当前位置:首页 >> 数学 >> 第十一节 第一课时 导数与函数单调性

第十一节 第一课时 导数与函数单调性


第十一节

导数的应用

结束

第十一节

导数的应用

1.函数的单调性

在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间 内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为

增函数 .
<

br />f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数 .
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

2.函数的极值

(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的 函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 侧

f′(x)<0 ,右

f′(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y

=f(x)的极小值.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

(2)函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的 其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左 侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的 极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最 大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则

f(a )

为函数的最

小值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递 减,则 f(a) 为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极 值点的导数也不一定为 0.

2. 易混极值与最值: 注意函数最值是个“整体”概念, 而极值是个“局部”概念.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

[试一试]

1.设函数 f(x)=xex,则 A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点

(

D )

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

1 2 2.函数 y= x -ln x 的单调递减区间为 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞)

(

)

答案:B

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

解决含参数问题及不等式问题中的两个转化

(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化 为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的 应用.

(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数 的单调性、极值问题处理.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

[练一练]

1.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________.

答案:a>2 或 a<-1

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

导数的应用

结束

2.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.

答案:8

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

第一课时

导数与函数单调性

[典例]

(2013· 天津高考节选)设 a∈[-2,0],已知函数 f(x)=

?x3-?a+5?x,x≤0, ? ? 3 a+3 2 x- x +ax,x>0. ? 2 ? 证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, +∞)内单调 递增.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性
3

结束

[证明] ax(x≥0),

a+3 2 设函数f1(x)=x -(a+5)x(x≤0),f2(x)=x - x+ 2
3

①f1′(x)=3x2-(a+5),由于a∈[-2,0], 从而当-1<x≤0时,f1′(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0, 所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减. ②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1), 由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时,f2′(x)<0;当x>1时, f2′(x)>0,即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单 调递增. 综合①②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递 减,在区间(1,+∞)内单调递增.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[类题通法]

导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤
(1)求 f′(x);

(2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号;

(3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[针对训练] 已知函数 f(x)=x2-ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明.
解:f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减, f′(x)=2x-ex,只要证明f′(x)≤0恒成立即可. 设g(x)=f′(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex, 当x=ln 2时,g′(x)=0,当x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)>0, 当x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)<0. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, ∴f′(x)<0恒成立, ∴f(x)在R上单调递减.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[典例]

(2012· 北京高考改编)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),

g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有 公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间.

(1)提示:先分别求出函数在x=1处的导数,则导数相等; 又点(1,c)在两曲线上,由此列出方程组求a,b的值. (2)提示:先求函数F(x)=f(x)+g(x)的导数,再令导数为 0,解方程,结合a>0,比较方程根的大小进而求出单调区 间.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[解]

(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,

?f?1?=a+1=c, ? 由已知可得?g?1?=1+b=c, ?2a=3+b, ?

解得a=b=3.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

2 a (2)令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ x+1,F′(x)=3x2+2ax 4

a2 a a + ,令F′(x)=0,得x1=- ,x2=- , 4 2 6 ∵a>0,∴x1<x2, a a 由F′(x)>0得,x<- 或x>- ; 2 6 a a 由F′(x)<0得,- <x<- . 2 6
? ? a? ? a ∴单调递增区间是 ?-∞,-2? , ?-6,+∞? ;单调递减区间 ? ? ? ? ? a a? 为?-2,-6?. ? ?
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

在本例(2)中,若条件不变,讨论函数f(x)+g(x)当 a>0时,在区间(-∞,-1)上的单调性.
解:当0<a≤2时,f(x)+g(x)在(-∞,-1)上为增函数; 当2<a≤6时,f(x)+g(x)在
? a ? ?- ,-1?上单调递减; ? 2 ? ? a? ?-∞,- ? 2? ?

上单调递增,在

当a>6时,f(x)+g(x)在

? a? ?-∞,- ? 2? ?

