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3.5.1对数函数的概念3.5.2 对数函数y=log2x的图像和性质 课件(北师大版必修1)


5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质

1.理解对数函数的概念. 2.了解反函数的概念,知道指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数 函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.

3.掌握对数函数y=log2x的图像和性质.

1.本课重点是对数函数的概念、指数函数y=ax(a>0,a≠1)与

对数函数y=logax(a>0,a≠1)的关系及y=log2x的图像和性质.
2.本课难点是指数函数与对数函数的关系及y=log2x的图像和

性质.

1.对数函数的定义 y=logax(a>0,a≠1) (1)解析式为:__________________. a (0,+∞) 底数是:___. x 定义域是:_________. (2)自变量是:___. 2.两个特殊的对数函数

两个特殊的 对数函数

常用对数函数
自然对数函数

形式 形式

y=lgx
y=lnx

3.函数y=ax、x=logay及y=logax(其中a>0,a≠1)间的关系 (1)请根据相关的提示完成下列表格

y=ax

x=logay

y=logax

y=ax
a的取值范围 x的取值范围 y的取值范围

x=logay
a>0,a≠1 ___________ (-∞,+∞) __________

y=logax
a>0,a≠1 ___________ (0,+∞) _________

a >0 ,a ≠1
(-∞,+∞) (0,+∞)

(0,+∞) __________

(-∞,+∞) _________

(2)反函数 ①指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数是

对数函数y=logax(a>0,a≠1) ___________________________.
②对数函数y=logax(a>0,a≠1)的反函数是 指数函数y=ax(a>0,a≠1) ________________________.

4.对数函数y=log2x的图像和性质 (1)请结合表中的数据,在坐标系中画出y=log2x的图像

①表格:

②描点并画图.

(2)结合对数函数y=log2x的图像,填写其相关性质 1 时,y=___ 0 ; ①过点(1,0),即x=___ y 轴右边,表示了___ 零 和______ 负数 没有对数; ②函数图像都在___ x 轴上方,即x>1时, ③当x>1时,y=log2x的图像位于___ x 轴下方,即 y___0 > ;当0<x<1时,y=log2x的图像位于___ 0<x<1时,y___0 < ;

增 函数. ④函数y=log2x在(0,+∞)上是___

1.函数y=logx2是对数函数吗?

提示:不是,对数函数的形式为y=logax(a>0,a≠1).
2.对数函数y=log2x的值域是(0,+∞)吗?

提示:不是,对数函数y=log2x的值域为R.

3.已知f(x)=lnx,则f(1)=________. 【解析】f(1)=ln1=0. 答案:0

4.函数y=2x的反函数为_________.
【解析】函数y=2x的反函数为y=log2x.

答案:y=log2x

对数函数y=logax中参数a及x的范围问题

(1)在对数函数y=logax(a>0,a≠1)中限定a>0,a≠1的原因
①当a≤0时,根据对数式与指数式的关系知y=logax可化为ay=x,
?2 此式可能无意义,如0-2,

? ? 均无意义;

1 2

②当a=1时,ay=x此式恒为1,没有研究的必要.因此规定 a>0,a≠1.

(2)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域是(0,+∞)的原因

因为y=logax可化为x=ay,所以不管y取什么值,由指数函数的
性质可得ay>0,所以x∈(0,+∞).

对数函数的概念问题
【技法点拨】 1.从“三方面”判断一个函数是否是对数函数
看系数 对数符号前面的系数为1 同时
成立

看底数

对数的底数是不等于1的正常数

对数 函数

看真数

对数的真数仅有自变量x

2.确定对数函数解析式的步骤

(1)设:用待定系数法先设出对数函数的形式:
y=logax(a>0,a≠1).

(2)列:通过已知条件建立关于参数a的方程.
(3)求:求出a的值.

【典例训练】
1.下列函数是对数函数的是( )

(A)y=-log2x
(C)y=log2(x+1)

(B)y=logx4
(D)y= log 1 x
2

2.若对数函数f(x)的图像过点P(8,3),求 (1)f(x)的解析式; (2)计算f( 1 )的值.
2

【解析】1.选D.A选项y=-log2x中,对数符号前面的系数是-1
不是1,故A选项不是对数函数;B选项y=logx4中,对数的底数

不是常数,且真数也不是变量,故B选项不是对数函数;C选项
y=log2(x+1)中,对数的真数不是单纯的自变量x,故C选项不 是对数函数;D选项满足对数函数的形式,故选D.

2.解题流程:

【想一想】解答题1的关键点及“f(a)”与“f(x)”的不同点
(其中a为常数)各是什么?

提示:(1)解答题1的关键点就是对对数函数的三个特征的理解 .
由于对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,因此在 解题中注意辨别,如:y=2log2x,y= log 5 x 都不是对数函数.
5

(2)f(a)与f(x)是不同的,f(a)是函数y=f(x)在x=a处的函数值, 是一个常数.

对数函数与指数函数的反函数 【技法点拨】 对数函数与指数函数的反函数的求法 (1)明确函数的底数.

(2)利用指数函数与对数函数互为反函数的关系求解 .底数不变,
指数函数的反函数是相应的对数函数,对数函数的反函数是相

应的指数函数.

【典例训练】
1.(1)y=5x的反函数为__________.

(2)y= log 1 x 的反函数为_________.
2

2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数,

且f(2)=1,则f(x)=________.

【解析】1.(1)∵指数函数y=5x的底数为5, ∴它的反函数为对数函数y=log5x.

答案:y=log5x
(2)∵对数函数y= log 1 x 的底数为 1 ,
2

2

∴它的反函数为指数函数y= ( 1 ) x .
答案:y= ( 1 ) x
2 2

2.函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数是f(x)=logax(a>0,a≠1).

