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上海交通大学第08届物理竞赛


第八届上海交通大学 大学生物理竞赛
试题及参考答案
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第一试
1,一雨滴的初始质量为 m0 ,在重力的影响下,由静止开始降落。假定此雨滴从 云中得到质量,其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积:

dm =

kmv dt
式中 k 为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量,并给出终极速率的表达 式。忽略空气的阻力。

答:由变质量的运动方程:

(m + dm)(v + dv) ? mv ? udm = mgdt ,此处 u = 0
dm dv v+m = mg dt dt dm Q = kmv dt dv ∴ kmv 2 + m = mg dt dv = g ? kv 2 ∴ dt ∴

速度增加到右边为 0 时,加速度为 0,速度不再变化。

2,考虑一个平面,一条直线把平面分为左右两边,质点在两边的势能分别为 U l 和 U r ,当一个质点以速率 v 斜入射并通过这条直线时,方向如何变化?

答:设左右两边分界线为直线 l,粒子运动速度与 l 的法线夹角为 θ l 。当粒子经 过 l 后,速度为 v r ,与法线夹角 θ r 。 平行于界面动量不变:

mv sin θl = mvr sin θ r
机械能守恒:

1 2 1 mv + U l = mvr2 + U r 2 2
由此解出:
vr = 2(U l ? U r ) + v2 m

θ 2 = arcsin(

v sin θ l 2(U l ? U r ) + v2 m

)

3,一个理想成像的薄凸透镜,一个直的傍轴物体,与主光轴有一定倾斜角,它 的像是直的还是弯的?
(1) 请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明。 (只需在平面坐标下 证明) (2) 你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么?

答: 1)设 y 轴为凸透镜,焦距 f ,物所在直线方程为 y=kx+b (x<0)。由成像公 ( 1 1 1 + = 式: u v f ,且物处于 y 轴左侧,有

1 1 1 + = ? x x' f y' x' =? ?x y x' x' ∴ y ' = y ? = (kx + b) x x 1 1 ∴ y ' = ( k + b( ? ) x ' x' f b ∴ y ' = (k ? ) x'+b f y ' = (k ? b ) x'+b f 仍为直线,所以成像是直的。

所以,像所在曲线方程

(2)假设一束光通过此物体所有点,即沿着此物体传播,那么此光线的折射光 线仍然要沿着像上个点传播。 由于折射后光仍是直线传播, 所以成像必须是直的。

4,已知哈雷彗星的周期为 76 年,试估计其轨道的长半轴。

答:由开普勒第三定律:行星轨道半长轴的三次方与周期平方成正比。 用 a,T 表示哈雷彗星轨道的半长轴和周期,用 a 0 ,T0 表示地球轨道的半长轴和周 期。则:
a 3 a0 = T 2 T0 2 ∴a = 3
3

76 years ? a0 1 year

∴ a = 17.94 Au 1Au = 1.49 × 1011 m ∴ a = 2.67 × 1012 m

本题只要估计合理即可。 如果了解光从太阳射到地球大概要 8 分钟,对 Au 的数量级估计是不会错的。

5,一质点在 xy 平面运动,受力

r C F = eθ r

r 其中 r 为离开原点的距离, eθ 为横向(垂直于位移矢量 r )单位矢量。试分析此 力对质点的做功情况,这个力是保守力还是非保守力?

答:在平面极坐标下:

c ? ? F = 0r + θ r
? ? d s = drr + rdθθ
做功 W:

W = ∫ F ? d s = 0 + cdθ = cΔθ
l

此力做功仅和角度有关, Δθ 为路径绕过原点的角度。 沿一条包围原点的闭合路径做功,则 W = 2π ? c ≠ 0 ,所以 F 不能沿任何闭合路径 做功为零,所以 F 不是保守力。

6,水的定压比热容为 4.186 kJ /(kg ? K ) ,可近似看成与温度无关。 a)在恒压条 ( o o o 件下, 0 C 的 1.0 kg 水突然与 100 C 的热库接触,当水达到 100 C 时,求水和热 o o 库的总熵变。 b)在恒压条件下,如果 0 C 的 1.0 kg 水先与 50 C 的热库接触, (
o 平衡后再与 100 C 的热库接触,求整个系统的熵变。

附注:熵的定义:熵是一个状态函数,记作 S,它在状态 1、2 之间的差值定义

为:

