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等比数列的前n项和(教师版)


等比数列的前 n 项和(教师版)

1、等比数列的前 n 项和公式 若等比数列{an}的公比为 q(q≠0),前 n 项和为 Sn,则: ①当 q=1 时,Sn=na1; a1(1-qn) a1-anq ②当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 注意:等比数列前 n 项和公式有两种形式,运用该公式求和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况

选择 求和公式的形式,当公比 q 不确定时,要注意对 q 分 q=1 和 q≠1 进行讨论. 2、等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 a1(1-qn) a1 n a1 Sn= =- q+ ,即数列{an}是等差数列?Sn=Aqn+B(A+B=0). 1-q 1-q 1-q

3、等比数列的前 n 项和性质 若{an}为等比数列,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则: m Sm 1-q (1) = (q=1); Sn 1-qn (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是公比为 qm 的等差数列(q≠-1); S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =________; S奇 (4)Sm+n=Sm+qmSn。 4、等差数列与等比数列的互化 (1)若数列{an}是等差数列,公差为 d,实数 b>0,则:数列{ b n }是公比是 bd 的等比数列; (2)若数列{an}是公比为 q 的正项等比数列,则:数列{lgan}是公差为 lgd 的等差数列.
a

考向一 等比数列的基本量计算 例 1—1 在等比数列{an}中,已知 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; a ?1 -2 ? ? ?2na1-a1=189 ① ? 1 =189, ? 1-2 解:由通项公式及前 n 项和公式,得? 化简得? n ? ② ?2 a1=192 - ? 2n 1=96. ?a1·
n

把②代入①得 192-a1=189,∴a1=3.把 a1=3 代入②式得,2n=64=26,∴n=6.即 a1=3,n=6.

32 例 1—2 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· a4= ,且公比 q∈(0,1), 9 (1)求数列{an}的通项公式;(2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. a +a =11, ? ? 1 6 32 解: (1)∵a3a4=a1a6= , ∴? 32 9 ? ?a1a6= 9 , =

?a = 3 解得? 1 ?a =3
1 6

32

?a =3, 或? 32 ?a = 3 .
1 6

1

?a = 3 , ∵q∈(0,1), ∴? 1 ?a =3,
1 6

32

a6 ∴q5= a1

1 1 32 1 n-1 ,∴q= ,∴an= × ( ) . 32 2 3 2 32 1 64 1 64 1 (2)由(1)知等比数列{an}中 a1= ,q= ,所以 Sn= [1-( )n],当 Sn=21 时, [1-( )n]=21,∴n=6. 3 2 3 2 3 2

(1)在等比数列中,对于 a1,an,q,n,Sn 五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量;(2)等比数 列前 n 项和问题,必须注意 q 是否等于 1,如果不确定,应分 q=1 或 q≠1 两种情况讨论.
-1-

变式 1—1 若等比数列{an}中,a1=1,an=-512,前 n 项和为 Sn=-341,则 n 的值是________. a1-anq 1+512q - - 解:∵Sn= ,∴-341= ,∴q=-2,又∵an=a1qn 1,∴-512=(-2)n 1,∴n=10. 1-q 1-q 变式 1—2 在等比数列{an}中,a3-a1=8,a6-a4=216,Sn=40.求公比 q,a1 及 n.

? ?a q -a q =216, 解:显然公比 q≠1,由已知可得:? a ?1 -q ? ? ? 1-q =40,
1 5 1 3 1 n

a1q2-a1=8,

a1=1, ? ? 解得?q=3, ? ?n=4.

