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2013届高考数学(理)一轮复习教案:第三篇 导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)


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2013 届高考数学(理)一轮复习教案:第三篇 用 专题一 高考函数与导数命题动向
高考命题分析

导数及其应

函数是数学永恒的主题, 是中学数学最重要的主干知识之一;导数是研究函数的 有力工具,函数与导数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础, 而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程, 高考对函数的 考查更多的是与导数的结合, 发挥导数的工具性作用, 应用导数研究函数的性质、 证明不等式问题等, 体现出高考的综合热点.所以在高考中函数知识占有极其重 要的地位,是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地. 高考命题特点 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性,既有选择题、填空题,又有 解答题.其命题特点如下: (1)全方位:近年新课标的高考题中,函数的知识点基本都有所涉及,虽然高考 不强调知识点的覆盖率,但函数知识点的覆盖率依然没有减小. (2)多层次:在近年新课标的高考题中,低档、中档、高档难度的函数题都有, 且题型齐全.低档难度题一般仅涉及函数本身的内容,诸如定义域、值域、单调 性、周期性、图象等,且对能力的要求不高;中、高档难度题多为综合程度较高 的试题,或者函数与其他知识结合,或者是多种方法的渗透. (3)巧综合:为了突出函数在中学数学中的主体地位,近年高考强化了函数与其 他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、 理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度. (4)变角度:出于“立意”和创设情景的需要,函数试题设置问题的角度和方式 也不断创新,重视函数思想的考查,加大了函数应用题、探索题、开放题和信息 题的考查力度,从而使函数考题显得新颖、生动、灵活. (5)重能力: 以导数为背景与其他知识(如函数、 方程、 不等式、 数列等)交汇命题. 利 用导数解决相关问题,是命题的热点,而且不断丰富创新.解决该类问题要注意 函数与方程、 转化与化归、 分类讨论等数学思想的应用. 综合考查学生分析问题、 解决问题的能力和数学素养.
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高考动向透视 函数的概念和性质 函数既是高中数学中极为重要的内容,又是学习高等数学的基础.函数的基础知 识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容.纵观 全国各地的高考试题, 可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主,难度 中等偏下,在解答题中主要与多个知识点交汇命题,难度中等. 【示例 1】?(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, 则 f(1)=( A.-3 解析 法一 ). B.-1 C.1 D.3

∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(1)=

-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3.故选 A. 法二 设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2 -x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x,∴ f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. 答案 A 本题考查函数的奇偶性和函数的求值,解题思路有两个:一是利用奇 函数的性质,直接通过 f(1)=-f(-1)计算;二是利用奇函数的性质,先求出 x >0 时 f(x)的解析式,再计算 f(1). 指数函数、对数函数、幂函数 指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位, 因此高考对指数函数的考查有升 温的趋势,重点是指数函数的图象和性质,以及函数的应用问题.对于幂函数应 重点掌握五种常用幂函数的图象及性质,此时,幂的运算是解决有关指数问题的 基础,也要引起重视.对数函数在新课标中适当地降低了要求,因此高考对它的 考查也会适当降低难度, 但它仍是高考的热点内容,重点考查对数函数的图象和 性质及其应用. ?1? 【示例 2】?(2011· 天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=?5?log30.3,则( ? ? A.a>b>c
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).

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>a>b

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10 10 解析 因为 c=5-log30.3=5log3 3 ,又 log23.4>log3 3.4>log3 3 >1>log43.6> 0,且指数函数 y=5x 是 R 上的增函数,所以 a>c>b.故选 C. 答案 C 本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较.一般是利 用指数函数单调性进行比较. 对数式的比较类似指数式的比较,也可以寻找中间 量. 函数的应用 函数的应用历来是高考重视的考点, 新课标高考更是把这个考点放到了一个重要 的位置. 相对于大纲的高考, 新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加 强, 这主要体现在函数与方程方面,函数与方程已经成为新课标高考的一个命题 热点,值得考生重视. 【示例 3】?(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x <2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 ( A.6 ). B.7 C.8 D.9

