当前位置:首页 >> 高一数学 >> 3.1.1 方程的根与函数的零点(人教A版必修1)

3.1.1 方程的根与函数的零点(人教A版必修1)


第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
自主学习 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.理解函数的零点与方程根的关系. 3.掌握函数零点的存在性的判定方法. 1.对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的________. 2.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的__________,也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的__________. 3 .方程 f(x) =0 有实数根 ?函数 y= f(x) 的图象与 x 轴有 ________? 函数 y = f(x)有 ________. 4.函数零点的存在性的判定方法 如果函数 y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)________0, 那么 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)________0,这个 c 也就是 方程 f(x)=0 的根. 对点讲练 求函数的零点 【例 1】 求下列函数的零点: (1)f(x)=-x2-2x+3; (2)f(x)=x4-1; (3)f(x)=x3-4x.

规律方法 求函数的零点, 关键是准确求解方程的根, 若是高次方程, 要进行因式分解, 分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零,若是二次方程常用因式分解或求根公式求 解. 变式迁移 1 若函数 f(x)=x2+ax+b 的零点是 2 和-4,求 a,b 的值.

判断函数在某个区间内是否有零点 2 【例 2】 (1)函数 f(x)=ln x- 的零点所在的大致区间是( x )

A.(1,2)

B.(2,3)

1? C.? ?1,e?和(3,4)

D.(e,+∞)

2 (2)f(x)=ln x- 在 x>0 上共有________个零点. x 规律方法 这是一类非常基础且常见的问题, 考查的是函数零点的判定方法, 一般而言 只需将区间端点代入函数求出函数值, 进行符号判断即可得出结论, 这类问题的难点往往是 函数符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断,同时也要注意该函数的单调性. 变式迁移 2 方程 x2-3x+1=0 在区间(2,3)内根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 已知函数零点的特征,求参数范围 【例 3】 若函数 f(x)=ax2-x-1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围.

变式迁移 3 已知在函数 f(x)=mx2-3x+1 的图象上其零点至少有一个在原点右侧,求 实数 m 的范围.

1.函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,但不能将它们完全等同.如函数 f(x)=x2-4x +4 只有一个零点,但方程 f(x)=0 有两个相等实根. 2.并不是所有的函数都有零点,即使在区间[a,b]上有 f(a)· f(b)<0,也只说明函数 y= f(x)在(a,b)上至少有一个零点,但不一定唯一.反之,若 f(a)· f(b)>0,也不能说明函数 y= f(x)在区间(a,b)上无零点,如二次函数 y=x2-3x+2 在[0,3]上满足 f(0)· f(3)>0,但函数 f(x) 在区间(0,3)上有零点 1 和 2. 3.函数的零点是实数而不是坐标轴上的点. 课时作业 一、选择题 1.若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下列说法中错误的是( A.函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 2.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)

)

3.函数 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)>0,f(2)<0,则 f(x)在(1,2)上零点的个数为( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 4.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有 1 003 个,则 f(x)的零点 的个数为( ) A.1 003 B.1 004 C.2 006 D.2 007 5.若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有 一个实数根,则 f(0)· f(4)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.无法判断 二、填空题 6.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 中,a· c<0,则函数的零点有________个. 7 .若函数 f(x) = ax + b (a≠0) 有一个零点是 2 ,那么函数 g(x) = bx2 - ax 的零点是 __________. 8.方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一个实根,则实数 a 的取值范围是____________. 三、解答题 9.判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];

(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];

(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

10.已知函数 f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5 有两个零点. (1)若函数的两个零点是-1 和-3,求 k 的值; (2)若函数的两个零点是 α 和 β,求 α2+β2 的取值范围.

第三章 函数的应用 § 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 答案
自学导引 1.零点 2.实数根 横坐标

3.交点 零点 4.< = 对点讲练 【例 1】 解 (1)由于 f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1). 所以方程-x2-2x+3=0 的两根是-3,1. 故函数的零点是-3,1. (2)由于 f(x)=x4-1 =(x2+1)(x+1)(x-1), 所以方程 x4-1=0 的实数根是-1,1, 故函数的零点是-1,1. (3)令 f(x)=0,即 x3-4x=0, ∴x(x2-4)=0,即 x(x+2)(x-2)=0. 解得:x1=0,x2=-2,x3=2, 所以函数 f(x)=x3-4x 有 3 个零点,分别是-2,0,2. 变式迁移 1 解 ∵2,-4 是函数 f(x)的零点, ∴f(2)=0,f(-4)=0. ?2a+b=-4 ?a=2 ? ? 即? ,解得? . ? ? ?-4a+b=-16 ?b=-8 【例 2】 (1)B (2)1 解析 (1)∵f(1)=-2<0, f(2)=ln 2-1<0, ∴在(1,2)内 f(x)无零点,A 不对; 2 又 f(3)=ln 3- >0,∴f(2)· f(3)<0, 3 ∴f(x)在(2,3)内有一个零点. 2 (2)f(x)=ln x- 在 x>0 上是增函数,且 f(2)· f(3)<0, x 故 f(x)有且只有一个零点. 3 变式迁移 2 B [令 f(x)=x2-3x+1,∴其对称轴为 x= , 2 ∴f(x)在(2,3)内单调递增,又∵f(2)· f(3)<0, ∴方程在区间(2,3)内仅有一个根.] 【例 3】 解 ①若 a=0,则 f(x)=-x-1,为一次函数,易知函数仅有一个零点; ②若 a≠0,则函数 f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程 ax2-x-1=0 仅有一 个实数根, 1 故判别式 Δ=1+4a=0,则 a=- . 4 1 综上,当 a=0 或 a=- 时,函数仅有一个零点. 4 1 ? 变式迁移 3 解 (1)当 m=0 时,f(0)=-3x+1,直线与 x 轴的交点为? ?3,0?,即函数 1 的零点为 ,在原点右侧,符合题意. 3

