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2.2.1 对数与对数运算(2) 课件(人教A版必修1)


2.2

对数函数

2.2.1

对数与对数运算

第2课时 对数的运算

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行化 简、求值和证明.这是本节的重点. 2.了解对数的换底公式,用换底公式能将一般对数 化成自然

对数或常用对数,这是本节的一个难点.

研 习 新 知

新 知 视 界
1.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.换底公式 logc b loga b= (a>0, >0, >0, ≠1, ≠1). b c a c logc a

思考感悟 m nbm= logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗? (2)(logax)n=logaxn 正确吗? 提示:(1)成立.由换底公式可得 loganbm= mlgb m = log b. nlga n a 且 a≠1,b>0,m、n

n个

(2)不正确. ∵(logax)n=(logax· ax· logax), logaxn log ?· 而 =nlogax=logax+logax+?+logax,∴一般两式不相等.

n个

自 我 检 测 1.若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子 中正确的个数是( )

①logax· ay=loga(x+y); log ②logax-logay=loga(x-y); x ③loga =logax÷ ay; log y ④loga(xy)=logax· ay. log

? ? ? ? ? ? ? ?

A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 2.log63+log62等于( ) A.6 B.5 C.1 D.log65 解析:log63+log62=log63×2=log66=1. 答案:C

1 3.化简 log612-2log6 2的结果为( 2 A.6 2 C.log6 3 B.12 2 1 D. 2

)

12 解析:原式=log6 12-log62=log6 =log6 3. 2

答案:C

? 4.若logab·log3a=4,则b的值为________. ? ? ? ? ? 答案:81 5.已知a2=m,a3=n,求2logam+logan. 解:由a2=m,a3=n, 得logam=2,logan=3, ∴2logam+logan=2×2+3=7.

互 动 课 堂

典 例 导 悟
类型一 对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值. 1 (1)4lg2+3lg5-lg ; 5 1 1+ lg9-lg240 2 (2) ; 2 36 1- lg27+lg 3 5 3 (3)lg +lg70-lg3; 7 (4)lg22+lg5· lg20-1.

? [分析] 对于这类问题,可以将整个式子运用对数 的性质统一为一个单一的对数式进行运算,但这样 做往往比较复杂,也较容易出错.如果分别运用性 质,对每一部分先化简或合并同类项,可以简化运 算过程并提高运算的准确性.

[解]

1 (1)4lg2+3lg5-lg 5

=4lg2+3lg5-lg1+lg5=4lg2+4lg5 =4(lg2+lg5)=4lg10=4.

1 1+ lg9-lg240 2 (2) 2 36 1- lg27+lg 3 5 1 2 1+ lg3 -lg24-lg10 2 = 2 3 1- lg3 +lg36-lg5 3 lg3-lg3-lg8 = 1-2lg3+2lg3+lg4-lg5 -lg8 -lg8 -lg8 = = = =-1. lg8 1-lg5+lg4 lg2+lg4

3 (3)lg +lg70-lg3 7 =lg3-lg7+lg7+lg10-lg3=lg10=1. (4)lg22+lg5· lg20-1=lg22+lg5(lg2+1)-1 =lg22+(1-lg2)(1+lg2)-1 =lg22+1-lg22-1=0.

变式体验 1 计算. 32 (1)2log3 2-log3 +log38-5log53; 9 lg 27+lg8-lg 1000 (2) . lg1.2

解 : (1)原 式= 2log32- (5log32- 2) + 3log32- 5log53=2log32-5log32+2+3log32-3=-1. 3 3 3 lg3+3lg2- ?lg3+2lg2-1? 2 2 2 3 (2)原式= = = . 2 lg3+2lg2-1 lg3+2lg2-1

类型二

换底公式的运用
2

[例 2] 计算: 43+log83)(log32+log92)-log1 (log 4 32. [分析] 用换底公式化不同底为同底,再用对

数的运算法则进行化简.

[解] 原式=(log223+log233)(log32+log322)- log 2 4
2 1 5

1 1 1 5 =( log2 3+ log2 3)(log32+ log3 2)+ 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 = log2 3·log3 2+ = + = . 6 2 4 4 4 2 [点评] 观察式子的结构特点,灵活运用对数 的运算法则和换底公式.

? 变式体验2 已知log147=a,14b=5,用a、b表示 log3528.

