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内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


内蒙古北方重工三中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学 试卷
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},则 M∩N=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2.sin600°的值是() A. B. C. D.

3.在 R 上是增函数的幂函数为() A.y= B.y=x
2

C.y=

D.y=x

﹣2

4.设 a 是第四象限角,则下列函数值一定为负数的是() A.sin B.cos C.tan D.cos2a

5.方程 lnx+2x=6 的根属于区间() A.(1,2) B.( ,4) C.(1, ) D.( , )

6.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这圆心角所对的弧长等于() A.sin B. C. D.2sin

7.三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B. 0.7 <6 <log0.76 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 8.函数 y= A.[﹣3,0] 9.函数 y= sin(2x﹣ A.向左平移 得到的 的值域为() B.(﹣∞,3] C.(0,3] D.[3,+∞)

6

0.7

)的图象可以看作是把函数 y= sin2x 的图象() B. 向右平移 得到的

C. 向右平移

得到的

D.向左平移

得到的

10.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣2,2] B.(﹣∞,2) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣2,2] 11.函数 y=e
|lnx|

2

﹣|x﹣2|的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

12.在区间 A.1 B. 2

范围内,函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象交点的个数为() C. 3 D.4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,若 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣2)=.

14.已知 tanα=2,则

=.

15.函数 y=lg(﹣x +2x+8)的单调递减区间为. 16.满足 tan(x+ ) ≥﹣ 的 x 的集合是.

2

三、解答题(17 题 10 分,18~22 每题 12 分,共 70 分) 17.求值 (1) + +
2



(2)

+(lg2) +lg2lg5+lg5.

18.已知关于 x 的方程 2x ﹣( +1)x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα,且 α∈(0,2π) ,求 (1)m 的值 (2)方程的两根及此时 α 的值. 19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0)的一个周期的图象如图. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间.

2

20.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资 单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式. (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元. (精确到 1 万元) .

21.f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意的 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1 成立.当 x>0 时,f(x)>1. (1)若 f(4)=5,求 f(2) ; (2)证明:f(x)在 R 上是增函数; (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3. 22.设函数 g(x)=ax +bx+c(a>0) ,且 g(1)= (1)求证:函数 g(x)有两个零点; (2)讨论函数 g(x)在区间(0,2)内的零点个数.
2 2



内蒙古北方重工三中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月 考数学试卷
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},则 M∩N=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 考点: 交集及其运算. 分析: 由题意知集合 M={m∈z|﹣3<m<2}, N={n∈z|﹣1≤n≤3}, 然后根据交集的定义和运 算法则进行计算. 解答: 解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3}, ∴M∩N={﹣1,0,1}, 故选 B. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. 2.sin600°的值是() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把原式的角度 600°变形为 2×360°﹣120°,然后利用诱导公式化简,再把 120°变为 180°﹣60°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:sin600°=sin(2×360°﹣120°) =﹣sin120°=﹣sin(180°﹣60°) =﹣sin60°=﹣ .

故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值, 熟练掌握诱导公式是解本题的关键, 同时注意 角度的灵活变换. 3.在 R 上是增函数的幂函数为() A.y= B.y=x
2

C.y=

D.y=x

﹣2

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的图象和性质即可判断 解答: 解:对于 A,函数的定义域为(0,+∞) ,故不符合, 对于 BD,函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,再 R 上是有增有减,故不符合,

对于 C,函数为奇函数,且 >0 且定义域为 R,故满足条件, 故选:C 点评: 本题考查了幂函数的图象和性质,属于基础题 4.设 a 是第四象限角,则下列函数值一定为负数的是() A.sin B.cos C.tan D.cos2a

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 举出第四象限的两个角度, 求出半角和二倍角, 检验角的正弦, 余弦与正切的正负, 只要有正数的情况出现,就可以得到结果. 解答: 解:当 α=300°时, =150° 这个角的正弦是正数, 当 α=﹣40°时, =﹣20° 这个角的余弦一定是正值, 此时 2α=﹣80°,这个角的余弦一定是正数, 综上可知 tan 是负数,

故选 C. 点评: 本题考查三角函数的符号, 本题解题的关键是写出第四象限的两个角度, 对这两个 角度进行三角函数值的正负的确定,本题是一个基础题 5.方程 lnx+2x=6 的根属于区间() A.(1,2) B.( ,4) C.(1, ) D.( , )