上单调递增,在

? a ? a ? a? ?- ,- ?上单调递减,在?- ,-1?上单调递增. 6? ? 2 ? 6 ?
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[类题通法]

求函数的单调区间的“两个”方法

(1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域;
②求导数 y′=f′(x);
③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
(2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域;

②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内 的一切实根;

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上 面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函 数 f(x)的定义区间分成若干个小区间;

④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在 每个相应区间内的单调性.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[针对训练]
(2013· 重庆高考)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6).

(1)确定 a 的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
6 解:(1)因为f(x)=a(x-5) +6ln x,故f′(x)=2a(x-5)+x.
2

令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程为y-16a=(6-8a)· (x-1),由点(0,6)在切线上可得6- 16a=8a-6, 1 故 a= . 2
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+x= . x 令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3. 当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)= +6ln 2,在x=3处取得极小 2 值f(3)=2+6ln 3.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[典例]

(2014· 山西诊断)已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)若函数 f(x)在区间(1, +∞)上是减函数, 求实数 a 的取值范围.
[解] (1)当 a=1 时,f(x)=ln x-x2+x,其定义域是(0,+∞), 2x2-x-1 1 f′(x)=x-2x+1=- , x 2x -x-1 1 令 f′(x)=0,即- =0,解得 x=- 或 x=1. x 2 ∵x>0,∴x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
数学
2

求单调区 间时注意 定义域!

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

所给增区间是函数递增区间的子区间,由此可先求出该函 数的单调递增区间即可.同时注意分类讨论思想的运用!
(2)显然函数 f (x )=ln x -a2x 2+ ax 的定义域为(0,+∞), 2 2 - 2 a x +ax +1 - 2ax +1 ax -1 1 ∴f ′(x )= -2a2x +a= = . x x x 1 ①当 a=0 时, f ′(x )= >0, x ∴f (x )在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意. ②当 a>0 时, f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax + 1)· (ax - 1)≥0(x >0), 1 即 x≥ , a 1 1 ≤1, ,+∞ 此时 f (x )的单调递减区间为 a .由 a 得 a≥1. a>0,
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

③ 当 a<0 时 , f′(x)≤0(x>0) 等 价 于 (2ax + 1) · (ax - 1 1)≥0(x>0) , 即 x≥ - , 此 时 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2a
? ? 1 ?- ,+∞?. ? 2a ?

1 ? ?- ≤1, 1 2 a 由? 得 a≤ - . 2 ? ?a<0, 综上,实数 a
? 1? 的取值范围是?-∞,-2?∪[1,+∞). ? ?

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[类题通法]

已知函数单调性,求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a, b)是相应单调区间的子集.

(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0; 若函数单调递减,则 f′(x)≤0”来求解.

提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不 能省略,否则漏解.
首页 上一页 下一页 末页

数学

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[针对训练]
1 3 a 2 (2014· 荆州质检)设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x) 3 2 在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. (1)求 b,c 的值;

(2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间;

(3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单 调递减区间,求实数 a 的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2-ax+b,
? ?f?0?=1, 由题意得? ? ?f′?0?=0,
数学

? ?c=1, 即? ? ?b=0.

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调 递减区间为(0,a).

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

(3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0 成立,
? 2? 即x∈(-2,-1)时,a<?x+x?max=-2 ? ?

2,

2 当且仅当“x=x”即x=- 2时等号成立, 所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2 2).

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

[课堂练通考点] 1.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是
A.(-∞,1] C.(-∞,0] B.[1,+∞) D.(0,+∞)

(

)

解析:∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1, 由f′(x)>0,得ex-1>0,即x>0.

答案:D
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

ln x 2.若f(x)= x ,e<a<b,则 A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) B.f(a)=f(b) D.f(a)f(b)>1

(

)

1-ln x 解析:f′(x)= ,当x>e时,f′(x)<0,则f(x) x2 在(e,+∞)上为减函数,f(a)>f(b).