解:∵log147=a,log145=b,log1414=1, log1428 log1414+log142 ∴log3528= = log1435 log145+log147 14 1+log14 7 1+log1414-log147 2-a = = = . a+b a+b a+b

类型三 [例 3]

带有附加条件的求值问题 1 1 (1)设 a=lg(1+ ),b=lg(1+ ),用 a、 7 49

b 表示 lg2、lg7; 2 1 (2)设 3 =4 =36,求 + 的值. a b
a b

[分析]

(1)用 lg2、lg7 表示 a、b,然后解方程

组;(2)指数式转化为对数式.

[解]

1 23 (1)a=lg(1+ )=lg =3lg2-lg7, 7 7

1 50 102 b=lg(1+ )=lg =lg =2-lg2-2lg7, 49 49 2×72 1 1 ∴lg2= (2a-b+2),lg7= (-a-3b+6). 7 7

1 (2)∵3 =36,∴3=36 ,∴ =log363. a
a

1 a

2 ∴ =2log363=log369. a 1 同理 =log364, b 2 1 ∴ + =log369+log364=log3636=1. a b

? [点评] 通过指数式、对数式的相互转化,将所求 式子中的元素表示出来.(1)题用到了方程思想,(2) 题还可以对已知等式两边取对数.

变式体验 3 求 lg 45.

已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,

1 1 90 1 1 解:lg 45= lg45= lg = (lg9+lg10-lg2)= 2 2 2 2 2 1 1 (2lg3+1-lg2)=lg3+ - lg2 2 2 =0.4771+0.5-0.1505=0.8266.

类型四

对数的实际应用问题

I [例 4] 声音的强度 D(dB)由公式 D=10lg( -16)给出, 10 其中 I 为声音能量(W/cm2), 如果能量小于 10 人听不见声音.求: (1)人低声说话(I=10- 13W/cm2)的声音强度; (2)平时常人交流(I=3.16×10-6W/cm2)的声音强度; (3) 听 交响音 乐会 时, 坐在 铜管 乐前 (I= 5.01×10 -
6
-16

W/cm2 时,

W/cm2)的声音强度.

[分析] 本题考查对数在实际问题中的应用. 将所 给数据代入公式进行计算即可. [解] (1)人低声说话时的声音强度:

10-13 D=10lg -16=10lg103=30(dB). 10 (2)平时常人交流的声音强度: 3.16×10 6 D=10lg =10lg(3.16×1010) 10-16 =10(lg3.16+10)≈105(dB).


(3)铜管乐前的声音强度: 5.01×10 6 D=10lg =10lg(5.01×1010) 10-16 =10(lg5.01+10)≈107(dB).


? 变式体验4 某城市现有人口总数为100万,如果年 自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: ? (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数 关系式. ? (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人); ? (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 (精确到1年).

? ? ? ?

解:(1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为 y = 100×(1 + 1.2%) + 100×(1 + 1.2%)×1.2% = 100×(1+1.2%)2,

? 3年后该城市人口总数为 ? y = 100×(1 + 1.2%)2 + 100×(1 + 1.2%)2×1.2% = 100×(1+1.2%)3, ? x年后该城市人口总数为 ? y=100×(1+1.2%)x,

(2)10 年后该城市人口总数为 y = 100×(1+ 1.2%)10 = 100×1.01210 = 112.7( 万 人), (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人,即 100×(1+1.2%)x=120, 120 x=log1.012 =log1.0121.2≈15(年). 100

? 思悟升华 ? 1.对数式的求值、化简方法: ? (1)对于同底的对数式的化简常用方法是:①“收”, 将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;② “拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). ? (2)对于常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg5 +lg2=1”来解题. ? (3)对于含多重对数符号的对数式的化简,应从内向 外逐层化简.

(4)当真数是“

±

”的式子时,常用方法是

“先平方后开方”或“取倒数”.
2.对数换底公式的选用 (1)在运算过程中,出现不能直接用计算器或查表

获得对数值时,可化成以10为底的常用对数进行运算;
(2)在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能 运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对 数,再根据运算法则进行化简与求值.

(3)在使用换底公式时, 底数的取值不唯一, 应根 据实际情况选择. (4)重视以下结论的应用: ① logac· ca = 1 ; ② logab· bc· ca = 1 ; ③ log log log m loganb = logab. n
m

课时作业(18)


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