考点: 二分法的定义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 方程 lnx+2x=6 的根即函数 f(x)=lnx+2x﹣6 的零点,而函数 f(x)=lnx+2x﹣6 在 定义域上单调连续;从而求零点的区间即可. 解答: 解:方程 lnx+2x=6 的根即函数 f(x)=lnx+2x﹣6 的零点, 函数 f(x)=lnx+2x﹣6 在定义域上单调连续; 且 f(2)=ln2+4﹣6<0; f(3)=ln3+6﹣6>0; 故方程 lnx+2x=6 的根属于区间(2,3) ; 又∵f( )=ln ﹣1<0;

故方程 lnx+2x=6 的根属于区间( ,3)?( ,4) ; 故选 B. 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的应用,属于基础题. 6.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这圆心角所对的弧长等于() A.sin B. C. D.2sin

考点: 弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,求这圆心角所对的弧长,已知圆心角求弧长, 需要知道半径,在弦长的一半,半径和弦心距组成的直角三角形中利用三角函数的定义,得 到半径长,从而根据弧长公式得到弧长. 解答: 解:设圆的半径为 r.由题意知 r?sin =1, ∴r= ,

∴弧长 l=α?r=



故选 C 点评: 本题考查弧长公式,考查由弦长的一半,半径和弦心距组成的直角三角形的性质, 是一个基础题,这种题目只是考查简单的运算,解题所用的知识点很简单,也没有什么运算 技巧. 7.三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B. 0.7 <6 <log0.76 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;转化思想. 6 分析: 由对数函数的图象和性质, 可得到 log0.76<0, 再指数函数的图象和性质, 可得 0.7 0.7 <1,6 >1 从而得到结论. 解答: 解:由对数函数 y=log0.7x 的图象和性质 可知:log0.76<0 x x 由指数函数 y=0.7 ,y=6 的图象和性质 6 0.7 可知 0.7 <1,6 >1 6 0.7 ∴log0.76<0.7 <6 故选 D 点评: 本题主要考查指数函数, 对数函数的图象和性质, 在比较大小中往往转化为函数的 单调性或图象分面来解决.
6 0.7

8.函数 y= A.[﹣3,0]

的值域为() B.(﹣∞,3] C.(0,3] D.[3,+∞)

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数变形为 y= 从而求出函数的值域. 解答: 解:∵y=
2 2

=

,令 f(x)=﹣x +2x,求出 f(x)max,

2

=



令 f(x)=﹣x +2x=﹣(x﹣1) +1, ∴f(x)max=f(1)=1, ∴当 x=1 时,y 最大为 3, ∴函数函数 y= 的值域为(0,3],

故选:C. 点评: 本题考查了函数的值域问题, 考查函数的单调性, 换元思想, 解出指数函数的性质, 是一道基础题.

9.函数 y= sin(2x﹣ A.向左平移 C. 向右平移 得到的 得到的

)的图象可以看作是把函数 y= sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向左平移 得到的 得到的

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:函数 y= sin(2x﹣ 的图象向右平移 得到的, )= sin2(x﹣ )的图象可以看作是把函数 y= sin2x

故选:B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 10.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣2,2] B.(﹣∞,2) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣2,2] 考点: 二次函数的性质.
2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于二次项系数含有参数,故需分 a﹣2=0 与 a﹣2≠0 两类讨论,特别是后者:对于 (a﹣2) x +2 (a﹣2) x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立, 有 求出 a 的范围,再把结果并在一起. 解答: 解:当 a=2 时,原不等式即为﹣4<0,恒成立,即 a=2 满足条件; 当 a≠2 时,要使不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立, 必须 解得,﹣2<a<2.
2 2

综上所述,a 的取值范围是﹣2<a≤2, 故选 D. 点评: 本题考查二次函数的性质,易错点在于忽略 a﹣2=0 这种情况而导致错误,属于中 档题. 11.函数 y=e
|lnx|

﹣|x﹣2|的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数表达式的特点,利用特殊值法进行确定. |ln2| ln2 解答: 解:当 x=2 时,y=e ﹣|2﹣2|=e =2,所以排除 C. 当 x=1 时,y=1﹣|1﹣2|=1﹣1=0, 当 x= 时,y= ,所以排除 A,D. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断, 利用特殊点的特殊值进行判断和排除是解决 函数图象中用的较多的方法.