答案:A
首页 上一页 下一页 末页

数学

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

3.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m的取 值范围是________.
解析:∵f(x)=x3+x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+2x+m. 又∵f(x)在R上是单调增函数, 1 ∴Δ=4-12 m≤0,即m≥ . 3
?1 ? 答案:?3,+∞? ? ?

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

4.?创新题?已知函数f(x)=x +ax
3

2

?2? -x+c,且a=f′?3?. ? ?

(1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调 递增,求实数c的取值范围. 解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,
得f′(x)=3x2+2ax-1.
?2? ?2? ?2? 2 2 当x= 时,得a=f′?3?=3×?3? +2a×?3?-1, 3 ? ? ? ? ? ?

解之,得a=-1.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c. 则f′(x)=3x 列表如下: x f′(x)
? 1? ?-∞,- ? 3? ?
2

? 1? -2x-1=3?x+3?(x-1), ? ?

1 - 3 0 极

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ?

1 0 极 小 值

(1,+∞) +





f(x)

大 值

数学

首页

上一页

下一页

末页

第十一节

第一课时

导数与函数单调性

结束

? 1? 所以f(x)的单调递增区间是?-∞,-3?和(1,+∞); ? ? ? 1 ? f(x)的单调递减区间是?-3,1?. ? ?

(3)函数g(x)=(f(x)-x3)· ex =(-x2-x+c)· ex 有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增, 所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立. 只要h(2)≥0,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).
数学

首页

上一页

下一页

末页


更多相关文档:

第二章 第十一节导数的应用 - 副本

第二章 第十一节导数的应用 - 副本_数学_高中教育_教育专区。此文档为高三文科...[-1,2]上的最大值是___. 第一课时 导数与函数单调性 D 类:命题角度分析...

2017届高考数学一轮复习第11节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性应用能力提升 文

2017届高考数学一轮复习第11节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数单调性应用能力提升 文_数学_高中教育_教育专区。第 11 节 第一课时 导数在...

2015高考一轮复习 导数与函数单调性

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.函数 f(x)=x+eln x 的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(-∞,0...

函数的单调性与导数(第1课时)

第三章 3.3.1 函数单调性导数(第 1 课时)【学习目标】 1.探索函数单调性导数的关系,会利用导数判断函数单调性并求函数的单调 区间; 2.掌握用...

高考数学第一轮课时复习题16-导数与函数单调性

高考数学第一课时复习题16-导数与函数单调性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十四) [第 14 讲 导数与函数单调性] [时间:35 分钟 分值:80 分]...

第十一节 导数的应用

学习目标 ①了解函数单调性和导数的关系, 能利用导数研究函数的单调性, 安吉县昌硕高级中学高三数学(文科)导学案 第十一节 第十一节 导数的应用 导学案主备人:...

文科数学一轮复习:第十一节导数的应用:导数与函数的极值、最值 综合应用

文科数学一轮复习:第十一节导数的应用:导数与函数的极值、最值 综合应用_数学_...导数在研究不等式中的应用 姓名 重点难点 导数与单调性的关系 导数在研究不等式...

第十一节 导数在函数研究中的应用

第十一节 导数在函数研究中的应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。函数、导数...函数一般不超过三次)及最大(最小)值. 二.问题导学 1.导数和函数单调性的...

公开课教案——函数的单调性与导数

2015-2016 学年第 1 学期禹王中学公开课 课题:导数的应用——函数单调性时间:2015 年 12 月 23 日 节次:第四节课 班级:高二文(1)班 教师:邵磊 教学...

导数与函数单调性的关系

导数与函数单调性的关系教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。 若函数 y = f (x) 在某个区间 I 上可导 (对 于区间端点,只要求它存在左(或右)导数)...
更多相关标签:
函数的单调性第一课时 | 函数的单调性与导数 | 导数单调性 | 导数的单调性 | 用导数求函数的单调性 | 函数单调性与导数 | 函数单调性与导数教案 | 导数与单调性 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com