图① (2)当 m≠0 时,∵f(0)=1, ∴抛物线过点(0,1).

若 m<0,f(x)的开口向下,如图①所示. 二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.

图② 若 m>0,f(x)的开口向上,如图②所示,要使函数的零点在原点右侧,当且仅当 9 9-4m≥0 即可,解得 0<m≤ , 4 9 -∞, ?. 综上所述,m 的取值范围为 ? 4? ? 课时作业 1.C 2.B [f(3)=log33-8+2×3=-1<0, f(4)=log34-8+2×4=log34>0. 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以其零点一定位于区间(3,4).] 3.C [若 a=0,则 f(x)=bx+c 是一次函数, 由 f(1)· f(2)<0 得零点只有一个; 若 a≠0,则 f(x)=ax2+bx+c 为二次函数,如有两个零点,则必有 f(1)· f(2)>0,与已知 矛盾.故 f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.] 4.D [因为 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,又在(0,+∞)内的零点有 1 003 个,所以 f(x)在 (-∞,0)内的零点有 1 003 个.因此 f(x)的零点共有 1 003+1 003+1=2 007 个.] 5.D [考查下列各种图象

上面各种函数 y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点, 但是(1)中,f(0)· f(4)>0, (2)中 f(0)· f(4)<0,(3)中 f(0)· f(4)=0.] 6.2 解析 ∵Δ=b2-4ac>0,∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根,即函数 f(x)有 2 个零 点. 1 7.0,- 2 解析 由 2a+b=0,得 b=-2a,g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax, 1 令 g(x)=0,得 x=0 或 x=- , 2 1 ∴g(x)=bx2-ax 的零点为 0,- . 2 8.(1,+∞) 解析 令 f(x)=2ax2-x-1,a=0 时不符合题意; 1 a≠0 且 Δ=0 时,解得 a=- , 8 1 2 此时方程为- x -x-1=0,也不合题意; 4 只能 f(0)· f(1)<0,解得 a>1. 9.解 (1)方法一 ∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)· f(8)<0.

故 f(x)=x2-3x-18 在[1,8]上存在零点. 方法二 令 x2-3x-18=0,解得 x=-3 或 x=6, ∴函数 f(x)=x2-3x-18 在[1,8]上存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(-1)· f(2)<0. 故 f(x)=x3-x-1 在[-1,2]上存在零点. (3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0, ∴f(1)· f(3)<0. 故 f(x)=log2(x+2)-x 在[1,3]上存在零点. 10.解 (1)∵-1 和-3 是函数 f(x)的两个零点, ∴-1 和-3 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实数根. ? ?-1-3=k-2, 则? 2 ?-1×?-3?=k +3k+5, ? 解得 k=-2. (2)若函数的两个零点为 α 和 β,则 α 和 β 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两根, α+β=k-2, ? ? 2 ∴?αβ=k +3k+5, ? ?Δ=?k-2?2-4×?k2+3k+5?≥0. α +β =?α+β? -2αβ=-k -10k-6, ? ? 则? 4 ? ?-4≤k≤-3, 4? 50 ∴α2+β2 在区间? ?-4,-3?上的最大值是 18,最小值是 9 , 50 ? 即 α2+β2 的取值范围为? ? 9 ,18?.
2 2 2 2


更多相关文档:

3.1.1 方程的根与函数的零点 教案(人教A版必修1)

3.1.1 方程的根与函数的零点 教案(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点 教案 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 ...

2016高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业(含解...

2016高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业(含解析)新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1.函数 f(x...

最新人教A版必修1高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点素材(精品)...

最新人教A版必修1高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点素材(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点素材 优化课堂环节 创设高效...

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点素材 新人教A版必修1

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点素材 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点素材 优化课堂环节 创设高效课堂 ——“方程的...

...学年新人教A版必修1高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)...

2016-2017学年新人教A版必修1高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)学案(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点(1...

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1_其它课程_小学教育_教育专区。“方程的根与函数的零点”【教学目标】 一、知识与技能 1、通过探索一...

...3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思1(精品)

最新人教A版必修1高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思1(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思 【课后反思】 ...

函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的 零点 1.知识与技能 (1)结合二次函数的图象,理解...

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人...

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。课题:3.1.1 方程的根与函数的零点 (1) 精讲部分学习目标展示 (...

高中数学-3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案-新人教A...

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点 1》教案 新人教 A 版必修 1 四、教学过程 【环节一:揭示意义,明确目标】揭示本章意义,指明课节目标 【环节二:巧设...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com