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惠州市2013届高三第二次调研考试试题


惠州市 2013 届高三第二次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

3? 2.集合 M ? ?4,5, ?3m?, N ? ??9, ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为(
A. 3 或 ?1 B. 3 C. 3 或 ?3 D. ?1 )

3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 6 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于(

5 C. ?2 D. 3 3 ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? cos a, ?2 ? , b ? ? sin a,1? ,且 a // b ,则 tan(a ? )等于( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D. ? 3 3
A.1 B. 5. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(
a b



) B.既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C.-4 D.4



A.-2

B.2

7.某工厂从 2004 年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越 来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量 y 与时间 t 的函数

图像可能是( y

) y y y

t

t

t

t

o

4

8

o

4

8

o

4

8

o

4

8

C A B D x 2 8.已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为
( )

A. 2 ? 2, 2 ? 2

?

?

B. ?2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ?1, 3 ?

D. ?1, 3?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 .
开始

? 2 2? 10. ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

3


输入x 是 f(x)>g(x) 否

11. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分别为 BB1 、

CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1 F 所成角的余弦
值为________.

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

输出h(x)

12.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x ) ? 2 , g ( x ) ? x 则
x 2

结束

h (3) 的值等于

.

? x ? y ? 2, ? 13. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ? 5, 3 ? 处取得最 ?0 ? y ? 3, ?
小值, 则实数 a 的取值范围为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14.(坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ? 与曲线 ?

?

4

( ? ? R) ,它
B

C

? x ? 1 ? 2 cos a ( a 为参数) 相交于两点 A 和 B , AB =_______. 则 ? y ? 2 ? 2sin a
A

O

D

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知

AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离为



三、 解答题: (本大题共6小题, 满分80分. 须写出必要的文字说明、 证明过程和演算步骤. ) 16.(本小题满分12分) 已知向量 m ? ? sin A, cos A ? , n ? (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

??

?

?

?? ? 3, ?1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

17.(本题满分 12 分) 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时 允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会, 若中奖, 则每次中奖都可获得奖 金 100 元, 假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的, 试分析此种有奖促销方案对 商场是否有利。

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中
A1 A

点, AA1 ? AB ? 2 . (1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C B1 D

B

19.(本小题满分14分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 a 2 b2

???? ? ???? ? 1 AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? x 上. 2
(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程.
2 2

20.(本小题满分 14 分) 设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常 数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 , (n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数). (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nmm

?

? ? ? mn ?
n

n m




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