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专题29 河北省衡水中学2012届高三下学期二调考试(数学文)


2011—2012 学年度下学期二调考试 高三文科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知 U ? R , A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? ?1? ,则 ( A ? CU B) ? ( B ? CU A) ? ( A.

? C. ?x | x ? ?1 ? B. ?x | x ? 0? D. x | x ? 0或x ? ?1 ) )

?

?
D. )

2.已知复数 z 满足 (1 ? 2i3 ) z ? 1 ? 2i ,则 z 等于( A.

3 4 ? i 5 5

B. ?

3 4 ? i 5 5
2

C. ?

3 4 ? i 5 5

3 4 ? i 5 5

3.已知 x 为实数,条件 p: x < x ,条件 q: A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ≥1,则 p 是 q 的( x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=a,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 ?r ,猜想出椭圆
2

2

2

2

x2 y 2 ? ? 1 的面积 S ? ?ab a 2 b2


D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 5. 已知等差数列 1, a , b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为 ( A.3 或 ?3 C.3 B.3 或 ?1 D. ?3 )

6. 如右框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( A.11 C.8 B.10 D.7

7.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几 何体的体积为 ( A. ) C.

7 8

B.

5 8

5 6

D.

3 4

8.已知函教 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8, 则 f (x) 的单调递增区间是( )

-1-

A. ?6k? ,6k? ? 3?, k ? Z C. ?6k ,6k ? 3?, k ? Z

B. ?6k ? 3,6k ?, k ? Z D. 无法确定

9 、 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ? 2) , 当 x ? ?2 时 , f ( x) ? e x?1 ? 2 若 存 在 k ? Z , 使 方 程 f ( x) ? 0 的 实 数 根

x0 ? (k ?1, k ) ,则 k 的取值集合是 (
A.{0} 10. A.1 B.{-3}

) D.{-3,0} )

C.{-4,0}

设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA · OB =6, △OAB 的重心是 G,则| OG | 的最小值是( B.2 C.3 D.4

11.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 且 x1 , x2 满足 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 3
) D. ? ??, ?

则直线 bx ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是( A. ? ?

? 2 2? , ? ? 5 3?

B. ? ?

? 5 3? , ? ? 2 2?

C. ? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

? ?

2? ?2 ? ? ? ? , ?? ? 5? ?3 ?

12.

已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
)
9

数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A. 2
10

?1

B. 2 ? 1

C.45

D.55

第Ⅱ卷?
二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

π 3π 3 13、已知 α∈(2 , 2 ),tan(α-7π)=-4,则 sinα+cosα 的值为 14.正四面体 ABCD 的外接球的球心为 0,E 是 BC 的中点,则直线 OE 与平面 BCD 所成角的正切 值为 .

15.设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ?PF1 F2 的内心,若 a2 b2

S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是
16.给出以下四个结论: (1)若关于 x 的方程 x ?

1 ? k ? 0 在 x ? (0,1) 没有实数根,则 k 的取值范围是 k ? 2 x
5 3 , ] 12 4

(2)曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 (| x |? 2) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是 ( (3)已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 两侧, 则 3b-2a>1; (4)若将函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数,则 ? 的最小值是

? ;其中正确 12

的结论是:__________________
-2-

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题共 12 分) 已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.
2

(Ⅰ)求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长.

18. (本题满分 12 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有 关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

D

M

4

E

2
C
A

N
B

直观图

侧视图

2 2
俯视图

19. 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此 解答如下问题.
频率
茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

组距 0.04

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数

-3-

⑴求全班人数及分数在 ?80 , 90? 之间的频数;

⑵估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高; 之 间的概率.

⑶若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在 ?90 , 100?

20 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、 0) 1) F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

??? ?

????

21. (本小题满分 12 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex , g ( x) ? 3e 2 ln x ? b (其中 e 为常数, e ? 2.71828 ??? ),若这 2

两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)当 x ? ?1, e? 时, 2( f ( x) ? 2ex ) ?

a (2 g ( x) ? e 2 ) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 6e

-4-

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答 、 、 题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆.

23.

(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2

在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1 x ? y ? 1 ,以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l: ? (2 cos? ? sin ? ) ? 6 (Ⅰ)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2,试写出直线 l 的直角 坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (Ⅱ)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

-5-

24.

(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f(x)=|x-a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥5},求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f(x)+f(x+4)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

-6-

2011—2012 学年度下学期二调考试答案
一、选择题? DBABC BCCDB 二、填空题? 13、 ? AC

1 5

14

2 2

15

1 2

16.(2) (4) (3)

三、解答题 17. 解:(Ⅰ) 由所给条件,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 . 2分 4分 6分

? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 3? 2 ? ? ?1 1? 3? 2
?

(Ⅱ) ∵ A ? B ? C ? 180 , ∴ C ? 180? ? ( A ? B) . 由(Ⅰ)知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

? C 为三角形内角∴ C ? 45?. ? sin C ?

2 . 2
3 . 10

8分

? tan A ? 3 且 A 为三角形内角. ? sin A ?
由正弦定理 得 BC ?

10 分

BC AB ? , sin A sin C

11 分

5 3 ? ?3 5. 2 10 2

12 分

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ?