考向二 错位相减法 例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. an (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,a1 也满足上式. 故{an}的通项公式为 an=4n-2,即{an}是 a1=2,公差 d=4 的等差数列.设{bn}的公比为 q,则 b1qd=b1,d=4, 1 1 2 - ∴q= .故 bn=b1qn 1=2× n-1,即{bn}的通项公式为 bn= n-1. 4 4 4 an 4n-2 - - (2)∵cn= = =(2n-1)4n 1,∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3× 4+5× 42+…+(2n-1)4n 1, bn 2 - 4n 1 - 2 4Tn=1× 4+3× 4 +5× 43+…+(2n-3)4n 1+(2n-1)4n.两式相减得 1 1 - 3Tn=-1-2× (4+42+43+…+4n 1)+(2n-1)4n= [(6n-5)4n+5],∴Tn= [(6n-5)4n+5]. 3 9 (1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子 Sn=a1+a2 +…+an 两边同乘以公比 q,得到 qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出 Sn;(2)利用错位相减法 求和,是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练. 2n-1 1 3 5 变式 2 求数列 , , ,…, n ,…的前 n 项和. 2 4 8 2 2n-1 2n-1 1 3 5 1 1 3 5 解:设 Sn= + + +…+ n ,①则 Sn= + + +…+ n+1 ,② 2 4 8 2 2 4 8 16 2 1?n-1? 1? 1-? 2? ? 2n-1 ? ? 2n-1 1 2 1 1 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 1 1 ①-②得 Sn= + + + +…+ n- n+1 ,即 Sn= + + + +…+ n-1- n+1 = + - n+1 2 2 4 8 16 2 2 2 2 4 8 2 1 2 2 2 2 1- 2 1?n-1 2n-1 3 2n-1 2n-1 2n+3 1 1 1 = +1-? ?2? - 2n+1 =2-2n-1- 2n+1 .所以 Sn=3-2n-2- 2n =3- 2n . 2 考向三 等比数列的前 n 项和性质 例 3—1 各项都是正实数的等比数列{an},前 n 项的和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 或-50 解:所以 S40=150 例 3—2 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3+7S6=8S9,则数列的公比为__________. 解:因为 S3+7S6=8S9,所以 8(a1+a2+a3)+7(a4+a5+a6)=8(a1+a2+a3+…+a9), 1 1 即-(a4+a5+a6)=8(a7+a8+a9),∴-(a4+a5+a6)=8q3(a4+a5+a6),∴q3=- ,故 q=- . 8 2 例 3—3 一个项数为偶数的等比数列,全部各项之和为偶数项之和的 4 倍,前 3 项之积为 64,求通项公式. 解:设数列{an}的首项为 a1,公比为 q,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶.由题意知 S 奇+S 偶=4S 偶, S偶 1 1 - 即 S 奇=3S 偶,∴q= = .又∵a1· a1q· a1q2=64,∴a3 q3=64,∴a1=12,an=12· ( )n 1. 1· 3 S奇 3 Sm 1-q 若{an}为等比数列,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则:(1) = (q=1);(2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m- Sn 1-qn S偶 S2m,…是公比为 qm 的等差数列(q≠-1);(3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =q; S奇
-2m

)

S10 变式 3—1 记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 =________. S5 S6 18 S10 3 解析 因为等比数列{an}中有 S3=2,S6=18,即 =1+q = =9,故 q=2,从而 =1+q5=1+25=33. S3 2 S5 变式 3—2 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=1,S8=4,求 a13+a14+a15+a16 的值. 解:∵数列{an}为等比数列,∴S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 也构成等比数列,故(S8-S4)2=S4(S12-S8),即(4- 1)2=1× (S12-4),解得 S12=13.同理可解得 S16=40,∴a13+a14+a15+a16=S16-S12=40-13=27. 变式 3—3 等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,求公比 q. ? ?S奇+S偶=-240, S偶 -160 解:根据题意得? ∴S 奇=-80,S 偶=-160.q= = =2. S奇 -80 ?S奇-S偶=80. ? 考向四 等差数列与等比数列的互化 21 1 1? 例 4—1 设{an}是等差数列,bn= ? ? 2 ? ,满足 b1+b2+b3= 8 ,b1b2b3=8,求等差数列{an}的通项公式. ? ? ?1? bn+1 ?2?an+1 ?1? 1?d ?1?d 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 = =?2?an+1-an=? . ∴ 数列 { b n}是等比数列,公比 q= 2 . 2 ? ? ? ? bn ?1?an ?2? 17 1 1 b =2 b1+b3= ? ? ? 8 ?b1=8 ? 1 ?b1=8 1 1 3 ∴b1b2b3=b2= , ∴b2= .∴ , 解得? 或? 时, q2=16, ∴q=4(q=-4<0 1 .当? 8 2 1 b = 3 ? ? ? 8 ?b3=2 ? ?b3=2 b1· b3= 4 1? n-1 1?5-2n ?1? - - 舍去)此时,bn=b1qn 1=? 4 =22n 5.由 bn=? ?8?· ?2? =?2?an,∴an=5-2n. b =2 ? ? 1 1 1 1? 2 n-1 ? ?1?n-1=?1?2n-3=?1?an,∴an=2n-3. 当? 1 时,q =16,∴q=4?q=-4<0舍去?此时,bn=b1q =2· ?4? ?2? ?2? ? ?b3=8 综上所述,an=5-2n 或 an=2n-3.
an

? ? ?

