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四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题


四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试 数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 。第Ⅰ 卷1至2页,第Ⅱ 卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 ? 0} , B ? {x | (A) {x | ?1 ? x ? 2} (C) {x | ?1 ? x ? 4}
x ?1 ? 0} ,则 A B ? x?4 (B) {x | ?2 ? x ? 4} (D) {x | ?4 ? x ? 4}

2.复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 2 ? i ,则 z= 1 1 1 5 (A) ? i (B) ? i 2 2 2 2
2 2

(C)

3 1 ? i 2 2

(D)

3 5 ? i 2 2

3.已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定成立的是
1 1 (A) ( ) a ? ( )b 4 3

(B)

1 1 ? a b

(C) ln(a ? b) ? 0

(D) 3a ?b ? 1

4.下列说法中,正确的是 (A) ?? , ? ? R , sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (B)命题 p: ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 0 (C)在△ ABC 中,“ AB ? AC ? 0 ”是“△ ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件 (D)已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”成立的充分不必要条件
? y ? 2 x ? 2, y ?1 ? 5.设实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 的取值范围是 x?3 ? x ? 2, ?
1 (A) (??, ? ] [1, ??) 5 1 1 (C) [? , ] 5 3 1 (B) [ ,1] 3 1 (D) [? ,1] 5

6.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 32 ? 64 ”的值,则判断

框内可以填入

(A) k ? 132? (B) k ? 70? (C) k ? 64? (D) k ? 63? 7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? (A) f ( x) 的图象关于直线 x ? ? (B) f ( x) 的图象关于点 (?
2? 对称 3

?
2

)的部分图象如图所示,下列说法正确的是

5? , 0) 对称 12

(C) 将函数 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移

? 个单位得到函数 2

f ( x) 的图象

? (D)若 方程 f ( x) ? m 在 [? , 0] 上有两个不相等的实数根,则 m 的取 2 (?2, ? 3]









8.现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各 3 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同 一种颜色,且蓝色卡片至多 1 张. 则不同的取法的共有 (A) 135 9.如图,已知双曲线 (B) 172 (C) 189 (D) 216 |F1F2|=8,P 是双 PF1 上的切点为 Q,

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2, a 2 b2

曲线右支上的一点,直线 F2P 与 y 轴交于点 A,△ APF1 的内切圆在边 若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为 (A) 2 (C)2 (B) 3 (D)3

10.设 m 是一个非负整数,m 的个位数记作 G (m) ,如 G (2015) ? 5 , G (16) ? 6 , G (0) ? 0 ,称这样的函数为尾数 函数.给出下列有关尾数函数的结论: ①G (a ? b) ? G (a) ? G (b) ; ②?a, b, c ? N ,若 a ? b ? 10c ,都有 G (a) ? G (b) ; ③G (a ? b ? c) ? G (G (a) ? G (b) ? G (c)) ; ④G (32015 ) ? 9 . 则正确的结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出,确认后 再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
2 2 ? 3? 11.已知 ? ? ( , ) , sin(? ? ? ) ? ? ,则 tan ? ? _________. 3 2 2 ?2 x , x ? 0, 1 ? 12.函数 f ( x) ? ? 则使 f ( x) ? 的 x 值的集合是___________. 2 ? ?| log 2 x |, x ? 0,

13.已知 P 为抛物线 x 2 ? 4 y 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 (2,0) ,则 | PA | ? | PM | 的最小 值为__________. 14.如图 1,已知点 E、F、G 分别是棱长为 a 的正方 D1 的棱 AA1、BB1、DD1 的中点,点 M、N、P、Q CF、BE、C1D1 上运动,当以 M、N、P、Q 为顶 PMN 的俯视图是如图 2 所示的正方形时,则点 P __________. 15. 已知 8 个非零实数 a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, 向量 OA1 ? (a1 , a2 ) , OA2 ? (a3 , a4 ) , OA3 ? (a5 , a6 ) , OA4 ? (a7 , a8 ) , 给出下列命题: ① 若 a1,a2,…,a8 为等差数列,则存在 i, j (1 ? i, j ? 8, i ? j , i, j ? N* ) ,使 OA1 + OA2 + OA3 + OA4 与向量
n ? (ai , a j ) 共线;

体 ABCD-A1 B1Cl 分别在线段 AG、 点的三棱锥 Q- 到 QMN 的距离为

②若 a1 , a2 , … , a8 为公差不为 0 的等差数列,向量 n ? (ai , a j ) (1 ? i, j ? 8, i ? j , i, j ? N* ) , q ? (1, 1) ,
M ? { y | y ? n ? q} ,则集合 M 的元素有 12 个;

