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指数函数和对数函数的重点知识


指数函数和对数函数的重点知识
重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数

y ? a x ,y ? log a x 在 a ? 1 及 0 ? a ? 1 两种不同情况。
1、指数函数: 定义:函数 y ? a
x

?a ? 0且a ? 1? 叫指数函数。
x

定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y ? a 中的 a 必须 a ? 0且a ? 1 。
x

因为若 a ? 0 时, y ? ? ?4? ,当 x ? 值不存在。

1 时,函数 4

a ? 0 , y ? 0 x ,当 x ? 0 ,函数值不存在。
函数值恒为 a ? 1 时, y ? 1x 对一切 x 虽有意义, 1,但 y ? 1 的反函数不存在, 因为要求函数
x

y ? a x 中的 a ? 0且a ? 1 。

? 1? x 1、对三个指数函数 y ? 2 ,y ? ? ? ,y ? 10 ? 2?
x

x

的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1); (3) y ? 2 ,y ? 10 在第一象限内的纵坐
x x

函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 a ? 0 ;
x

(2)无论 a 取任何正数, x ? 0 时, y ? 1 ;

(3)当 a ? 1 时, ? 标都大于 1, 在第二象限内的纵坐标都小于 1, ? x ? 0,则a x ? 1 ?

? x ? 0,则a x ? 1 ?

? 1? y ? ? ? 的图象正好相反; ? 2?

x

当 0 ? a ? 1 时, ?

? x ? 0,则a x ? 1 ? ? x ? 0,则a x ? 1 ?
x

(4) y ? 2 ,y ? 10 的图象自左到右逐渐 (4)当 a ? 1 时, y ? a 是增函数,
x x

? 1? 上升, y ? ? ? 的图象逐渐下降。 ? 2?

x

当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数。
x

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如 y ? 2 和 y ? 10 相交于 ( 0,1) ,
x x

当 x ? 0 时,y ? 10 的图象在 y ? 2 的图象的上方, x ? 0 , 当 刚好相反, 故有 10 2 ? 2 2 及
x x

10 ?2 ? 2 ?2 。

? 1? ② y ? 2 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称。 ? 2?
x

x

? 1? x ③通过 y ? 2 , y ? 10 , y ? ? ? 三个函数图象,可以画出任意一个函数 y ? a ? 2?
x x

x

( a ? 0且a ? 1 )的示意图,如 y ? 3 的图象,一定位于 y ? 2 和 y ? 10 两个图象的中
x x x

间,且过点 ( 0,1) ,从而 y ? ? ? 也由关于 y 轴的对称性,可得 y ? ? ? 的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义: 如果 a ? N ( a ? 0且a ? 1) , 那么数 b 就叫做以 a 为底的对数, 记作 b ? log a N
b

? 1? ? 3?

x

? 1? ? 3?

x

(a 是底数,N 是真数, log a N 是对数式。) 由于 N ? a ? 0 故 log a N 中 N 必须大于 0。
b

当 N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求 lo g 0 . 3 2 ? ?

?5 2? ?4? ?5 2? ? ? x, ? 4 ?

分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 log 0.32 ? 再改写为指数式就比较好办。 解:设 log 0.32 ?

?5 2? ??x ? 4 ?

则 0.32 x ?
x

5 2 4
? 1 2

? 8? ? 8? 即? ? ? ? ? ? 25? ? 25? ∴x ? ?

1 2 ?5 2? 1 即 log 0.32 ? ??? 2 ? 4 ?
评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因 此必须因题而异。如求 3 ? 5 中的 x ,化为对数式 x ? log 3 5 即成。
x

(2)对数恒等式: 由a ? N
b

(1) b ? log a N (2)
log a N

将(2)代入(1)得 a

?N

运用对数恒等式时要注意此式的特点, 不能乱用, 特别是注意转化时必须幂的底数和对 数的底数相同。 计算:

? 3?