例 4—2 已知等比数列{an}满足 an>0,且 a5· a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,求数列{ log2a2n-1}的前 n 项和。 2n 2 2n 解析:由 a5· a2n-5=2 (n≥3),得 an=2 .∵an>0,∴an=2n.∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1) =n2. (1)若数列{an}是等差数列,公差为 d,实数 b>0,则:数列{ b n }是公比是 bd 的等比数列; (2)若数列{an}是公比为 q 的正项等比数列,则:数列{lgan}是公差为 lgd 的等差数列. 变式 4—1 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时,logax,logbx,logcx 满足________. ①依次成等差数列;②依次成等比数列;③各项的倒数依次成等差数列;④各项的倒数依次成等比数列. 答案:③
a

变式 4—2 已知数列{log2an}是公差为 1 的等差数列, 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S10=10,则 a11+a12+…+a20 的值等于( ) A.10× 211 B.10× 210 C.11× 211 D.11× 210 解析:log2an+1=1+log2an,则 an+1=2an,数列{an}是公比 q=2 的等比数列,a11+a12+…+a20=q10S10=10× 210. 答案:B

-3-

基础达标 + 1、若数列{an}是等比数列,且其前 n 项和 Sn=3n 1-2k,则实数 k 的值是



2 2 2、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an等于( 1 A.(2n-1)2 B. (2n-1)2 C.4n-1 2

) 1 D. (4n-1) 3

n 1 - 2 2 2 2 1-4 解:易知{an}为等比数列且 an=2n 1.∴{a2 } 也是等比数列, a = 1 ,公比为 4. ∴ a + a + … + a = = (4n-1). n 1 1 2 n 1-4 3

3、已知数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且 b1+b3=5,b1b3=4. (1)求数列{bn}的通项公式;(2)若 an=log2bn+3,求证:{an}是等差数列. 解析:(1)由 b1b3=4,b1+b3=5 知,b1、b3 是方程 x2-5x+4=0 的两根.又 bn+1>bn,所以 b1=1,b3=4, - - 所以 b2 qn 1=2n 1. 2=b1b3=4,得 b2=2,所以 q=2,故 bn=b1· - (2)证明:由(1)知,an=log2bn+3=log22n 1+3=n+2.因为 an+1-an=n+1+2-(n+2)=1,所以数列{an}是首项 为 3,公差为 1 的等差数列.

能力提升 4、如果 b 是 a,c 的等差中项,y 是 x 与 z 的等比中项,且 x,y,z 都是正数,则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a- b)logmz=______. 解析 ∵a,b,c 成等差数列,设公差为 d,则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz y2 =-dlogmx+2dlogmy-dlogmz=dlogm =dlogm1=0. xz

5、已知{an}为首项为正数的等比数列,前 n 项和 Sn=80,前 2n 项和 S2n=6 560,在前 n 项中数值最大的为 54, 求通项 an.

解: ∵Sn=80, S2n

? ? =6 560, 故 q≠1, ∴? a ?1 -q ? ? 1-q
1

a1? 1 -qn? =80 1-q
2n

? =6 560.

a1?-80? 1+qn=82, ∴qn=81.∴将③代入①, 得 1-q


=80,∴a1=q-1. 而 a1>0,∴q>1,等比数列{an}为递增数列.故 an=54,即 a1qn 1=54,④将③代入④,得 a =q-1, ? ?a1=2, ? 1 ? 2 - a1= q.由? ∴? ∴an=2· 3n 1(n∈N+). 2 3 ? q = 3. a = q , ? ? ? 1 3

1 6、在等比数列{an}中,(1)若 q= ,S99=77,求 a3+a6+…+a99 的值;(2)若{an}的前 m 项和为 2,其后 2m 项和 2 为 12,求再后 3m 项的和. 1 1 ? 解:(1)S99=(a1+a4+…+a97)+(a2+a5+…+a98)+(a3+a6+…+a99)= ? ?q2+q+1?(a3+a6+…+a99)=7(a3+a6 +…+a99)=77∴a3+a6+…+a99=11. (2)涉及{an}的前 6m 项,把每 m 项之和依次记作:A1,A2,A3,A4,A5,A6,则它们成等比数列公比记作 q. 且 A1=2,A2+A3=12,∴A2+A3=2q+2q2=12,∴q=2 或 q=-3.当 q=2 时,A4+A5+A6=A1(q3+q4+q5) =2× (23+24+25)=112;当 q=-3 时,A4+A5+A6=A1(q3+q4+q5)=2× [(-3)3+(-3)4+(-3)5]=-378. ∴后 3m 项的和为 112 和-378.

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