③ 若 a1,a2,…,a8 为等比数列,则对任意 i, j (1 ? i, j ? 4, i, j ? N* ) ,都有 OAi ∥OAj ;

OAj <0; ④ 若 a1,a2,…,a8 为等比数列,则存在 i, j (1 ? i, j ? 4, i, j ? N* ) ,使 OAi ·

OAj (1 ? i, j ? 4, i ? j , i, j ? N* ) ,则 m 的值中至少有一个不小于 0. ⑤ 若 m= OAi ·
其中所有真命题的序号是________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了 50 名 居民进行问卷调查.活动结束后,团委会对问卷结果进行了统计,并将其中“是否知道灭火器使用方法(知道或 不知道) ”的调查结果统计如下表: 年龄(岁) 频数 知道的人数 [10,20) m 4 [20,30) n 6 [30,40) 15 12 [40,50) 10 6 [50,60) 7 3 [60,70] 3 2

表中所调查的居民年龄在[10,20),[20,30),[30,40)的人数成等差数列.

(Ⅰ)求上表中的 m,n 值,若从年龄在[20,30)的居民中随机选取两人,求这两人至少有一人知道灭火器使用 方法的概率; (Ⅱ)在被调查的居民中,若从年龄在[10,20),[20,30)的居民中各随机选取 2 人参加消防知识讲座,记选中的 4 人中不知道灭火器使用方法的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2sin x, ?1) , n ? (sin x ? 3 cos x, ?2) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . ? ? (Ⅰ )求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的零点; 2 2 (Ⅱ )在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 4 ,△ABC 的面积 S ? 3 ,当 x=A 时,函数 f ( x) 取得极大值,求 b ? c 的值. 18.(本小题满分 12 分) 已知数列{an},{bn}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn= (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ( n ? N* ). (Ⅰ)若{bn }是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅱ )若{an}是等差数列,且 an≠0,问:{bn}是否是等比数列?若是,求{an}和{bn}的通项公式;若不是,请说 明理由. 19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABB1A1⊥ 底面 ABC, AB ? BC ? CA ? 别是 BC、A1C1 的中点. (Ⅰ)试在棱 AB 上找一点 F,使 DE∥平面 A1CF; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A-A1C-F 的余弦值. 20. (本小题满分 13 分) 已知动点 P 到定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 x ? 4 的距离的比值为 (Ⅰ )求动点 P 的轨迹?的方程; (Ⅱ )若过点 F 的直线与点 P 的轨迹?相交于 M,N 两点(M,N 均在 y 轴右侧),点 A(0, 2) 、 B(0, ?2) ,设 A,B, M,N 四点构成的四边形的面积为 S,求 S 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ln x (a?R). (Ⅰ )当 a=2 时,求函数 f ( x) 在(1, f(1))处的切线方程; (Ⅱ )求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ )若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),不等式 f ( x1 ) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 . 2
1 A1AB=120° ,D、E 分 AA1 ,∠ 2

资阳市高中 2012 级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:BAACD,BDCCB. 二、填空题:11. ?2 2 ;12. {?1, 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) ?m ? n ? 15, 解析:(Ⅰ)由题 ? 解得 m ? 5 , n ? 10 . ?m ? 15 ? 2n, 记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件 A, C2 6 13 则 P( A) ? 1 ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ?1? ? .· 2 C10 45 15 (Ⅱ )随机变量 ? 的所有可能值为 0,1,2,3. C 2 C62 6 15 45 15 则 P ?? ? 0 ? ? 4 , ? 2 ? ? ? ? C52 C10 10 45 225 75 2 C1 ? C1 4 15 6 24 102 34 C1 C62 C4 P ?? ? 1? ? 4 ? 2 ? 2? 4 2 6 ? ? ? ? ? = , 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 1 2 2 ? C6 C 1 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 P ?? ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 2 C 1 C4 4 6 12 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 P ?? ? 3? ? 4 ? ? ? ? = .· 2 2 C5 C10 10 45 225 75 所以 ? 的分布列是:
2 , 2} ;13. 2
5 ? 1 ;14.