12.在区间 A.1 B. 2

范围内,函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象交点的个数为() C. 3 D.4

考点: 正弦函数的图象;正切函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 在同一直角坐标系中,分别作出分别作出函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象,观察 图象,能够得两个函数的图象有 3 个交点. 解答: 解:在同一直角坐标系中,分别作出分别作出函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象,

观察图象,知在﹣π,0,π 处,两个函数的函数值都是 0.即两个函数的图象有 3 个交点. 故选 C. 点评: 本题考查函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象交点的个数,解题时要认真审题,作出 两个函数的图象,注意数形结合的灵活运用. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,若 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣2)=﹣ 1. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据当 x≥0 时的函数解析式求出函数值 f(2) ,再根据奇函数的定义求出 f(﹣2) 的值. 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,∴f(2)=log3(1+2)=1; ∵f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值, 注意函数解析式中自变量的范围, 并且在 此范围内取恰当的值即与所求的值能联系在一起.

14.已知 tanα=2,则

=1.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 原式利用诱导公式化简,分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间基本关系化简, 将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵tanα=2, ∴原式= = = =1,

故答案为:1 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 15.函数 y=lg(﹣x +2x+8)的单调递减区间为(1,4) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由复合函数的单调性知,y=﹣x +2x+8 单调递减且 y>0;从而解得. 解答: 解:由复合函数的单调性知, 2 y=﹣x +2x+8 单调递减且 y>0;
2 2





解得,x∈(1,4) , 故函数 y=lg(﹣x +2x+8)的单调递减区间为(1,4) ; 故答案为: (1,4) . 点评: 本题考查了对数函数与二次函数的单调性及复合函数单调性的应用,属于基础题. +kπ) ,k∈Z.
2

16.满足 tan(x+

) ≥﹣

的 x 的集合是[kπ



考点: 正切函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 有正切函数的图象和性质即可得到结论. 解答: 解:由 tan(x+ 解得 kπ ≤x< )≥﹣ 得 +kπ≤x+ < +kπ,

+kπ, , , +kπ) ,k∈Z,

故不等式的解集为[kπ 故答案为:[kπ

+kπ) ,k∈Z,

点评: 本题主要考查三角不等式的求解,利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键. 三、解答题(17 题 10 分,18~22 每题 12 分,共 70 分) 17.求值 (1) + + ﹣

(2)

+(lg2) +lg2lg5+lg5.

2

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算性质即可得出; (2)利用对数的运算性质、lg2+lg5=1 即可得出. 解答: 解: (1)原式= = = . (2)原式=2+lg2(lg2+lg5)+lg5 =2+lg2+lg5 =3. 点评: 本题考查了指数幂与对数的运算性质、lg2+lg5=1,属于基础题. 18.已知关于 x 的方程 2x ﹣( +1)x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα,且 α∈(0,2π) ,求 (1)m 的值 (2)方程的两根及此时 α 的值. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由已知方程利用韦达定理得到①与②,将①两边平方,利用同角三角函数 间基本关系化简,结合②求出 m 的值即可; (2)把 m 的值代入方程求出两根,确定出 sinα 与 cosα 的值,即可确定出 α 的度数. 2 解答: 解: (1)∵关于 x 的方程 2x ﹣( +1)x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα,且 α∈(0, 2π) , ∴sinα+cosα= ①,sinαcosα= ②, =1+ ,即 sinαcosα= ,
2

+

+0.4

﹣2.5×0.4

﹣1

+ ﹣1

将①两边平方得:1+2sinαcosα= 结合②得: = (2)把 m=
2

,即 m=


2

代入方程得:2x ﹣( +1)x+ =0,

+1)x+

=0,

整理得:4x ﹣2( 解得:x1= 可得 sinα=

,x2= , ,cosα= 或 sinα= ,cosα= ,

则 α=





点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0)的一个周期的图象如图. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的图象即可求 y=f(x)的解析式; (2)根据三角函数的图象和性质即可求函数 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解答: 解: (1)由图象可知 A=2,周期 则 又 解得 φ= , φ=π, , x+ ) ,

则 y=f(x)的解析式为 f(x)=2sin( (2)由(1)知函数的周期是 8, 由 2kπ ≤( x+ ≤2kπ

,k∈Z,

解得 8k﹣3≤x≤8k+1,k∈Z, 即函数 f(x)单调递增区间[8k﹣3,8k+1],k∈Z. 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,要求熟练掌握三角函数的图象,单调性,最 值性质的求解和应用. 20.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资 单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式. (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元. (精确到 1 万元) .