ΔS = S 2 ? S 1 = ∫

2

1

dQ (沿可逆过程) T

答:(a)对水: Q = C p (T ? T0 )

dS =

dQ mC p dT = T T 373 mC p 373 ΔS = ∫ dT = mC p ln( ) = 1.306kJ / K T 273 273

对热库:T=373K

ΔS =
总熵变:0.184 kJ/K

? mC p (T ? T0 ) T

= ?1.122kJ / K

(b)对水:熵变仍为 1.306kJ/K
对热库 1:

ΔS1 =
对热库 2:

? mC p (T1 ? T0 ) T1

= ?0.648kJ / K

ΔS 2 =
总熵变:

? mC p (T2 ? T1 ) T2

= ?0.561kJ / K

ΔS = 1.306 ? 0.648 ? 0.561 = 0.097 kJ / K

7,求解如图所示用一根细线悬挂圆规时,圆规张开多 大的角度可以使其旋转点 (即两臂连接处) 抬升得更高,

假定圆规两臂的长度相等。假定圆规臂上质量分布均匀。

答:arccos(1/3)

如图,A 为悬挂点,0 为旋转点,B 为另一脚端点。可知,两脚的重心为它们的 中点 E、C,整个圆规重心在 EC 中点 F,悬挂时绳的延长线肯定过 F,做 OH 垂 直于 AF,则 AH 代表了 O 的高度,想让 O 最高,则使 AH 最短。 在直角三角形 AHO 中,AH=AOcos(A), 这样就仅需求出角 A 的最大值。

因为 OE=OC,F 为 CE 中点,所以 OF 垂直于 EC,所以无论 B 点如何变动,角 OFC 总为直角,这样,F 的轨迹为圆,CO 为此圆直径,如上图。 当 AF 与此圆 O’相切时,角 A 最大,如下图。

FO’垂直于 AF,且 AO’=3FO’,所以 cos(FO’A)=1/3。因为 F、O’为 CE,CO 中点, 所以 FO’平行于 EO,所以角 FO’C=角 EOA,即圆规的张角。
这样,想让圆规旋转点最高,要使张角为 arccos(1/3)。

8,两块平行的导电平板,面积均为 S,两者内壁相距 L0 ,它们由一个导电弹簧 连接,该弹簧的松弛长度为 L0 ,劲度系数为 k,整个系统是电中性的。最初弹簧
处于松弛状态,且 L0 远小于平板尺度。现将此系统置于一方向和导电平板垂直 的均匀电场 E 0 中,则两板之间的平衡距离为 L。试求 L 作为 E 0 , L0 ,k 和 S 的 函数关系。

答:因为两块极板被导电弹簧连接,所以两极板等电势,两板间电场强度为 0, 仅在两块导体外侧存在感应电荷。 由于 L0 远小于平板尺度,导体板可以看作无限大带电平面。由对称性,两极板 曲一个直圆柱形高斯面, 面电荷密度大小相等, 设带正电的极板面电荷密度为 σ 。 包围一小块极板外表面,两底平行于极板,底面积为 S’。由高斯定理:

σS ' = E s ? d S ' =E 0 S ' ε 0 ∫∫ ∴σ = ε 0 E0
另一块极板在此极板处产生场强:E’
E' = ? 1σ 1 = ? E0 2 ε0 2

外界产生的总场强 E:
E = E0 + E ' = 1 E0 2

此极板受电场力 F:
1 F = ∫∫ E 0σ ? dS 2 S F= 1 ε 0 E0 2 S 2

由胡克定律:
F = k (l ? l 0 )

所以 l 为:

l=

ε 0 E0 2 S
2k

+ l0

本题也可以用虚功原理求极板受的电场力。

9,如本题图,以刚性杆的固有长度恰好与栅栏的间隔相等。杆与栅栏保持平行, 向前高速运动,同时具有一个向栅栏靠拢的微小横向速度。当杆飞临栅栏所在的 平面时,正好对准了一个空档。因洛仑兹收缩效应,它此刻的长度比栅栏间隔略 小,竟未受任何阻碍而顺利通过。如果我们变换到杆的静止参考系类去看问题, 则发现栅栏 的间隔因洛 仑兹收缩而 变得比钢杆 的 长 度 小 些,杆还通 的过吗?

