, 需要再对原式做更好的更有用的恒等变形,可能是正确的途径。 二.赛题的解答 为证明本赛题,我们先证明如下一个引理。

学数学 www.3uedu.com 用数学

引理:在△ABC 中,求证:

tan 2

A B C A B C + tan 2 + tan 2 ≥ 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2



等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。 证明:用向量方法证明如下 设 i , j , k 是平面上的单位向量, j 与k 成角为π-A, k 与i 成角为π-B, i 与 j 成角为π-C, 且 那么,

(i tan

A B C + j tan + k tan ) 2 ≥ 0 ,所以 2 2 2

A B C + tan 2 + tan 2 2 2 2 A B B C C A ≥ 2 tan tan cos C + 2 tan tan cos A + 2 tan tan cos B 2 2 2 2 2 2 A B C B C A = 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) + 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) + 2 2 2 2 2 2 C A B +2 tan tan (1 ? 2 sin 2 ) 2 2 2 tan 2
A B B C C A? ? = 2? tan tan + tan tan + tan tan ? ? 2 2 2 2 2 2? ? A B C sin sin sin A B C 2 2 2 ? 4 sin sin sin ( + + ) B C C A A B 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C sin A + sin B + sin C = 2 ? 4 sin sin sin ? A B C 2 2 2 2 ? cos cos cos 2 2 2 A B C = 2 ? 8 sin sin sin . 2 2 2
注意到,在△ABC 中有熟知的等式: tan

A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 1 . 2 2 2 2 2 2

从而①得证。 有了上面的引理,本题的解答就容易多了,下面看本题的解法。 解:同思路二得到,以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC, 令 x = cos A, y = cos B, z = cos C , 从而

学数学 www.3uedu.com 用数学

cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1 ? sin 2 A 1 ? sin 2 B 1 ? sin 2 C + + = + + C 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 A A B B C C 1 ? 4 sin 2 cos 2 1 ? 4 sin 2 cos 2 1 ? 4 sin 2 cos 2 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 A 2 B 2 C 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 A A A A B B B B sin 2 + cos 2 ? 4 sin 2 cos 2 sin 2 + cos 2 ? 4 sin 2 cos 2 2 2 2 2 + 2 2 2 2 = A B 2 cos 2 2 cos 2 2 2 f ( x, y , z ) =

C C C C + cos 2 ? 4 sin 2 cos 2 2 2 2 2 + C 2 cos 2 2 A B C A B C 3 1 = + (tan 2 + tan 2 + tan 2 ) ? 2(sin 2 + sin 2 + sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 3 1 = + (tan 2 + tan 2 + tan 2 ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 3 1 ≥ + (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = 2 sin 2
等号成立的条件显然是 A=B=C=600 时达到,最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以, f ( x, y, z ) =

x2 y2 z2 1 + + 的最小值为 . 1+ x 1+ y 1+ z 2
0

显然,在 ∠A = ∠B = ∠C = 60 时,等号成立,所以 f ( x, y , z ) 的最小值为 三.背景探索 早在 1994 年,华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题: 在△ABC 中,是否有:

1 . 2

cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1 + + ≥ ② 2 2 2 2 2 2 sin B + sin C sin C + sin A sin A + sin B 2

后来,湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明:分两种情况 (1)当△ABC 为钝角三角形时,此时不妨设 A>90 , 于是 a > b + c ,
0

2

2

2

所以 再据

sin 2 A > sin 2 B + sin 2 C = 2 ? cos 2 B ? cos 2 C ,∴ cos 2 B + cos 2 C > 1 + cos 2 A sin A> sin B , sin A> sin C ,所以,