3 ③ ⑤ . a ;15. ① 3

?
P

0

1

2

3

15 34 22 4 75 75 75 75 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 15 34 22 4 6 所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 3? ? .· 75 75 75 75 5 17.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? (sin x ? 3 cos x,1) ? (2sin x, ?1)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ) .· 6 ? k? ? 由 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? ? k? (k∈Z),则 x ? ? (k∈Z), 6 2 12 ? ? ? ? 5? ? 因为 x ? [? , ] ,所以 f ( x) 在区间 [? , ] 上的零点是 ? , .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 2 2 12 12 ? ? ? (Ⅱ )根据题意 f ( A) ? 2 ,即 sin(2 A ? ) ? 1 ,所以 2 A ? ? 2k? ? (k∈Z), 6 6 2 ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 3 1 3 因为 S ? bc sin A ? bc ? 3 ,所以 bc ? 4 , 2 4 2 2 根据余弦定理 a ? b ? c 2 ? 2bc cos A ,得 16 ? b 2 ? c 2 ? bc , 所以 (b ? c)2 ? 16 ? 3bc ? 28 ,所以 b ? c ? 2 7 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)因为 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn= (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 , 则 n ? 2 时,a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1= (n ? 2) ? 2n ? 2 , 两式相减,得 anbn=n· 2n(n≥2), 当 n=1 时,a1b1=2,满足上式,所以 anbn=n· 2n(n?N*),
? 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?

又因为{bn }是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 bn= 2n ?1 ,所以 an=2n, 故数列{an}是首项为 2,公差为 2 的等差数列, n(2 ? 2n) 所以 Sn ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? n2 ? n . · 2 n n?2 (Ⅱ )设{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,由(Ⅰ)得 bn ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 a1 ? (n ? 1)d b (n ? 1) ? 2n ?1 a1 ? nd ? d ? 则 n ?1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 bn a1 ? nd n ? 2n 2(n ? 1)(a1 ? nd ? d ) ? n(a1 ? nd ) n(a1 ? nd ) ? a1 ? nd ? nd ? d ? 2? n(a1 ? nd ) a1 ? d ? 2[1 ? ]. n(a1 ? nd ) 2n 故当 d ? a1 时,数列{bn}是等比数列,公比为 2,此时 an=na1, bn ? ;· · · · · · · · · · · · · 10 分 a1 当 d ? a1 时,数列{bn}不是等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)F 是 AB 的中点,证明如下: 连结 DF,又因为 D、E 分别是 BC、A1C1 的中点, 1 1 所以 DF∥ = 2 AC,又 AC∥ = A1C1,且 A1E= 2 A1C1, 则 DF∥ = A1E,故四边形 A1FDE 是平行四边形, 所以 DE∥A1F,又 A1F?平面 A1CF,DE?平面 A1CF, 所以 DE∥平面 A1CF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由题∠ AA1B1=60° ,设 A1A=2,则 A1B1=1, 所以 AB1 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? cos 60 ? 3 , 则 AB12 ? A1 B12 ? A1 A2 ,所以 A1B1⊥AB1, 过点 B1 作平面 A1B 的垂线 B1z, 分别以 B1 A1 ,B1 A ,B1 z 的 方向为 x,y,z 轴, 建立如图空间直角坐标系. 1 3 1 有 A1 (1, 0, 0) , A(0, 3, 0) ,C (? , 3, ) , F (? , 3, 0) , 2 2 2 3 3 3 则 A1 A ? (?1, 3,0) , A1C ? (? , 3, ) , FC ? (0, 0, ) , 2 2 2 设平面 A1CF,平面 A1AC 的法向量分别为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
? 3 ? x ? 3 y1 ? ? ? 2 1 ?m ? A1C ? 0, ? 由? 即? ? ? 3 z ? 0, ?m ? FC ? 0, 1 ? ?2 ? 3 ? ?n ? A1C ? 0, ?? x2 ? 3 y2 ? 由? 即? 2 ? ?n ? A1 A ? 0, ?? x ? 3 y ? 0, ? 2 2 m?n 3 3 ? 所以 cos m ? n ? | m |?| n | 7? 3 z1 ? 0, 2 取 m ? (2, 3,0) ,