………………………2 分

1 1 (4 ? 2) ? 2 S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 …………4 分 3 3 2

(Ⅱ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD,

1 CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形,? AN // EM …………6 分 2 ? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME , 所以, AN // 平面 CME ; ……………8 分 (Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC
又 MN ? AE ?
-7-

又平面 ABC ? 平面 BCD ? AN ? 平面 BCD ……………………10 分 由(Ⅱ)知: AN // EM ? EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . ………………………12 分 19.⑴由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,

2 ? 25 . 0.08 所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4
全班人数为 ⑵分数在 ?50 , 60? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 分数在 ?70 , 80? 之间的总分数为 分数在 ?60 , 70 ? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ;
70 ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ; 分数在 ?80 , 90? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ;

分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 ; 114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 所以,该班的平均分数为 ? 74 . 25 估计平均分时,以下解法也给分: 2 分数在 ?50 , 60? 之间的频率为 ? 0.08 ; 25 7 分数在 ?60 , 70 ? 之间的频率为 ? 0.28 ; 25 10 分数在 ?70 , 80? 之间的频率为 ? 0.40 ; 25 4 分数在 ?80 , 90? 之间的频率为 ? 0.16 ; 25 2 分数在 [90,100] 之间的频率为 ? 0.08 ; 25 所以,该班的平均分约为 55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 4 频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高为 ? 10 ? 0.016 . 25 ⑶将 ?80 , 90? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为 5 , 6 ,在 ?80 , 100? 之间的 试卷中任取两份的基本事件为: ?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5? , ?1 , 6 ?

? 2 , 3? , ? 2 , 4? , ? 2 , 5? , ? 2 , 6? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5? , ? 3 , 6 ? ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ? ?5 , 6? 共 15 个, 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是

9 ? 0.6 . 15

x2 ? y 2 ? 1, 20.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . ·························2 分 ························ 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 ,
-8-

且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ?

y B O E D

F A x

2 1 ? 4k
2

.①



??? ? ???? ED ? 6DF



x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 )
0





1 5 1 x0 ? ( x 6 x ? x 1 )? ? 2 22 ; 7 7 7 1 ? 4k
由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?
2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

2 2 10 .所以 , ? 1 ? 2k 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 3 或 k ? . ······························· 6 分 ······························· 3 8

(Ⅱ)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为 h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

. ···································· 9 分 ····································

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 1 4(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2 ? 4k AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ?2 ≤2 2 , 2 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 )
1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ················ 12 分 ················ 2
…………………1 分

当 2k ? 1 ,即当 k ?

3e 2 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2e , g ?( x ) ? x
设函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex 与 g ( x) ? 3e 2 ln x ? b 的图象有公共点为 ( x0 , y0 ) 2

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ex0 ? 3e ln x0 ? b ? 3e 2 由题意得 ? x 0 ? 2e ? ? x0 ? ? x0 ? 0 ? ?

……………………2 分

e2 解得: b ? ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? 3e ln x ?
2

……………

e2 2

所以 2( f ( x) ? 2ex ) ?

a (2 g ( x) ? e 2 ) ? x 2 ? a ln x ,即 a(x ? ln x) ? x 2 ? 2 x?(1) 2 6e
-9-

当 x ? ?1, e? 时, ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时成立,? x ? ln x ? 0 所以,则由(1)式可得 a ?

x 2 ? 2x 在 ?1, e? 上恒成立 x ? ln x

……………………9 分

设 F ( x) ?

x 2 ? 2x , x ? ?1, e? x ? ln x
( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) ( x ? ln x) 2
…………………11 分

又 F ?( x) ?

显然有 x ? 1 ? 0, 又 ln x ? 1,? x ? 2 ? 2 ln x ? 0 所以 F ?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号),? F (x) 在 ?1, e? 上为增函数 …………………12 分 故 F ( x) max ? F (e) ?

e 2 ? 2e e ?1

所以实数 a 的取值范围是 ? 22.

? e 2 ? 2e ? ,?? ? . ? ? e ?1 ?

…………………14 分

23. 解: (Ⅰ)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0. ∵C2:( (

? x ? 3 cos? x y ) ? ( ) 2 =1 ∴C2:的参数方程为: ? (θ 为参数)……5 分 2 2 3 ? y ? 2 sin ?

(Ⅱ)设 P( 3 cosθ ,2sinθ ) ,则点 P 到 l 的距离为: d=

| 2 3cos? ? 2 sin ? ? 6 | | 4 sin(60? ? ? ) ? 6 | , ? 5 5

- 10 -

∴当 sin(60°-θ )=-1 即点 P(-

3 |4?6| ,1)时,此时 dwax=[ =2 5 ……10 分 2 5

24. 法一、 (Ⅰ)由 f(x)≥3 得|x-a|≥3,解得 x≤a-3 或 x≥a+3. 又已知不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤-1 或 x≥5},所以 ? (Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|,设 g(x)=f(x)+f(x+4), 于是 g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x<-24,-2≤x≤22x,x>2[JB)] 所以当 x<-2 时,g(x)>4;当-2≤x≤2 时,g(x)=4;当 x>2 时,g(x)>4。 综上可得,g(x)的最小值为 4. 从而若 f(x)+f(x+4)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞,4] .……10 分 法二: (Ⅰ)同法一. (Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+4). 由|x-2|+|x+2|≥| (x-2) x+2) (当且仅当-2≤x≤2 时等号成立) 得 g(x)的最小值为 4. ( |=4 , 从而, f(x)+f(x+4) 若 ≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立.则 m 的取值范围为(-∞,4]?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a=2.……5 分 ?a ? 3 ? 5

- 11 -


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