解析 由 f(x)=0,x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1,即在一个周期内,函数的图象与 x 轴有两个交点,在区间[0,6)上共有 6 个交点,当 x=6 时,也是符合要求的交点, 故共有 7 个不同的交点.故选 B. 答案 B 本小题考查对周期函数的理解与应用,考查三次方程根的求法、转化 与化归思想及推理能力,难度较小.求解本题的关键是将 f(x)=x3-x 进行因式 分解,结合周期函数的性质求出 f(x)=0 在区间[0,6]上的根,然后将方程 f(x)=0 的根转化为函数图象与 x 轴的交点问题. 导数的概念及运算 从近两年的高考试题来看, 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高 考的热点问题, 解决该类问题必须熟记导数公式,明确导数的几何意义是曲线在 某点处切线的斜率,切点既在切线上又在曲线上. 【示例 4】?已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于直线 3x -y=0,则点 P 的坐标为________.
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3 解析 由题意知, 函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于 3, f′(x0)=4x0 即

-1=3,∴x0=1,将其代入 f(x)中可得 P(1,0). 答案 (1,0) 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力. 利用导数求函数的单调区间、极值、最值 从近两年的高考试题来看, 利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高 考考查的热点.解决该类问题要明确:导数为零的点不一定是极值点,导函数的 变号零点才是函数的极值点; 求单调区间时一定要注意函数的定义域;求最值时 需要把极值和端点值逐一求出,比较即可. 【示例 5】?已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线 l 不 过第四象限且斜率为 3,又坐标原点到切线 l 的距离为 有极值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b. 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0.① 2 ?2? 当 x=3时,y=f(x)有极值,则 f′?3?=0,可得 ? ? 4a+3b+4=0② 由①②解得 a=2,b=-4. 设切线 l 的方程为 y=3x+m 10 由原点到切线 l 的距离为 10 , 则 |m| 10 = 10 ,解得 m=± 1. 2 3 +1 10 2 ,若 x= 时,y=f(x) 10 3

∵切线 l 不过第四象限∴m=1, 由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4, ∴1+a+b+c=4 ∴c=5.

(2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5,
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2 ∴f′(x)=3x2+4x-4.令 f′(x)=0,得 x=-2,x=3. f(x)和 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) [-3,-2) + ? -2 0 极大值 2? ? ?-2,3? ? ? - ? 2 3 0 极小值 ?2 ? ?3,1? ? ? + ?

∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13, 2 ?2? 95 在 x=3处取得极小值 f?3?=27. ? ? 又 f(-3)=8,f(1)=4, 95 ∴f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为27. 在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解 函数的最值时,要先求函数 y=f(x)在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点,再计算函 数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处的函数值, 最后比较即得. 突出以函数与导数为主的综合应用 高考命题强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握数学 学科的整体意义, 加强对知识的综合性和应用性的考查.中学数学的内容可以聚 合为数和形两条主线,其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识, 我们可以把方程看作函数为零,不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角 则是特殊的一类函数.所以,高考试题中涉及函数的考题面很广.新课标高考对 有关函数的综合题的考查,重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性,重在 与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系,要求考生具备较高的 数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力,体现了以函数为载体, 多种能力同时考查的命题思想. 【示例 6】?(2011· 福建)已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axln x, f(e)=2(e=2.718 28?是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直
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? ?1 ?? 线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈? e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最 ? ? ?? 大的实数 M;若不存在,说明理由. 解 (1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axln x. 从而 f′(x)=aln x. 因为 a≠0,故 ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xln x,f′(x)=ln x. ?1 ? 由(2)可得,当 x 在区间? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ? x f′(x) f(x) 2 2- e 1 e ?1 ? ? e,1? ? ? - 单调递减 1 0 极小值 1 (1,e) + 单调递增 2 e

?m=1, 2 ? ?1 ?? 又 2-e<2,所以函数 f(x)?x∈?e,e??的值域为[1,2].据此可得,若? 则 ? ? ?? ?M=2. ? ?1 ?? 对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈? e,e??都有公共点; ? ? ?? ? ?1 ?? 并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都 ? ? ?? 没有公共点. 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t ? ?1 ?? ∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈? e,e??都有公共点. ? ? ?? 本题主要考查函数、导数等基础知识.考查推理论证能力、抽象概括 能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想.

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