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浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试理科数学试题


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浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟.试卷总分为 150 分。请考生按规 定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 球的表面积公式

棱柱的体积

公式

S ? 4?R 球的体积公式
2

V ? Sh
其中 S 表示棱锥的底面积, 表示棱锥 h 棱台的体积公式

的高

V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 面积,

V ?

1 h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底 h 表示棱台的高 如果事件 A、B 互斥,那么

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 —项是符合题目要求的。 1.设全集 U={1,2,3,4,5),集合 A={1,2),B={2,3},则 A ?(CU B) = A.{4,5) B.{2,3) C.{1) D.{3}

2.“a=2”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ? A.充分不必要条件 C.充要条件

a x ? 1 垂直”的 4
B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.设 m,n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? C.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? ? ? 4.已知函数 f ( x) ? log 2 A.2 B.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? / / ? D.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? / / ?

1? x 1 , 若f (a ) ? , 则f ( ?a ) = 1? x 2 1 B.—2 C. 2

D.—

1 2

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5.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 A.

8 3

B.4 D.

C. 2

4 3

6.从 1,2,3,?9 这 9 个整数中任意取 3 个不同的数作 为二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的系数,则满足

f (1) ? Z 的函数 f ( x) 共有 2
A.263 个 B.264 个 C.265 个 D.266 个 7.若数列{an}的前 n 项和为 S n , 则下列命题正确的是 A.若数列{ an)是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列: B.数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数; C . 若 {an } 是 等 差 数 列 , 则 对 于 k ? 2且k ? N , S1 ? S2 ?Sk ? 0 的 充 要 条 件 是

a1 ? a2 ?ak ? 0

D.若 {an } 是等比数列,则对于 k ? 2且k ? N , S1 ? S2 ?Sk ? 0 的

充要条件是 ak ? ak ?1 ? 0.

? x ? y ? 4, ? 2 2 2 8. 设不等式组 ? y ? x ? 0 表示的平面区域为 D. 若圆 C:( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0) 不 ?x ?1 ? 0 ?
经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是 A. [2 2, 2 5] C. (0, 2 2) ? (2 5, ??) B. (2 2,3 2] D. (0,3 2) ? (2 5, ??)

x2 y 2 9.已知点 P 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,F2 是双曲线的左、 a b
右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 两条渐近线相交 M,N 两点(如图),点 N 恰好平分 线段 PF2,则双曲线的离心率是 A. 5 B.2 C. 3 D. 2

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10. 在△ABC 中, 已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 , 为线段 AB 上的点, P 且

??? ??? ? ?

? ??? ? ? ?? ? ? ?? CA CB C P? x? ? ??? ? y ? ? ?,?? x y 则 的最大值为 | C A| |CB|
A.1 B.2 C.3 二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.若 D.4

1? i ? a ? bi (a, b ? R ), 则a ? b 的值是 1? i



12.在 (2 x ?

a
3

x

)4 的二项展开式中,常数项是 8,则 a 的值为



13.某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分 层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。 已知高一有 760 名学生, 高二有 840 名学生, 则在该学校的高三应抽取 名学生。 14.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F(3,0), a 2 b2


且点 (?3,

3 2 ) 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的标准方程为 2


15.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为

16.已知数列 {an } 是公差为 1 的等差数列,Sn 是其前 n 项和, 若 S8 是数列 {Sn } 中的唯一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的 取值范围是 .

17.对于函数 f(x),若存在区间 M=[a,b],使得 { y | y ? f ( x), x ? M } ? M ,则称区间 M 为函数 f ( x ) 的—个“好区间”.给出下列 4 个函数: ①f(x)= sinx:②f(x)=|2x -1|;③f(x)= x3—3x:④f(x)=lgx+l. 其中存在“好区间”的函数是 . (填入相应函数的序号) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或算步骤。 18.(本小题满分 14 分) 己知函数 f ( x) ?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , ?ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 2

a,b,c,且 f ( B) ? 1.

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(I)求角 B 的大小; (II)若 a ? 3, b ? 1 ,求 c 的值.

19.(本小题满分 14 分) 一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5, 4 个白球编号分剐为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 20.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (I)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (II)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B-AE-C 的大小为 45°,求 PD:AD 的值.

21.(本小题满分 15 分) 已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0), M 点的坐标为(12,8),N 点在抛物线 C 上,且满 足 ON ?

????

? 3 ???? OM , O 为坐标原点. 4

(I)求抛物线 C 的方程; (II)以点 M 为起点的任意两条射线 l1 , l2 关于直线 l:y=x—4,并且 l1 与抛物线 C 交于 A、B 两点, l2 与抛物线 C 交于 D、E 两点,线段 AB、DE 的中点分别为 G、H 两点。 求证:直线 GH 过定点,并求出定点坐标.

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 2a ln x(a, b ? R)
2

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(I)若函数 y ? f ( x) 存在极大值和极小值,求

b 的取值范围; a

( II ) 设 m , n 分 别 为 f ( x ) 的 极 大 值 和 极 小 值 , 若 存 在 实 数

b?(

e ?1 2 e

a,

e2 ? 1 a), 使得m ? n ? 1, 2e

求 a 的取值范围.(e 为自然对数的底)

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