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(老师专用)勾股定理和实数刘泳琳10.3


勾股定理压轴题训练
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为 a,b,斜边为 c,那么 a2+b2 = c2. 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方. 因此,在运用勾股定理计算三角形的边长时,要注意如下三点: (1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三 角形和钝角三角形; (2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错; (3)注意勾股定理公

式的变形:在直角三角形中,已知任意两边,可求第 三边长. 即 c2= a2+b2,a2= c2-b2,b2= c2-a2. 例 1: 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是 13cm 和 5cm,那么这个直 角三角形的面积是 cm2 解:由勾股定理,得 132-52=144,所以另一条直角边的长为 12. 所以这个直角三角形的面积是 例 2:
1 ×12×5 = 30(cm2) 2

?B

如图 3(1),一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到 ) D. 5a

A?

图 3⑴

顶点 B,则它走过的最短路程为( A. 3a B. (1 ? 2 )a

C.3a

解:将正方体侧面展开得,如图 3⑵. 由图知 AC=2a,BC=a. 根据勾股定理得 AB ? (2a ) 2 ? a 2 ? 5a 2 ? 5a. 例 3: 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家 赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的 一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1, 直角三角形的较短直角边为 a,较长直角边为 b,那么 ?a ? b? 的值为(
2



(A)13

(B)19

(C)25

(D)169 ①.

解析:由勾股定理,结合题意得 a2+b2=13 由题意,得 由②,得 (b-a)2=1 ②.

a2+b2-2ab =1 ③. 把①代入③,得

13-2ab=1

∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此,选 C.

例 4:

已知:如图,在 ?ABC 中, ?E ? ?C ? 90? , AD 是 BC 边上的中线,

2 2 2 DE ? AB 于 E ,求证: AC ? AE ? BE .

解析:

2 2 2 根据勾股定理,在 Rt ?ACD 中, AC ? AD ? CD ,

2 2 2 在 Rt ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,在 Rt ?BDE 中,

E

B D

DE 2 ? BD 2 ? BE 2 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ AC ? AE ? DE ? CD ? AE ? BD ? BE ? CD .

A

C

2 2 2 又∵ BD ? CD ,∴ AC ? AE ? BE .

点评 证明线段的平方差或和,常常要考虑到运用勾股定理;若无直角三角 形,则可通过作垂线的方法,构成直角三角形,以便为运用勾股定理创造必要 的条件. 例5 已知一直角三角形的斜边长是 2,周长是 2+ 6 ,求这个三角形的面积. 分析 由斜边长是 2,周长是 2+ 6 ,易知两直角边的和是 6 ,又由勾股定 理可知两直角边的平方和为 4,列关于两直角边的方程,只需求出两直角边长的 积, 即可求得三角形的面积. 本题中用到数学解题中常用的 “设而不求” 的技巧, 要熟练掌握. 解:设直角三角形的两直角边为 a、b,根据题意列方程得:
2 2 2 ? ?a ? b ? 2 , ? ? ?a ? b ? 2 ? 2 ? 6

① ②

2 2 ? ?a ? b ? 4, 即? ? ?a ? b ? 6.

②式两边同时平方再减去①式得: 2ab=2, ∴ 因此,这个三角形的面积为
1 . 2

1 1 1 ab= . ∴S= . 2 2 2

1.已知:如图 2-1,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,∠ACB=90°,?求图 形中阴影部分的面积.
C D A B www.czsx.com.cn

2-1

2.若线段 a、b、c 能组成直角三角形,则它们的比值可以是(D A.1:2:4 B.1:3:5 C.3:4:7



D.5:12:13

例6

如图 2-2,把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来,使其对角顶点 A、C 重合,?