又f(2)=1,即loga2=1,
所以a=2,故f(x)=log2x.

答案:log2x

【想一想】指数函数y=ax(a>0,a≠1)与其反函数y=logax(a

>0,a≠1)的共同点有哪些?自变量x的取值范围相同吗?
提示:(1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与其反函数y=logax(a>0, a≠1)的底数相同,自变量均为x,因变量均为y. (2)指数函数y=ax(a>0,a≠1)自变量x的取值范围为R,而对数 函数y=logax(a>0,a≠1)自变量x的取值范围为(0,+∞).

对数函数y=log2x的图像和性质 【技法点拨】 常见对数函数图像的画法
? ?列表 ? ?描点 ?列表描点法 ? ? ? ?连线 (1)常用方法 ? ? ? ?成图 ? ? ? 基础函数 ?变换作图法 ? ? ?变换过程 ?

(2)对数函数y=log2x的作图还可以借助于它与y=2x的关系画出.

【典例训练】 1.已知函数y=log2x,则( (A)f(8)>0, f( 1 )<0
8 1 (C)f(8)<0, f( )>0 8

)
1 (B)f(8) >0, f( )>0 8 1 (D)f(8)<0, f( )<0 8

2.在同一坐标系中,函数y=2-x与y=log2x的图像是(

)

3.在同一坐标系中画出函数y1=log2x,y2=log5x及y3= log 1 x
5

的图像,并分析这些函数的性质.

【解析】1.选A.方法一:∵f(8)=log28=3>0,f( 1 )= log 2 1
8 8

=-3<0,∴选项A正确. 方法二:由函数y=log2x的图像(如图所示) 可知,当x>1时,y>0;当0<x<1时, y<0.∴f(8)>0,f( 1 )<0.
8

2.选A.函数y=2-x=( )x,其图像是单调递减,且过点(0,1) 的,从而排除B、D,又y=log24=2>0,从而排除C,故选A. 3.图像:

1 2

性质:①定义域为(0,+∞);②值域是R;③y1=log2x,y2=log5x 在(0,+∞)上单调递增.y3= log 1 x 在(0,+∞)上单调递减;④这三 个函数都过定点(1,0);⑤当x>1时,y1>y2>0,y3<0;当0<x<1 时,y1<y2<0,y3>0.
5

【想一想】题3中的三个函数恒过哪个定点?函数y=logax与 y= log 1 x (a>0,a≠1)的图像有什么关系?
a

提示:(1)三个函数恒过定点(1,0). (2)函数y=logax与y= log 1 x (a>0,a≠1)的图像关于x轴对称.
a

【易错误区】因不能正确理解点的对称关系致误
【典例】函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像 关于原点对称,则f(x)的表达式为( (A)f(x)=
1 (x>0) log 2 x

)

(B)f(x)=log2(-x)(x<0) (C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0)

【解题指导】

【解析】选D.∵函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0) 的图像关于原点对称, 故在函数y=f(x)的图像上任取一点(x,y),则其关于①

原点的对称点(-x,-y)必在函数g(x)=log2x(x>0)
的图像上. ∴f(x)=-log2(-x)(x<0).

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的常见错误及解

题启示总结如下:(注:此处的①见解析过程)
常 见 错 误
解 题 启 示 在解题过程中,如果没有按照①处的“故在函数y= f(x)的图像上任取一点(x,y),则其关于原点的对称 选C 点(-x,-y)必在函数g(x)=log2x(x>0)的图像上.”设 点、对称、代入、整理求f(x)的表达式而只是想当然 地认为“关于原点对称的函数值相反”,那么会错选C. (1)涉及到有关对称的题目,一般思路为“设点、对称、代 入、整理”求相应的解析式. (2)函数的对称问题可转化为点的对称问题求解.

【即时训练】已知指数函数y=g(x)过点P(1,2),则其关于直

线y=x对称的函数解析式为_________.
【解析】由题意可设g(x)=ax(a>0,a≠1), 又g(1)=2,∴a=2,∴g(x)=2x. 又g(x)关于直线y=x对称的函数为y=log2x,故所求解析式为 y=log2x. 答案:y=log2x

1.函数y=log0.5x的反函数是(

)

(A)y=-log0.5x
(C)y=2x

(B)y=log2x
(D)y=( 1 )x
2 2

【解析】选D.对数函数y=log0.5x的反函数是y=( 1 )x.

2.函数y=log6x的图像大致是(

)

【解析】选C.∵log61=0,∴函数y=log6x过点(1,0), 又log66=1>0,从而A、B、D均错误.

3.已知对数函数f(x)的图像过点P(9,2),则f( 1 )=______.
27

【解析】设f(x)=logax,则loga9=2,∴a2=9,∵a>0, ∴a=3即f(x)=log3x, ∴f(
1 )= log 3 1 =-3. 27 27

答案:-3

4.已知f(x)=log2x,则f( 3 )+f( 2 )=______.
8

3

【解析】f( 3 )+f( 2 )= log 3 ? log 2 2 2
8

3

8

3

=log2( 3 ? 2 )=-2.
8 3

答案:-2

5.下列函数中,哪些是对数函数?
(1)y=loga x (a>0,a≠1);

(2)y=log(x+1)x;
(3)y= log
? ?2 ?2

x;

(4)y=log2(x-3);
(5)y=3log2x+1.

【解析】(1)中的真数是 x ,而不是x,故不是对数函数.
(2)中的底数是x+1,而不是常数,故不是对数函数. (3)中的底数是(-2)2=4>0,符合对数函数的定义,是对数函数. (4)中的真数是(x-3),而不是x,故不是对数函数. (5)中log2x的系数是3而不是1,后边的常数是1而不是0,故不是 对数函数.


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