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据函数的模型设出函数解析式,从两个图中分别找出特殊点坐标,代入函 数解析式求出两个函数解析式. (2)将企业获利表示成对产品 B 投资 x 的函数,再用换元法,将函数转化为二次函数,即 可求出函数的最值. 解答: 解: (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万 元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 由图知 f(1)= ,∴k1= 又 g(4)= ,∴k2= 从而 f(x)= ,g(x)= (x≥0) , (k1,k2≠0;x≥0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10﹣x 万元,设企业的利润为 y 万元 y=f(x)+g(10﹣x)= , (0≤x≤10) ,



,∴

(0≤t≤



当 t= ,ymax≈4,此时 x=3.75 ∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元. 点评: 本题考查利用待定系数法求函数的解析式、 考查将实际问题的最值问题转化为函数 的最值问题.解题的关键是换元,利用二次函数的求最值的方法求解. 21.f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意的 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1 成立.当 x>0 时,f(x)>1. (1)若 f(4)=5,求 f(2) ; (2)证明:f(x)在 R 上是增函数; 2 (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)f(4)=f(2)+f(2)﹣1,即可求出 f(2)的值,

(2)要判断函数的增减性,就是在自变量范围中任意取两个 x1<x2∈R,判断出 f(x1)与 f (x2)的大小即可知道增减性. 2 2 (3)f(3m ﹣m﹣2)<3,得 f(3m ﹣m﹣2)<f(2) ,由(2)知,f(x)是 R 上的增函 2 数,得到 3m ﹣m﹣2<2,求出解集即可. 解答: 解: (1)f(4)=f(2)+f(2)﹣1=5,解得 f(2)=3 (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2﹣x1>0, ∵x>0 时,f(x)>1. ∴f(x2﹣x1)>1 ∴f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>f(x1) ∴f(x2)>f(x1) , ∴f(x)是 R 上的增函数. (3)∵由不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3, 2 得 f(3m ﹣m﹣2)<f(2) , 由(2)知,f(x)是 R 上的增函数, 2 ∴3m ﹣m﹣2<2, 2 ∴3m ﹣m﹣4<0, ∴﹣1<m< , ∴不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3 的解集为(﹣1, ) . 点评: 考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力, 灵活运用题中已知条 件的能力.
2 2 2

22.设函数 g(x)=ax +bx+c(a>0) ,且 g(1)= (1)求证:函数 g(x)有两个零点; (2)讨论函数 g(x)在区间(0,2)内的零点个数.



考点: 函数零点的判定定理;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由条件化简函数的解析式,求出函数的判别式,由判别式大于 0 恒成立得到 函数 f(x)有两个零点; (2)分 c>0 时和 c≤0 两种情况,判断函数值在区间端点处的函数值的符号,根据函数零点 的判定定理得出结论. 解答: 解: (1)证明:∵g(1)=a+b+c=﹣ , ∴3a+2b+2c=0, ∴c=﹣ a﹣b. ∴g(x)=ax +bx﹣ a﹣b, ∴△=(2a+b) +2a , ∵a>0,∴△>0 恒成立, 故函数 f(x)有两个零点.
2 2 2

(2)根据 g(0)=c,g(2)=4a+2b+c, 由(1)知 3a+2b+2c=0, ∴g(2)=a﹣c. (i)当 c>0 时,有 g(0)>0, 又∵a>0,∴g(1)=﹣ <0, 故函数 g(x)在区间(0,1)内有一个零点, 故在区间(0,2)内至少有一个零点. (ii)当 c≤0 时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a﹣c>0, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有一零点, 综合(i) (ii) ,可知函数 g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,函数的零点就是函数 f(x)=0 的根;零点 的判定方法是,函数在区间端点的函数值异号,属于中档题.


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