答:

如果选 v 方向为 x 轴, 那么长度收缩只发生在 x 方向, 方向长度不会发生变化。 y 设在不发生相对论效应时,杆的倾斜方向与速度方向成角 θ 。杆和栅栏在 y 方向 的长度(即高度)均为 l sin θ ,刚好通过。所以,当发生相对论效应是,无论以 谁为参照系,无论 x 方向长度收缩多少,两者在 y 方向的分量相同,杆均可以顺 利通过栅栏间的空间。下面具体分析。 假设杆相对于栅栏速度为 v,取 v 方向为 x 方向,栅栏与 x 轴夹角为 θ ,栅栏间 距 l。在栅栏参照系下,观察到一根杆长度为 l 的杆,以倾角 θ 沿 x 轴,以速度 v 通过栅栏。

设栅栏两端为 a,b;杆两端为 a’,b’.在栅栏参照系下,a,a’重合与 b,b’重合是同时发 生的。一个高度为 l sin θ 的杆通过一个高度 l sin θ 的栅栏,理所当然;从长度角 度看,一个长为 l 的杆通过一个宽为 l 的栅栏,也是理所当然。 这时,可以计算杆的固有长度

l 0 = l sin 2 + γ 2 cos 2 θ > l
固有长度分量:

l 0 x = lγ cos θ l 0 y = l sin θ
可以看出,它与 x 轴夹角并不是 θ ,而是比 θ 小,设为 θ1 。 在杆的参照系下,栅栏的长度也发生了变化,如下:

l ' = l sin 2 + l'x = l cos θ

cos 2 θ

γ2

<l

γ

l ' y = l sin θ
栅栏间距变小了,与 x 轴夹角却变大了,设为 θ 2 。这样,在杆参照系下,b,b’先 重合,a,a’后重合,这两个事件不是同时的,所以它是斜着穿过栅栏的。从 y 方 向看,一个高度为 l sin θ 的杆通过一个高度 l sin θ 的栅栏,理所当然;从长度角 度看,虽然栅栏间距比杆小,但杆是斜着穿过的,也是理所当然的。 所以,无论从哪个参照系下看此事件,都不违背任何物理规律。

10,在基于物理学的杂技表演中,同样密度、半径分别为 r 和 R=2r 的两个圆柱, 被放置在一个质量为 M=6kg 的小车上,小圆柱的质量为 m=1kg,两圆柱之间以 及圆柱与小车之间的静摩擦系数达到足以保证两者之间保持为无滑滚动, 在初始 状态下,大圆柱的轴线位于小车的中间位置,并且三者相对静止。小车受到一个 水平拉力 F ,方向如图所示,运动过程中两圆柱的轴连线与水平方向成固定 ? = 60o 。
(1)求外力 F 的大小; (2)要维持这种状态 1 秒钟,小 车至少要多长; (3)? 角有等于 0 度的可能吗? 试分析。

答: 由两个圆柱的体积关系, 可得大圆柱的质量为 4m。 由已知, 小车质量 M=6m。 设小圆柱和大圆柱的角加速度为 α 1 , α 2 ,两圆柱共同的水平方向线加速度为 a1 , 小车的加速度为 a 2 。当两圆柱以及大圆柱与小车均作无滑的无粘滞阻力的滚动 时,我们有
Rα 2 = a 2 ? a1 和 Rα 2 = rα 1

由于 R = 2r ,因此

α 1 = 2α 2 =

a 2 ? a1 r (1)

2 2 2 大小两圆柱的转动惯量分别为 I 2 = 4 R / 2 = 8mr 和 I 1 = mr / 2 。

受力分析如图。

有如下动力学方程: 平动方程: 对小车:F ? F fr = 6ma 2 , (2) 对大圆柱竖直方向: g + N 1 ? N = 0, (3) 4m 对大圆柱水平方向F fr ? N 2 = 4ma1 , (4) 对小圆柱竖直方向:N 1 = mg , (5) 对大圆柱水平方向:N 2 = ma1 , (6) 转动方程: N 1 r cos ? ? N 2 r sin ? = I 1α 1 , (7)

F fr R + N 2 R sin ? ? N 1 R cos ? = I 2α 2. (8)
由(4)(6) ,

F fr = ma1 + 4ma1 = 5ma1 (9)
由(5)(6)(7)(8)(9) , , , , :

mr 2α 1 , (10) mgr cos ? ? N 2 ma1 r sin ? = 2 10ma1 r + 2ma1 r sin ? ? 2mgr cos ? = 4mr 2α 2. (11)
两式相除,又由(1) ,可解出:

a1 =
把此结果代回(10) ,可解出:

g cos ? g = 1 + sin ? 2 + 3

α1 =

2 g cos ? 2g = (1 + sin ? )r (2 + 3 )r

把以上两结果代回(1) ,可解出:
a2 = 3 g cos ? 3g = 1 + sin ? (2 + 3 )r

把以上结果和式(9)代回(2) ,可解出:
F= 23mg cos ? 23 g = 1 + sin ? (2 + 3 )

