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直线、平面平行与垂直的判定及其性质 复习


直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系(一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种) 位置关系 公共点 符号表示 直线在平面内 有无数个公共点 a?α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α =A 直线与平面平行 没有公共点 a||α

图形表示

注:直线和平面相交

或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考:如图,设直线 b 在平面α 内,直线 a 在平面α 外,猜想在什么条件下直线 a
与平面α 平行.(a||b)

直线与平面平行的判定 文字描述 判 定 直线和平面在空间永无交点,则直线 平面外的一条直线与平面内的一条直线平 和平面平行(定义) 行,则该直线与此平面平行

图形

条件

a 与 α 无交点

结论

a∥α

b∥α

线线平行,则线面平行(线与面的平行问题一定要排除线在平面内的情况)

知识点二、直线与平面平行的性质 性质 则过 一条直线与一个平面平行, 一条直线和一个平面平行, 则这条直线与该平面无交点 这条直线的任一平面与此平面
相交,这条直线和交线平行.

文字描述

图形

条件
结论 线面平行,则线线平行

a∥α a∩α=?

a∥α, a?β , ∩β =b α a∥b

特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法: ①利用直线和平面平行的判定定理, 通 过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行, 证得“线面”平行.

知识点三、平面与平面平行的判定 文字描述 判定 如果两个平面无公共 一个平面内有两条相 如果两个平面同时垂直于 点, 则这两个平面平行 交直线与另一个平面 一条直线,那么这两个平 平行, 那么这两个平面 面平行。 平行.

图形

条件

α ∩β =?

a, b?β a∩b=P a∥α b∥α

l⊥α l⊥β

结论

α∥β

α∥β

α∥β

知识点四、平面与平面平行的性质 文字描述 性质 如果两个平行平面同时和第 如果两个平面平行,那么其 三平面相交,那么他们的交 中一个平面内的直线平行于 线平行 另一个平面

图形

条件

结论

α∥β β∩γ =b α ∩γ =a a∥b

α∥β a?β a∥α

直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 语言描述
垂直, 我们就说直线 l 与平面 记作 l⊥α 互相垂直, 垂直,则这条直线与该平面垂直.

图形

b 为平面α 内的任一直线,而 l 对这 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ?? 一直线总有 l⊥b l ⊥? l ⊥? 结论 要点诠释:定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线” , 这与“无数条直线”不同(线线垂直 线面垂直) 条件
知识点二、直线和平面垂直的性质

性质 语言描述 图形
一条直线垂直于一个平面,那么这条直线 垂直于同一个平面的两条直线平行. 垂直于这个平面内的所有直线

条件 结论

知识点三、二面角
Ⅰ.二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的 棱 , 这 两 个 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面 . 记 作 二 面 角 ?-AB-? . ( 简 记

P-AB-Q )
二面角的平面角的三个特征:ⅰ. ⅱ. ⅲ. 点在棱上 线在面内 与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB , 平面角. 作用:衡量二面角的大小;范围: 0 ? ? ? 180 .
0 0

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个 文字描述
直二面角,就说这两个平面垂直. 平面垂直

图形

l ⊥ α , l? β α ⊥β 结果 α ∩β =l α -l-β =90o α ⊥β (垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何” 随意” “ “无数”等字眼)


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