? log 1 2
3

解:原式 ? 3

1 ? log 1 2 2
3

? 1? ?? ? ? 3?

log 1
3

2? 2



(3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1 的对数是零; ③底数的对数等于 1。 (4)对数的运算法则: ① log a ? MN ? ? log a M ? log a N ② log a ③ log a ④ log a
a a

? M,N ? R ? M ? log M ? log N ? M,N ? R ? N ? N ? ? n log N ? N ? R ? 1 N ? log N ? N ? R ? n
?

?

n

?

a

n

?

a

3、对数函数: 定义:指数函数 y ? a ( a ? 0且a ? 1) 的反函
x

数 y ? log a x x ? ( 0,??) 叫做对数函数。 1、对三个对数函数 y ? log 2 x,y ? log 1 x,
2

y ? lg x 的图象的认识。
图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0);
+

函数性质 (1)定义域:R ,值或:R; (2) x ? 1 时, y ? 0 。即 log a 1 ? 0 ;

(3) y ? log 2 x , y ? lg x 当 x ? 1 时,图象 (3)当 a ? 1 时,若 x ? 1 ,则 y ? 0 ,若 在 x 轴上方,当 0 ? x ? 0 时,图象在 x 轴下 0 ? x ? 1 ,则 y ? 0 ; 方, y ? log 1 x 与上述情况刚好相反; 当 0 ? a ? 1 时,若 x ? 0 ,则 y ? 0 ,若
2

0 ? x ? 1 时,则 y ? 0 ; 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减函数。

(4)y ? log 2 x,y ? lg x 从左向右图象是上 (4) a ? 1 时, y ? log a x 是增函数; 升,而 y ? log 1 x 从左向右图象是下降。
2

对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较): (1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是 y ? log 2 x 与 y ? lg x 在点(1,0)曲 线是交叉的,即当 x ? 0 时, y ? log 2 x 的图象在 y ? lg x 的图象上方;而 0 ? x ? 1 时,

y ? log 2 x 的图象在 y ? lg x 的图象的下方,故有: log 2 15 ? lg 15 ; log 2 01 ? lg 01 。 . . . .

(2) y ? log 2 x 的图象与 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
2

(3)通过 y ? log 2 x , y ? lg x , y ? log 1 x 三个函数图象,可以作出任意一个对数
2

函数的示意图, 如作 y ? log 3 x 的图象, 它一定位于 y ? log 2 x 和 y ? lg x 两个图象的中间, 且过点(1,0), x ? 0 时,在 y ? lg x 的上方,而位于 y ? log 2 x 的下方, 0 ? x ? 1 时, 刚好相反,则对称性,可知 y ? log 1 x 的示意图。
3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式:

log b N ?

log a N log a b

Ln N ? log e N ( 其中e ? 2.71828… ) 称为N的自然对数 Lg N ? log 10 N 称为常数对数
由换底公式可得:

Ln N ?

lg N lg N ? ? 2.303 lg N lg e 0.4343

由换底公式推出一些常用的结论:

1 或 log a b· log b a ? 1 log b a m m (2) log a n b ? log a b n n (3) log a n b ? log a b
(1) log a b ? (4)logana?
m

m n

5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算, 故指数方程对数方程不是代数方程而属 于超越方程。

指数方程的题型与解法: 名称 基本型 同底数型 题型

a f ? x? ? b

解法 取以 a 为底的对数 f ? x ? ? log a b 取以 a 为底的对数 f ? x ? ? ? ? x ?

a f ( x) ? a ? ( x)

不同底数型 需代换型 对数方程的题型与解法: 名称 基本题 同底数型 需代换型

a f ? x ? ? b? ? x ? F ax ? 0

取同底的对数化为 f ? x ? · lg a ? ? ? x ? · lg b 换元令 t ? a 转化为 t 的代数方程
x

? ?

log a f ? x ? ? log a ? ? x ? F(log a x ) ? 0

log a f ? x ? ? b

题型

解法 转化为 f ? x ? ? ? ? x ? (必须验根) 换元令 t ? log a x 转化为代数方程 对数式转化为指数式 f ? x ? ? a
b


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