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等差数列测试题(一)


等差数列测试题(一)
1. (2014· 福建卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 3× 2 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,由等差数列的前 n 项和公式,得 S3=3× 2+ d 2 =12,解得 d=2,则 a6=a1+(6-1)d=2+5× 2=12. 2. (2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列,则( A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 bn+1 2a1an+1 【答案】C 【解析】令 bn=2a1an,因为数列{2a1an}为递减数列,所以 = = bn 2a1an 2a1(an+1-an)=2a1d<1,所得 a1d<0. S3 S2 3.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 - =1,则其公差 d= 3 2 1 A. 2 C.3 B .2 D.4 ( ) ) )

a1+a2+a3 a1+a2 S3 S2 【解析】由 - =1,得 - =1, 3 2 3 2 d? 即 a1+d-? ?a1+2?=1,∴d=2. 【答案】B 4.已知等差数列{an},且 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48, 则数列{an}的前 13 项之和 为 ( ) B.39 C.104 D.52

A.24

【解析】因为{an}是等差数列,所以 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48,所以 13(a1+a13) 13(a4+a10) 13× 8 a4+a10=8,其前 13 项的和为 = = =52,故选 D. 2 2 2 【答案】D 5. (2014· 北京卷)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当 n=________时,{an} 的前 n 项和最大. 【答案】8 【解析】∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,∴a8>0,a9<0,∴n=8 时,数列{an}的 前 n 项和最大.

6. (2013· 广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 【答案】20 【解析】方法一:a3+a8=2a1+9d=10,而 3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=2(2a1+9d)=20. 方法二:3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20. 10.(7)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a6=100,则 S11=________; (8)设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________; (9)若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且所有项的和为 780,则这个数 列的项数为________; (10)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,Sn=m,Sm=n(n≠m),则 Sm+n=________. 11(a1+a11) 解:(1)S11= =11a6=1100.故填 1100. 2 (2)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an+bn}也是等差数列.故由等差中项 的性质,得(a5+b5)+(a1+b1)=2(a3+b3),即 a5+b5+7=2×21,解得 a5+b5=35.故填 35. (3)设该等差数列的项数为 n,则 a1+a2+a3+a4=36,an+an-1+an-2+an-3=124, a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3, ∴4(a1+an)=160,即 a1+an=40. n(a1+an) ∴Sn= =20n=780,解得 n=39.故填 39. 2 (4)解法一:令 Sn=An2+Bn,则 2 ? ?An +Bn=m, ? ?A(n2-m2)+B(n-m)=m-n. 2 ?Am +Bm=n ? ∵n≠m,∴A(n+m)+B=-1. ∴Sm+n=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n). 解法二:不妨设 m>n, Sm-Sn=an+1+an+2+an+3+…+am-1+am (m-n)(an+1+am) = =n-m, 2 ∴a1+am+n=an+1+am=-2. (m+n)(a1+am+n) ∴Sm+n= =-(m+n). 2 ?Sn? 解法三:∵{an}是等差数列,∴? n ?为等差数列,D 为公差. ? ? Sm+n Sm Sn Sm ∴ - =nD, - =(n-m)D. n m m+n m m n Sm+n n - - n m m+n m ∴ = ,解得 Sm+n=-(m+n). n n-m 故填-(m+n). 11.在等差数列{an}中, (1)已知 a15=33,a45=153,求 an; (2)已知 a6=10,S5=5,求 Sn; (3)已知前 3 项和为 12,前 3 项积为 48,且 d>0,求 a1. 解:(1)解法一:设首项为 a1,公差为 d,依条件得

? ? ?33=a1+14d, ?a1=-23, ? 解得? ? ? ?153=a1+44d, ?d=4.

∴an=-23+(n-1)×4=4n-27. an-am a45-a15 153-33 解法二:由 d= ,得 d= = =4, 30 n-m 45-15 由 an=a15+(n-15)d,得 an=4n-27. ?a1+5d=10, ? (2)∵a6=10,S5=5,∴? ?5a1+10d=5. ? 解得 a1=-5,d=3. n(n-1) 3 13 ∴Sn=-5n+ ·3= n2- n. 2 2 2 (3)设数列的前三项分别为 a2-d,a2,a2+d,依题意有: ?(a2-d)+a2+(a2+d)=12, ?
? ? a2·(a2+d)=48, ?(a2-d)· ? ?a2=4, 即? 2 2 ? ?a2(a2-d )=48, ? ?a2=4, 解得? ?d=± 2. ?

∵d>0,∴d=2,∴a1=a2-d=2. 12.在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值. 解法一:∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 解得 d=- . 3 5? 5 65 ∴an=20+(n-1)×? ?-3?=-3n+ 3 . ∴a13=0,而 d<0,故当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,an<0. 12×11 ? 5? ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,且最大值为 S12=S13=12×20+ ×?-3?= 2 130. 5 解法二:同解法一得 d=- . 3 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 5 解法三:同解法一求得 d=- . 3 n(n-1) ? 5? 5 125 ∴Sn=20n+ ·?-3?=- n2+ n 2 6 6 5? 25?2 3125 =- ?n- 2 ? + . 6 24 ∵n∈N+,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 13. (2014· 湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n

的最小值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)设数列{an}的公差为 d, 依题意得,2,2+d,2+4d 成等比数列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2. 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.

14.已知数列{an}的通项公式为 an=pn2+qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列. 解:(1)欲使{an}是等差数列,则 an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q 应是一个与 n 无关的常数,∴只有 2p=0,即 p=0 时,数列{an}是等差数列. (2)∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.又(an+2-an+1)-(an+1-an) =2p 为一个常数, ∴数列{an+1-an}是等差数列. n(a1+an) 15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于所有的正整数 n,都有 Sn= ,证明 2 {an}是等差数列. 证明:当 n≥2 时,由题设知 n(a1+an) (n-1)(a1+an-1) an=Sn-Sn-1= - 2 2 1 = [a1+nan-(n-1)an-1], 2 1 同理 an+1= [a1+(n+1)an+1-nan].从而 2 1 an+1-an= [(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1]. 2 整理得(n-1)an+1+(n-1)an-1=2(n-1)an, ∵n≥2,∴an+1+an-1=2an.

所以{an}是等差数列.


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