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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.10 函数与方程


1.10 函数与方程

一、选择题 1.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在区间为( 1 ? 1? A.? B.? ?-4,0? ?0,4? 1 1? ?1 3? C.? ?4,2? D.?2,4?
1 1 1

)

1? 1 1 ?1?=e 4 +4× 2 -3=e 2 -1>0, 4

解析: 因为 f? = e + 4 × - 3 = e - 2 < 0 , f 所以 f(x) ?4? ?2? 4 4 1 1? =ex+4x-3 的零点所在的区间为? ?4,2?. 答案:C 2 ? ?x +2x-3,x≤0 ? 2.函数 f(x)= ,的零点个数为( ) ?-2+lnx,x>0 ? A.3 B.2 C.1 D.0 ?x≤0 ?x>0 ? ? 解析:方法一:令 f(x)=0 得? 2 或? , ?x +2x-3=0 ?lnx=2 ? ? ∴x=-3 或 x=e2,应选 B. 方法二:画出函数 f(x)的图象可得,图象与 x 轴有两个交点,则函数 f(x)有 2 个零点. 答案:B 3.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解析:由数形结合画图象可知选 B. 答案:B 4.(2014· 长沙质检)函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取 值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1} C.(-∞,0)∪(0,1] D.(-∞,1) 1 解析:当 m=0 时,x= 为函数的零点;当 m≠0 时,若 Δ=0,即 m=1,则 x=1 是函 2 数唯一的零点,若 Δ≠0,显然 x=0 不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数的零点 等价于方程 f(x)=mx2-2x+1=0 有一个正根和一个负根,即 mf(0)<0,即 m<0.综上知选 B. 答案:B 5.根据表格中的数据,可以判定函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k +1)(k∈N*),则 k 的值为( ) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.69 1.10 1.39 1.61 A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意得 f(1)=1>0,f(2)=0.69>0,f(3)=0.1>0,f(4)=-0.61<0,f(5)=-1.39 <0,因此零点在区间(3,4)内,所以 k=3. 答案:A 6.已知函数 f(x)=2x-log 1 x,实数 a,b,c 满足 a<b<c,且满足 f(a)f(b)f(c)<0,若
2

1

实数 x0 是函数 y=f(x)的一个零点,则下列结论一定成立的是(

)

A.x0>c B.x0<c C.x0>a D.x0<a 解析:由于函数 f(x)=2x-log 1 x 为增函数,故若 a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,则有如下两
2

种情况: ①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c),又 x0 是函数的一个零点, 即 f(x0)=0,故当 f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时,由单调性可得 x0>a, 又当 f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时,也有 x0>a. 答案:C 二、填空题 7.用二分法求方程 x2=2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如果我们选取初始区间 是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是______________. 0.1 解析:设至少需要计算 n 次,则 n 满足 n <0.001,即 2n>100,由于 27=128,故要达 2 到精确度要求至少需要计算 7 次. 答案:7 8.若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点为 __________. 解析:∵f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3, ∴a=5,b=-6. ∴g(x)=-6x2-5x-1=-(2x+1)(3x+1), 1 1 ∴g(x)的零点是- 和- . 2 3 1 1 答案:- ,- 2 3 9.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=__________. 解析:令 y1=loga x,y2=b-x,函数 f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标,由 于直线 y2=b-x 在 y 轴上的截距 b 满足 3<b<4,结合函数图象,函数 f(x)只有一个零点, 且 n 只能是 1 或者 2 或者 3.f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3<0,f(3)=loga3+3 -b>1+3-4>0.根据函数零点存在性定理可得,函数 f(x)的零点在区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2 三、解答题 10.(2014· 苏州模拟)已知函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 求实数 k 的取 值范围. 解析:∵f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,∴f(2)· f(3)<0, 即[4+2(1-k)-k]· [9+3(1-k)-k]<0, 所以(3k-6)(4k-12)<0, 解得 2<k<3. 所以 k 的取值范围为(2,3). 11.(2014· 郑州模拟)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m, n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解析:(1)由题意知, F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0 即为 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时, 不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2};

当 a<0 时, 不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m =(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0, ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 12.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. x x 解析:∵f(x)=4 +m· 2 +1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m· 2 +1=0 有且仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不符合题意,舍去). ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2,或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有一正一负根,即 t1t2<0,这与 t1t2>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上,可知 m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.


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