由已知,初始时圆柱位于小车中点,要维持一秒,则小车长 l 满足:

l 1 ≥ (a 2 ? a1 )t 2 2 2 2 g cos ? 2g = l≥ 1 + sin ? 2 + 3
若 ? = 0 ,则:

a1 = g , a 2 = 2 g , α 1 =

2g ; r F = 23mg , N 1 = N 2 = mg ;

F fr = 5mg , N = 5mg ;
一切加速度,角加速度,力都是有意义的,所以可以实现 ? = 0 。 因为题中给出条件,接触表面绝对粗糙,保证无相对滑动,所以无须考虑摩 擦力与正压力的关系。如果考虑到实际情况,想达到 ? = 0 时的平衡,必须要使 静摩擦系数 μ s 大于 1。

第二试
1:设粒子在一无穷深势阱中运动,势能为

V =

{

∞ ,当 x < 0 , x > a 时 0 ,当 0 < x < a 时

(1)求粒子的能级和波函数; (2)处于第 n 个能级的粒子,求其位置平均值的和涨落;

(x ? x )2 (3)求出经典力学下的 x 和 并与(2)中的结果比较; 1 a (4)计算粒子处在区间[0, 2 ]内的量子概率和经典概率,比较其结果;
(5)若在t=0时,粒子处在状态

ψ = ψ1 ?
求位置
x 和动量 p 随时间的演化。

1 2

3 ψ0 2

(6)下面给出了氢原子电子在n=2,l=1状态下的波函数(n为主量子数,l为角量 。表达式为求坐标下的表达式。 子数,m为磁量子数)

Ψ (r , θ , φ ) = Yl ,m (θ , φ ) Rn ,l (r ) l = 1, m = 0 : Y1, 0 (θ , φ ) = l = 1, m = ±1 : Y1, ±1 (θ , φ ) = 3 cos(θ ) 4π 3 sin(θ )e ±i? 8π
r

1 1 3 / 2 r ? 2α1 ) ( )e n = 2, l = 1 : R2,1 (r ) = ( α1 3 2α1 α1 = 0.053(nm)
请定性描述这种状态下的各种可能电子云形状, 并通过一些简单的计算支持你的 观点。 (答题字数:500以上,前五问要给出尽量详细的计算过程) 答:(1)薛定谔方程

?

h2 ?2Ψ ?Ψ + V 0 Ψ = ih 2 2m ?x ?t

把波函数方程的解写为

Ψ ( x, t ) = ψ ( x)T (t ) = ψ ( x)e ?iEt / h
求解定态的薛定谔方程

[?

h2 2 ? + V ( x)]ψ = Eψ 2m

对于势阱内部 V = 0 ,方程转化为
h 2 d 2ψ + Eψ = 0 2m dx 2

求解此微分方程有

ψ = A sin(kx + δ )
考虑边界条件,波函数在 x = 0, a 处为零,即得常数 δ = 0 ,且有量子化条件

ka = nπ , n = 1,2,...
于是定态的波函数解为

ψ n ( x) = A sin

nπx a

n2h2 En = , n = 1,2... 8ma 2
作归一化处理

A = 2/a
粒子波函数为

Ψn ( x, t ) = 2 / a sin

nπx ?iEnt / h ,0 ≤ x ≤ a e a

n = 1,2,...,
(2)对于第 n 能级,位置平均值和涨落
* x = ∫ Ψn ? x ? Ψn dx = a / 2 0
a

( x ? x)

2

a a2 6 * = ∫ Ψn ? ( x ? ) 2 ? Ψn dx = (1 ? 2 2 ) 2 12 nπ 0

a

(3)在经典力学下,粒子在陷阱中任一处都是等概率的即 P = 1 / a ,所以

x = ∫ P ? xdx = a / 2
0

a

a a2 ( x ? x) 2 = ∫ P ? ( x ? ) 2 dx = 2 12 0
可以看到,由量子力学解出的位置平均值和经典力学下的结果是一样的,这是由 对称性决定的。而量子力学解出的涨落在取 n → ∞ 的极限就是经典力学下的解, 可见经典力学下的解不过是量子力学在取量子数趋向于无穷大的极限, 这一点对 位置平均值也是适用的。这恰好反映了波尔的对应原理。 (4)由对称性,其结果显然都为 1/2。

a

(5) 对于

ψ = ψ1 ?

