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1.1.2导数的概念及其几何意义(1)


1.1.2 导数的概念及其几何意义

复习提问:
1.变化率的定义? 一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程 度叫做变化率. 2.平均速度? 位移对于时间的平均变化率 3.函数的平均变化率?

4.函数的平均变化率的几何意义? 曲线上两点连线的斜率

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f (

x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

新课:
1.瞬时速度: 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 问题1: 一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是?
1 (自由落体的运动公式是: ? gt 2 ) s 2

问题2(高台跳水): 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高h(单 位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

当t=2时,运动员的瞬 时速度是多少?

o

t

当Δt趋近于0时, 通过列表看出平均速度的变化趋势 : 平均速度有什么 变化趋势?

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 表示 “当t=2, 我们用 ?t ? 0 ?t Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t

2.切线的斜率:

思考?
(1)对于简单的曲线,如圆和圆锥曲线,它们的 切线是如何定义的? (2)与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线 的切线? (3)曲线的切线与直线是否只有一个交点?

7

复杂曲线的切线:
直线 l 1 虽然与曲线C 有唯一公共点M, 但我们不能说直线l 1 我们还是说直线l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线

与曲线 C 相切,而直线l 2 尽管与曲线C 有不止一个公共点,

l2

y

N

l1

M P

C

O

x
8

切线的斜率:

y 求曲线C: ? f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 )处切线的斜率。
先求割线 MN 的斜率为:

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ?x

?y tan ? ? ?x

y

L N

y1

?
T

?y
y0
o

M

切线 MT 的斜率为:
?y 即 f ' ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

? x0 ?x x1

?

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
9

导数的概念:
一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化
率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x

我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数,

记为 f ?( x0 )或

y?

x ? xo

,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

由定义求导数(三步法)
步骤:

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?f ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?f (3) 算导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

11

例1.求y=x2+2在点x=1处的导数.
解: ?f

? [(1 ? ?x ) ? 2] ? (1 ? 2) ? 2?x ? (?x )
2 2
2

2

?f 2 ?x ? ( ? x ) ? ? 2 ? ?x ?x ?x

?f ? f ?(1) ? lim ? lim( 2 ? ?x ) ? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0

变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
?f 析 : f ?(a ) ? lim ? lim( 2a ? ?x ) ? 2a ?x ?0 ?x ?x ?0

12

导数的几何意义:

函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

k ? f ?( x0 )
曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )
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例2:已知曲线y=x2 (1)求在区间[1,2]平均变化率; (2)求曲线上点(1,1)处切线的斜率; (3)求曲线在(1,1)处切线的方程

1 1 练习:求曲线y ? 在点 ( ,2)处的切线方程. x 2

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【课堂小结】
? 1. 导数的定义: f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? 2. 求导数的一般步骤:
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y (3) 算导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

3.导数的几何意义
4.求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程

①先求出该点的导数即切线的斜率;

k ? f ?( x0 )
②再利用点斜式求出切线方程

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )
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