若其长 BC 为 a,宽 AB 为 b,则折叠后不重合部分的面积是多少? 分析 图形沿 EF 折叠后 A、C 重合,可知四边形 AFED′与四边形 CFED 全 等,则对应边、角相等,∴AF=FC,且 FC=AE,则△ABF≌△AD′E,?由三角形面 积公式不难求出不重合部分的面积. 解:∵图形沿 EF 折叠后 A、C 重合, ∴四边形 AFED′与 CFED 关于 EF 对称, 则四边形 AFED′≌四边形 CFED. ∴∠AFE=∠CFE. ∴AF=FC,∠D′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD′.∵AD∥BC, ∴∠AEF=∠AFE. ∴∠AEF=∠EFC.
2-2

则 AE=AF. ∴Rt△ABF≌Rt△AD′E.

在 Rt△ABF 中,∵∠B=90°,∴AB2+BF2=AF2. 设 BF=x,b2+x2=(a-x)2, ∴x=
1 1 a 2 ? b2 a 2 ? b 2 b( a 2 ? b 2 ) .∴S=2S△ABF=2× bx=2× ·b· = 2 2 2a 2a 2a

1.如图 2-4,一架长 2.5m 的梯子,斜放在墙上,梯子的底部 B? 离墙脚 O?的距离是 0.7m, 当梯子的顶部 A 向下滑 0.4m 到 A′时, 梯子 的底部向外移动多少米?

2-4

例 7 试判断,三边长分别为 2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n 为正整数)?的三角形 是否是直角三角形? 分析 先确定最大边,?再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角 形. 解:∵n 为正整数, ∴(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0, (2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0. ∴2n2+2n+1 为三角形中的最大边.又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
2 2 2 2 (2n2+2n) + (2n+1) =4n4+8n3+8n2+4n+1. ∴ (2n2+2n+1) = (2n2+2n) + (2n+1)

∴这个三角形是直角三角形. 1.若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC 是( A.等腰三角形 例8 B.直角三角形 C.锐角三角形 )

D.钝角三角形

已知: 如图 2-7 所示, △ABC 中, D 是 AB 的中点, 若 AC=12, BC=5, CD=6. 5. 求证:△ABC 是直角三角形. 分析 欲证△ABC 是直角三角形,在已知两边 AC、BC 的情况下求边 AB 的

长,比较困难;但注意到 CD 是边 AB 的中线,我们延长 CD 到 E,使 DE=CD,?从 而有△BDE?≌△ADC,这样 AC、BC、2CD 就作为△BCE 的三边,再用勾股定理的 逆定理去判定. 证明:延长 CD 到 E,使 DE=CD,连结 BE. ∵AD=BD,CD=ED,∠ADC=∠BDE. ∴△ADC≌△BDE(SAS).∴BE=AC=12. ∴∠A=∠DBE.∴AC∥BE. 在△ BCE 中,∵ BC2+BE2=52+122=169 . CE2= (2CD) =(2×6.5) =169.
2 2

2-7

∴BC2+BE2=CE2. ∴∠EBC=90°. 又∵AC∥BE, ∴∠ACB=180°-∠EBC=90 ∴△ABC 是直角三角形.

例9

如图 2-10,△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是 BC 上一点,且 AD⊥AC,求

BD 的长. 分析 若作 AE⊥BC 于 E, 如图 2-11, 利用勾股定理可求出 AE=12, AD 是 Rt? △ADC 的直角边. ∴AD=CD-AC,若设 DE=x,借助于 AD 这个“桥”可以列出方程. 解:作 AE⊥BC 于 E. ∵AB=AC,AE⊥BC, ∴BE=EC=
1 1 BC= ×32=16. 2 2

在 Rt△AEC 中, AE2=AC2-CE2=202-162=144, ∴AE=12. 设 DE=x, 则在 Rt△ADE 中,AD2=AE2+DE2=144+x2, 在 Rt△ACD 中,AD2=CD2-AC2=(16+x)2-202. ∴144+x2=(16+x)2-202 解得 x=9.
2-11 2-10

∴BD=BE-DE=16-9=7.


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