学数学 www.3uedu.com 用数学

cos 2 A cos 2 B cos 2 C + + sin 2 B + sin 2 C sin 2 C + sin 2 A sin 2 A + sin 2 B cos 2 A cos 2 C > + sin 2 B + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B cos 2 A cos 2 C > + sin 2 A + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B cos 2 B + cos 2 C 1 > = 2 sin 2 A 2
即此种情况②得证。 (2)当△ABC 为非钝角三角形时,

sin 2 B + sin 2 C = 1 ? cos( B + C ) cos( B ? C ) = 1 + cos A cos( B ? C ) ≤ 1 + cos A = 2 cos 2
所以,

A 2

cos A cos A 1 ? sin A ≥ = = 2 sin B + sin C 2 A 2 A 2 cos 2 cos 2 2 1 1 A A = + tan 2 ? 2 sin 2 2 2 2 2
2 2 2 2

cos 2

A A A A + sin 2 ? 4 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 A 2 cos 2

从而

cos 2 A cos 2 B cos 2 C + + sin 2 B + sin 2 C sin 2 C + sin 2 A sin 2 A + sin 2 B



cos 2 A cos 2 B cos 2 C + + A B C 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2 2 2 3 1 A B C A B C = + (tan 2 + tan 2 + tan 2 ) ? 2(sin 2 + sin 2 + sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
≥ 3 1 A B C A B C 1 + (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 2



即三角形为非钝角三角形时结论也成立,综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法, 不难知道, 今年的这道赛题无非是在 ②的第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序(并由此判断△ABC 为锐角三角形)罢了,即 今年的这道加试题可以看作是由解方程组(初中知识的要求) ,判断三角形种类、与求最值(高中知 识的要求)三个问题的简单合成(串联) 。 顺便指出,①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。 四.条件等式的几何解释 对比条件等式 cy + bz = a ; az + cx = b; 与△ABC 中的斜射影定理

bx + ay = c (注意 a、b、c、x、y、z 为正数)

c cos B + b cos C = a

学数学 www.3uedu.com 用数学

a cos C + c cos A = b

b cos A + a cos B = c

以及余弦定理,可知,应有 x = cos A =

b2 + c2 ? a2 , 2bc

y = cos B =

c2 + a 2 - b2 , 2ca

z = cosC =

a 2 + b2 - c2 , 从而,求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结 2ab

果。另外,有了上边的余弦定理结构,解答中的构造三角形法已经水到渠成了。 参考文献 [1] 黄军华 两个猜想的证明 《湖南数学通讯》2(1996)P34。 [2] 黄汉生 P2 简证 tan
2

A B C A B C + tan 2 + tan 2 ≥ 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2

《数学通讯》 (1991) 6


赞助商链接
更多相关文档:

77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案_图文

77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案 - 2017 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) (5 月 14 日下午 14:30—16:30) 题目 得分 评卷人 复核人 一二 13 14 ...

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_图文

2002 年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f (x)=log1/2(x -2x-3)的单调递增区间是( (A) ...

2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

2005年全国高中数学联赛试题及参考答案 2003年全国高中数学联赛试题及参考答案2003年全国高中数学联赛试题及参考答案隐藏>> 学数学 www.3uedu.com 用数学 二〇〇五...

2005年全国高中数学联赛试题及解答

2005年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。二〇〇五年高中数学联赛试卷一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解...

2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

2005全国高中数学联赛试题及答案[1] - 2005 年高中数学联赛试卷(一) 一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大...

2017年全国高中数学联赛试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛试题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2017年全国高中数学联赛试题及参考答案 文档贡献者 hnxka 贡献于2017-09-20 ...

第25讲 2005年全国高中数学联赛试题及详细解析

设因点 C 异于 A,则故重心 P 的坐标为 消去得 故所求轨迹方程为 2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案 一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中...

2005年全国高中数学联赛试题

2005全国高中数学联赛试题... 13页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由王新敞奎屯 新疆 2005 , 求 n 的 4 2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及...

2005年全国高中数学联赛(江西赛区)预赛试卷及详细解答

2005年全国高中数学联赛(江西赛区)预赛试卷及详细解答2005年全国高中数学联赛(江西...请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内。 每小题选对得 6 分; 不选、...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com