1 2

3 ψ0 2 ,它并不是一个新的状态。若粒子的波函数满足以上等

式,我们能肯定的只是粒子在任一时刻要么处在ψ 1 ,要么处在ψ 0 ,且二者必居 其一。这实际上是粒子在不同能级间跃迁时所处的状态。考虑波函数的时间部分
1 3 Ψ1 ? Ψ0 2 2 πx 2πx ?iE2t / h 3 1 e = 2 / a ( sin ? sin e ?iE1t / h ) a a 2 2 Ψ=

据此求解粒子位移和速度与时间的关系
* x = ∫ Ψn ? x ? Ψn dx 0 a

=

?1 ? 2πx πx 3 2πx 3 2 πx 2 + sin ? sin sin (e i ( E1 ? E2 ) t / h + e ?i ( E1 ? E2 ) t / h ) ?dx x ? ? sin 2 ? a a 4 a a a∫ ?4 4 0 ? ?
a

= A + B cos(ωt )
其中 A,B 为常数, ω = ( E 2 ? E1 ) / h 。 由上式可见,粒子位置的平均值是随时间变化的,且形式为简谐振子。由电 磁辐射原理,若此粒子为电子,它会发出频率为 ( E 2 ? E1 ) / h 的光子,其能量恰 好为 E 2 ? E1 。
? p = ∫ Ψn ? (?ih
0

a

? Ψn )dx ?x

πx ?iE t / h ? i2h 1 2πx iE2t / h 3 πx iE t / h 1 2π 2πx ?iE t / h 3π = ∫ ( 2 sin a e ? 2 sin a e 1 )( 2 a cos a e 2 ? 2 a cos a e 1 )dx a 0
a

=

a ? i(E1 ? E2 )t i(E1 ? E2 )t πx πx 4πx 3π 2πx 2πx 2πx ? i2h π ∫{4a sin a + 8a sin a ? sin a cos a exp[ h ] ? sin a cos a exp[ h ]}dx a 0

= iC + iD exp[

i[ E1 ? E 2 ]t ? i ( E1 ? E 2 )t ] + iF exp[ ] h h = i (C + D cos ωt + F cos ωt ) + ( F ? D) sin ωt

其中 C,D,F 为常数。取实部,可见其动量平均值亦符合简谐振子的运动形式, 角速度 ω = ( E1 ? E 2 ) / h (6)根据计算可以得到 p 能态电子云应该是绕 z 轴旋转对称的,经计算,m=0 的电子云主要分布在 z 轴附近,形状类似于一个哑铃,m=1 或 m=-1 的电子云分 布在 xy 平面,形状如同中间薄边缘厚的饼或面包圈。
注:对应原理。波尔认为,在原子范畴内的现象与宏观范围内的现象可以各自遵循本范围内 的规律, 但当把微观范围内的规律延伸到经典范围内时, 则它所得到的数值结果应该与经典 规律所得到的相一致。

2:(1)如果一个物理过程在自然界中发生,它是满足某一个物理规律。如果有 一面镜子, 那么你在镜子中将看到一个与这个过程 “对称” 的过程在镜子中发生。 请问:在镜子中的那个物理过程是否也满足同一个物理规律? (2)把一块牛排放在镜子旁,在镜子中会出现一个虚像。如果在现实生活中存 在一块与那个虚像全等的牛排,那么你吃下这块牛排,将会对你造成什么影响? (3)如图:一根直导线旁边放一个磁针,那么磁针会在磁场的作用下旋转。在 这个系统旁边放一块镜子, 那么镜子中的那个直导线产生的磁场和原来的磁场时 相同的,但你看到镜子中的磁针却像另一个方向偏转。这是否说明在我们这个世 界中适用的物理规律在镜子中的那个“世界”是不适用的呢?请详细分析。

M I I’

(4)放开你的眼界,你能否找到一个现象,说明在我们这个世界中适用的规律 在镜子中的世界不适用。 (5)谈谈你对对称性的理解 (答题字数:500以上)

3:(1)电影《黑客帝国》描述了未来人类与机器人发生战争的情景。人类为了 战胜机器,就引爆核弹,让激起的尘埃遮蔽天空,以为没有了太阳能,机器就失 去了能源从而失去动力。可是机器却俘虏大量人类,利用人的新陈代谢释放的能 量给他们提供电能,死去的人就被分解后给其他人提供营养。就这样,利用这个 巨大的“人体电池”,机器把人类逼到了地下生活,并利用“Matrix”来控制用 来提供电能的人类俘虏的思维,在他们的大脑里构造出一个今天我们生活的世 界。人类进行了1900多年的战争仍没有取得胜利。请问:电影里所描述的那种情 形会存在么?请从热力学角度进行解释。 (2)请从热力学角度通过计算估计地球能够承担的人口上限。 (答题字数:500以上)


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