3 z2 ? 0, 取 n ? ( 3,1,1) , 2

3 105 , 35 5 3 105 所以二面角 A-A1C-F 的余弦值为 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 35 20. (本小题满分 13 分) ?
解析:(Ⅰ )设动点 P( x, y ) ,则
( x ? 2) 2 ? y 2 2 , ? | x ?4| 2

x2 y 2 ? ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 8 4 2 (Ⅱ )由(Ⅰ ), 轨迹?是以 F (2,0) 为焦点, 离心率为 的椭圆, 如图, 连结 OM、 ON, 设直线 MN 方程为 x ? my ? 2 , 2 点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ? x ? my ? 2, ? 联立 ? x 2 y 2 消去 x,得 (m 2 ? 2) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? 1, ? 4 ?8 4m 4 则 y1 ? y1 ? ? 2 , y1 y1 ? ? 2 , m ?2 m ?2 所 以
化简得
| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? (? 4m 2 16 4 2 ? m2 ? 1 , ) ? ? m2 ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2 由于 M,N 均在 y 轴右侧,则 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 0 ?| m |? 1 , 1 1 则 S ? S?OAM ? S?OBN ? S?OMN ? ? 2( x1 ? x2 ) ? ? 2 | y1 ? y2 | ? m( y1 ? y2 ) ? 4? | y1 ? y2 | 2 2 4m 2 4 2 ? m2 ? 1 4 2 ? m2 ? 1 ? 8 ?? 2 ?4? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 m ?2 m2 ? 2 m2 ? 2 4 2 ? t ? 8 4 2(t ? 2) 令 t ? m 2 ? 1 ,则 1 ? t ? 2 ,则 S ? ? t2 ?1 t2 ?1 【或利用 S ? S?ABN ? S?AMN 求面积 S,解法如下:
y2 ? ?4m ? 4 2 ? m 2 ? 1 8 ? 4 2m ? m 2 ? 1 ,则 x2 ? my2 ? 2 ? , 2 2(m ? 2) 2(m 2 ? 2)

2 8 ? 4 2m ? m 2 ? 1 1 1 1 | 2m ? 2 | 2 4 2 ? m ? 1 2m ? 2 ? 2? ? ? 1 ? m ? ? | AB | ?x2 ? | MN | ? 2(m 2 ? 2) 2 m2 ? 2 2 2 1 ? m2 1 ? m2 2 4 2 ? m ?1 ? 8 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 分】 m2 ? 2 ?4 2t 2 ? 16t ? 4 2 ?4 2(t 2 ? 2 2t ? 1) ? ?0, 方法一、 S ? ? (t 2 ? 1) 2 (t 2 ? 1) 2 4 2 ?t ? 8 16 故面积函数 S ? 在单调递减,所以 S ? ( , 2 2 ? 4] , t2 ?1 3 16 所以面积 S 的取值范围是 ( , 2 2 ? 4] . 3 4 2 4 2(t ? 2) 4 2(t ? 2) 方法二、 S ? , ? ? 2 2 (t ? 2) ? 2 2t ? 1 (t ? 2) ? 2 2(t ? 2) ? 3 (t ? 2) ? 3 ? 2 2 t? 2 3 11 2 因为 1 ? t ? 2 ,则 (t ? 2) ? ? [4 2 ? 2, ), 4 t? 2 3 3 2 所以 (t ? 2) ? ? 2 2 ? [2 2 ? 2, ), 4 t? 2 4 2 16 16 则 ? ( , 2 2 ? 4] ,即 S ? ( , 2 2 ? 4] , 3 3 3 (t ? 2) ? ?2 2 t? 2 16 所以面积 S 的取值范围是 ( , 2 2 ? 4] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 3 21.(本小题满分 14 分) 2 解析:(Ⅰ )当 a=2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2ln x , f ?( x) ? 2 x ? 2 ? , x 则 f (1) ? ?1 , f ?(1) ? 2 ,所以切线方程为 y ? 2 x ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 a 2x ? 2x ? a (Ⅱ ) f ?( x) ? 2 x ? 2 ? ? ( x ? 0 ),令 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 , x x

S?

1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 2 1 ? 1 ? 2a 1 (2)当 ? ? 4 ? 8a ? 0 ,即 a ? 时,由 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 ,得 x1,2 ? , 2 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 1 ① 若 0?a? , 由 f ?( x ) ? 0 , 得 0 ? x ? 或 x? ; 由 f ?( x ) ? 0 , 得 2 2 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a ; ?x? 2 2 ②若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,函数 f ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增; 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a ③若 a ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增. 2 2 1 综上,当 a ? 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ; 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 1 当 0 ? a ? 时 , f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) , ( , ??) ; 单 调 递 减 区 间 是 2 2 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a ( , ); 2 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 ( , ??) ,单调递减区间是 (0, ). 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 (Ⅲ )由(Ⅱ)可知,函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,则 0 ? a ? , 2 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 1 , x1 ? , x2 ? , 2 2

(1)当 ? ? 4 ? 8a ? 0 ,即 a ?


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